نسخة الفيديو النصية
أي تماثل في دائرة الوحدة يثبت أن دالة الظل فردية؟
دعونا نبدأ بتذكير أنفسنا بتعريف الدالة الفردية. لا تكون الدالة فردية إلا إذا كان ﺩ لسالب ﺱ يساوي سالب ﺩﺱ. فكيف نستخدم دائرة الوحدة لإثبات أن دالة الظل فردية؟
تذكر أن دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها يساوي واحدًا، ويمكننا استخدامها لإيجاد الجيب، وجيب التمام، ودالة الظل لقيم محددة للزاوية 𝜃. بصفة أساسية، يمكننا استخدامها لمعرفة ما إذا كانت قيم الجيب، وجيب التمام، ودالة الظل للزاوية 𝜃 في كل ربع موجبة أم سالبة.
فلننظر إلى دالة الظل. يمكننا إنشاء مثلث قائم الزاوية في الربع الأول باستخدام الزوج المرتب ﺃ وﺏ، حيث ﺃ وﺏ أعداد حقيقية موجبة. طول الضلع المقابل في هذا المثلث القائم الزاوية، ويمثله ﺏ في الزوج المرتب، قيمته موجبة، وطول الضلع المجاور، الذي يمثله ﺃ، قيمته موجبة أيضًا. ظا 𝜃 يساوي ﺏ على ﺃ، وبقسمة موجب على موجب نحصل على ناتج موجب. إذن لقيمة 𝜃 هذه، تكون قيمة ظا 𝜃 موجبة.
تذكر أن الدالة الفردية هي التي فيها ﺩ لسالب ﺱ يساوي سالب ﺩﺱ. وجدنا قيمة ﺩﺱ، فلننتقل إلى القيمة السالبة لـ 𝜃. لهذا الزوج المرتب، الذي يمثل انعكاسًا حول المحور ﺱ للزوج السابق، تصبح قيمة 𝜃 سالبة، إذ نوجد قياسها في اتجاه دوران عقارب الساعة. ولكن ماذا عن ظا 𝜃؟
طول الضلع المقابل الآن بالسالب، وذلك لأن قيمة ﺹ في الزوج المرتب هي سالب ﺏ. ومع ذلك، ما زال طول الضلع المجاور موجبًا، لأن الإحداثي ﺱ في الزوج المرتب يظل موجب ﺃ. وفي هذه الحالة، ظا 𝜃 يساوي سالب ﺏ على موجب ﺃ، ومن ثم فإن قيمته سالبة. بالنظر إلى هذا الزوج المرتب الذي عكسناه حول المحور ﺱ، نثبت أن ﺩ لسالب ﺱ يساوي سالب ﺩﺱ. أي إن دالة الظل فردية. إذن، يثبت التماثل حول المحور ﺱ أن دالة الظل فردية.
