فيديو: مقدمة إلى البرهان الجبري

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنرى كيف نكتب سلسلة من العبارات والمقادير الجبرية لنثبت صحة إحدى العبارات من عدمه. عند إعداد برهان جبري، عليك دائمًا أن تشرح أي فرضيات تضعها، وتحدد المتغيرات التي تستخدمها، وتكتب بوضوح سلسلة من العبارات التي تبين التسلسل المنطقي الذي يثبت العبارة التي بدأت بها أو ينفيها. لنر مثالًا على ذلك.

أثبت أن مجموع أي عدد فردي وأي عدد زوجي هو عدد فردي، إذن «مجموع» كلمة أساسية هنا. إذن، لدينا بعض الأمور التي علينا فعلها هنا. علينا التفكير في مقدار جبري يمثل العدد الفردي أو العدد الزوجي. ثم علينا جمع بعض المقادير معًا ثم إعادة ترتيب المقدار الناتج بطريقة تثبت أن المجموع يجب أن يكون عددًا فرديًا.

بالتفكير في ذلك، نجد أن العدد الزوجي هو عدد صحيح يقبل القسمة على اثنين. والعدد الفردي هو عدد صحيح لا يقبل القسمة على اثنين. إذا أخذنا عددًا صحيحًا وضاعفناه، فسيكون الناتج عددًا زوجيًا. أخذنا عددًا صحيحًا وضربناه في اثنين، إذن سيقبل الناتج القسمة على اثنين. إذا أخذنا عددًا صحيحًا وضاعفناه ثم أضفنا إليه واحدًا، فسيكون الناتج عددًا فرديًا؛ لأنه لن يقبل القسمة على اثنين.

يدور سؤالنا عن أي عدد فردي وأي عدد زوجي، ومن ثم فهما عددان غير مرتبطين على الإطلاق. إذن سنبدأ بعددين صحيحين غير مرتبطين على الإطلاق وسنسميهما 𝑚 و𝑛. سنكتب ذلك إذن. لنفترض أن 𝑚 و𝑛 عددان صحيحان. ثم سنأتي ببعض المقادير الجبرية التي تشرح مفهوم ترابط الأعداد الزوجية وعلاقتها ببعضها، إذن، اثنان 𝑚 يجب أن يكون عددًا زوجيًا. تذكر أننا ضاعفنا عددًا صحيحًا، إذن يجب أن يكون ذلك عددًا زوجيًا. واثنان 𝑛 زائد واحد يجب أن يكون عددًا فرديًا. إذن، هذا يحدد المقدارين اللذين يمثلان عددًا فرديًا وعددًا زوجيًا. وعلينا الآن الانتقال إلى جمعهما. حسنًا، جمعهما يعني إضافتهما معًا.

إذن علينا أن نذكر ذلك في البرهان. جمع هذا العدد الزوجي وهذا العدد الفردي يعطينا اثنين 𝑚 زائد اثنين 𝑛 زائد واحد. ويمكننا إعادة ترتيب ذلك. لدينا اثنان 𝑚 واثنان 𝑛. إذن، إذا وضعت هذين الحدين معًا وأخذت اثنين عاملًا مشتركًا، فسأحصل على مقداري 𝑚 زائد 𝑛. ثم أضفنا واحدًا إلى ذلك. ما زال لدينا زائد واحد في النهاية. ومن المنطقي أنه إذا كان 𝑚 عددًا صحيحًا و𝑛 عددًا صحيحًا وجمعتهما معًا، فستحصل على عدد صحيح.

إذن، هذا الجزء الأول من مقدارنا هنا، اثنان ثم بداخل القوس 𝑚 زائد 𝑛 ثم نغلق القوس، أو اثنين ثم نفتح القوس ثم 𝑚 زائد 𝑛 ثم نغلق القوس، يساوي اثنين في عدد صحيح، وهو عدد زوجي. وبما أن المقدار كان اثنين 𝑚 زائد 𝑛 زائد واحد، فهذا يعني أن لدينا عددًا زوجيًا زائد واحد، ما سيعطينا عددًا فرديًا.

ولعلنا نلاحظ أن البراهين الجبرية تتطلب الكثير من التعريفات والكثير من الشرح. إنها ليست كبقية العمليات الرياضيات؛ لأنها تتطلب الإسهاب والشرح. فهي تتطلب تحديد المتغيرات، وهي في هذه الحالة 𝑚 و𝑛 بوصفها أعدادًا صحيحة. تتطلب توضيح منطقك. لقد شرحنا كيفية التوصل إلى الأعداد الزوجية والفردية. والمطلوب بعد ذلك كتابة بعض المقادير، في هذه الحالة، مجموع عدد فردي وعدد زوجي. ثم ترتيب هذه المقادير للوصول إلى البرهان.

أمامنا الآن عبارات كثيرة، ويمكنك متابعة الحل دون الحاجة لكتابة كل ذلك. فيمكننا الاستعاضة عن عبارة مثل «هذا يعني» بكلمة «إذن». ويمكننا التعبير عنها بثلاث نقاط هكذا. ثمة بعض الرموز التي يمكننا استخدامها للإيجاز، لكن ينبغي بالأساس أن تكون جاهزًا لبيان التسلسل المنطقي. فهذا ما تدور حوله جميع البراهين.

حسنًا، إليك المثال التالي. أثبت أن مجموع أي ثلاثة أعداد صحيحة متتالية هو من مضاعفات العدد ثلاثة. في هذا المثال، لا نبحث عن أعداد زوجية وفردية، وإنما نبحث عن أعداد صحيحة متتالية، أعداد متتالية. ولا نبحث عن أعداد زوجية أو فردية. كما نقول، نبحث عن مضاعفات العدد ثلاثة.

علينا التفكير في كيفية التعبير عن هذا المفهوم «مضاعفات العدد ثلاثة» في صورة مقدار جبري. وعلينا أن نشرح كل خطوة منطقية في برهاننا. إذن، يمكننا أن نبدأ باستخدام 𝑛 كعدد صحيح. وبالتالي، لو أضفنا إليه واحدًا ثم أضفنا واحدًا مرة أخرى، فسنحصل على ثلاثة أعداد صحيحة متتالية: 𝑛، و𝑛 زائد واحد، و𝑛 زائد اثنين. إذن، يمكننا الآن أن نذكر المقدار الجبري العام الذي يمثل ثلاثة أعداد صحيحة متتالية: 𝑛، و𝑛 زائد واحد، و𝑛 زائد اثنين. ثم نجمعها، أي نضيفها معًا: 𝑛 زائد 𝑛 زائد واحد زائد 𝑛 زائد اثنين.

يمكننا الآن أن نأخذ هذا المقدار ونبسطه أو نعيد ترتيبه. و𝑛 زائد 𝑛 زائد 𝑛 يساوي ثلاثة 𝑛 وواحد زائد اثنين يساوي ثلاثة. وإذا نظرنا إلى المسألة، نجد أننا نبحث عن مقدار يمثل أحد مضاعفات العدد ثلاثة. حسنًا هذا سيساوي ثلاثة في عدد صحيح ما، إذن دعونا ننظر إلى مقدار صغير هنا: ثلاثة 𝑛 زائد ثلاثة. إذا أخذنا ثلاثة عاملًا مشتركًا وكان ما بداخل القوس عددًا صحيحًا، فسيكون لدينا أحد مضاعفات العدد ثلاثة. إذن، نضع العامل المشترك ثلاثة خارج القوس، ويتبقى لدينا 𝑛 زائد واحد داخل القوس.

والآن دعونا نكتب هذه الخطوة التالية ونعرف مضاعف العدد ثلاثة. إنه مجرد عدد صحيح مضروب في ثلاثة. تذكر أننا استخدمنا 𝑛 كعدد صحيح في بداية برهاننا، إذن 𝑛 زائد واحد يساوي عددًا صحيحًا، زائد واحد يساوي عددًا صحيحًا آخر. إذن مقدارنا هو ثلاثة في عدد صحيح، ومن ثم يصبح لدينا أحد مضاعفات العدد ثلاثة. والآن هذه ليست الإجابة النهائية. في هذه البراهين، الحجة كاملة، أي كل شيء تكتبه، يوصلنا إلى الإجابة النهائية. لا يمكنك كتابة الإجابة النهائية فحسب. بل عليك إجراء جميع هذه الخطوات. قد تختلف الكلمات قليلًا بطريقة أو بأخرى، لكن عليك إجراء جميع هذه الخطوات.

في مثالنا الأخير، عدنا إلى الأعداد الفردية، لكننا أيضًا نرى مضاعفات العدد أربعة. علينا إذن أن نحلل الكلمات ونفسرها لنرى كيف يمكننا تمثيل العملية جبريًا، لكن يظل من الضروري أن نشرح كل خطوة منطقية في البرهان. أثبت أن الفرق بين مربعي أي عددين فرديين متتاليين — إذن لدينا هنا أعداد فردية متتالية. نحاول إثبات أن الفرق بين هذين المربعين — دائمًا من مضاعفات العدد أربعة.

إذن سنحدد عددًا فرديًا، ما يعني تحديد متغير يعبر عن عدد صحيح ثم نضاعفه ثم نضيف إليه واحدًا أو نطرح منه واحدًا. سيكون لدينا عدد صحيح في أربعة، أي أحد مضاعفات العدد أربعة، والفرق بين المربعين، إذن سنقوم بتربيع هذين العددين الفرديين ثم سنطرح أحدهما من الآخر. إذن سنبدأ من جديد، لنجعل 𝑛 عددًا صحيحًا. عند مضاعفة عدد صحيح، سنحصل بالتأكيد على عدد زوجي. وإذا أضفنا واحدًا إلى ذلك، فسنحصل بالتأكيد على عدد فردي. حصلنا إذن على العدد الفردي الأول الذي نبحث عنه هنا.

والعدد الفردي التالي الذي يلي العدد اثنين 𝑛 زائد واحد سيكون أكبر منه بمقدار اثنين، إذن اثنان 𝑛 زائد واحد زائد اثنين، وهو اثنان 𝑛 زائد ثلاثة بالتأكيد. كان يمكننا تحديد عددين فرديين متتاليين، وهما اثنان 𝑛 ناقص واحد واثنان 𝑛 زائد واحد. وكان هذا من شأنه أن يجعل العملية الجبرية مختلفة قليلًا، على الرغم من أن الخطوات لم تكن لتختلف في شيء. سأحتفظ بالعددين اثنين 𝑛 زائد واحد واثنين 𝑛 زائد ثلاثة في الوقت الحالي، لكن تذكر أنك يمكنك فعل ذلك بطريقة مختلفة نوعًا ما.

والفرق بين مربعي هذين العددين الفرديين ببساطة هو أكبر العددين تربيع ناقص أصغرهما تربيع. أعني أنني يمكنني كتابتهما بالعكس، وسيجعل ذلك الأمر أسهل. إذ سيعطينا ناتجًا موجبًا. والآن سأفك الأقواس وأبسطها. اثنان 𝑛 زائد ثلاثة الكل تربيع يساوي اثنين 𝑛 زائد ثلاثة في اثنين 𝑛 زائد ثلاثة. واثنان 𝑛 زائد واحد الكل تربيع يساوي اثنين 𝑛 زائد واحد في اثنين 𝑛 زائد واحد.

وضرب كل حد من القوس الأول في كل حد من القوس الثاني يعطينا أربعة 𝑛 تربيع زائد ستة 𝑛 زائد ستة 𝑛 زائد تسعة. والجزء الثاني، الحد الثاني في ذلك المقدار، يعطينا أربعة 𝑛 تربيع زائد اثنين 𝑛 زائد اثنين 𝑛 زائد واحد. والآن وضعت قوسًا هنا وهنا لأننا سنطرح هذا المقدار بالكامل. لذا، علينا أن نكون حريصين للغاية مع هذه العلامات، فمن الأفضل كثيرًا أن نضيف الأقواس في هذه الأماكن لكي نتجنب الوقوع في أخطاء لاحقًا أثناء العملية الحسابية.

إذن بترتيب ما بداخل القوسين قليلًا، أحصل على أربعة 𝑛 تربيع زائد 12𝑛. هذا يساوي ستة 𝑛 زائد ستة 𝑛 زائد تسعة ناقص أربعة 𝑛 تربيع زائد أربعة 𝑛، التي كانت اثنين 𝑛 زائد اثنين 𝑛، زائد واحد. والآن تذكر، سنطرح الحد الثاني بالكامل. إذن، سنطرح أربعة 𝑛 تربيع، وسنطرح أربعة 𝑛، وسنطرح واحدًا. وبتبسيط هذا الحد الكبير، يصبح لدينا أربعة 𝑛 تربيع ناقص أربعة 𝑛 تربيع، وهو ما يساوي صفرًا. إذن نحذفهما معًا. لدينا 12𝑛 ناقص أربعة 𝑛، ما يساوي ثمانية 𝑛. ولدينا تسعة ناقص واحد، ما يساوي ثمانية. إذن يمكن تبسيط هذا المقدار بالكامل ليصبح ثمانية 𝑛 زائد ثمانية.

والآن حذفت كل ذلك. لا أحبذ بالطبع عدم توضيح خطوات حلك. كل ما في الأمر أنني لم يعد لدي مساحة هنا، ولكن من المهم أن تكتب جميع خطوات حلك. بالنسبة إلى الخطوة الأخيرة، نريد الآن أن نوضح جبريًا أن هذا المقدار يمكن أن يكون من مضاعفات العدد أربعة. إذن نريد أربعة في عدد صحيح، ولذلك سنستخرج أربعة عاملًا مشتركًا. وسنحاول إثبات أن ما بداخل هذا القوس هنا هو عدد صحيح. وإذا كان ذلك عددًا صحيحًا، فإن لدينا أربعة في عدد صحيح. هذا تعريف مضاعف العدد أربعة. وبما أن 𝑛 عدد صحيح، فإذا ضاعفنا العدد الصحيح، فإننا نحصل أيضًا على عدد صحيح. وإذا أضفنا إليه عددًا صحيحًا، فسنحصل أيضًا على عدد صحيح. إذن يمكننا القول إن أربعة ثم نفتح القوس ونكتب اثنين 𝑛 زائد اثنين ثم نغلق القوس يساوي أربعة في عدد صحيح، هذا يعني أنه أحد مضاعفات العدد أربعة، وهو المطلوب إثباته.

إذن في البراهين الجبرية، علينا التأكد من أننا نحدد أي متغيرات سنستخدمها، على سبيل المثال، ليكن 𝑛 عددًا صحيحًا. عليك أيضًا أن تصيغ جبريًا طريقة التعبير عما تحاول أن تثبته. على سبيل المثال، إذا كان 𝑛 عددًا صحيحًا، إذن اثنان 𝑛 لا بد وأن يكون عددًا زوجيًا. أو إذا كان 𝑛 عددًا صحيحًا، فإن اثنين 𝑛 زائد واحد أو اثنين 𝑛 ناقص واحد لا بد وأن يكون عددًا فرديًا أو أربعة في عدد صحيح هو أحد مضاعفات العدد أربعة وهكذا.

وأخيرًا، عليك توضيح العبارة التي تحاول إثباتها جبريًا ثم تعيد ترتيب خطواتك بالشكل الذي يثبت صحة العبارة. على سبيل المثال، لدينا ثلاثة 𝑛 زائد ثلاثة. إذا أخذنا الثلاثة عاملًا مشتركًا، نعلم أن 𝑛 عدد صحيح. إذن 𝑛 زائد واحد يساوي عددًا صحيحًا، ولدينا ثلاثة في عدد صحيح، ما يثبت أن ذلك لا بد أن يكون من مضاعفات العدد ثلاثة.

إذن بشكل عام، قد تكون البراهين الجبرية مسهبة وكثيرة الكلمات، لكنها أدوات قوية في الرياضيات عليك إتقانها والشعور بالفخر عندما تسرد تسلسلًا رياضيًا منطقيًا محكمًا.