فيديو الدرس: الاشتقاق اللوغاريتمي الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كانت لدينا دالة معقدة نريد اشتقاقها، مثل دالة حاصل ضرب أو خارج قسمة أو دالة قوة، فيمكننا الاستعانة بمعرفتنا بمشتقة اللوغاريتم وقاعدة السلسلة وخصائص اللوغاريتمات لإيجاد مشتقة الدالة. نفعل ذلك بأخذ اللوغاريتم للدالة واستخدام قوانين اللوغاريتمات لتفكيك المقدار أو تبسيطه ثم اشتقاقه. ونوجد بعد ذلك ﺩﺹ على ﺩﺱ. في هذا الفيديو، سنتعرف على كيفية تطبيق ذلك، وسنتناول بعض الأمثلة.

لنفترض أن لدينا الدالة ﺹ تساوي ﺩﺱ وأن هذه الدالة معقدة لدرجة أنه يصعب اشتقاقها باستخدام القواعد المعتادة. لاستخدام الاشتقاق اللوغاريتمي، نأخذ أولًا اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين، فنصل إلى أن اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ هو اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺩﺱ، حيث اللوغاريتم الطبيعي هو لوغاريتم للأساس ﻫ، وﻫ هو عدد أويلر ويساوي ٢٫٧١٨٢٨ لأقرب خمس منازل عشرية. وبعد أن نأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين، يمكننا استخدام قوانين اللوغاريتمات لتفكيك الدالة. خطوتنا الثالثة هي اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى ﺱ. والخطوة الأخيرة هي إيجاد ﺹ شرطة، أي ﺩﺹ على ﺩﺱ. لنلق نظرة فاحصة على هذه الخطوات؛ إذ توجد بعض الشروط عند استخدام هذه الطريقة للاشتقاق.

بما أننا في الخطوة الأولى نأخذ اللوغاريتم لكلا طرفي المعادلة، علينا الانتباه إلى أن الاشتقاق اللوغاريتمي لا يصلح إلا عندما تكون قيم ﺩﺱ أكبر من صفر. إذا نظرنا إلى تمثيل بياني لدالة اللوغاريتم، حيث نسمي المتغير لدينا ﻉ، فسنجد أن الدالة غير موجودة عند قيم ﻉ الأصغر من أو تساوي صفرًا. يمكننا تضمين قيم سالبة للمتغير، لكن فقط إذا أخذنا اللوغاريتم للقيم المطلقة، وهو ما سيبدو بهذا الشكل على التمثيل البياني. لكن لاحظ أن الدالة تظل غير معرفة عند ﻉ يساوي صفرًا. ونحن نعلم أنه عندما يكون ﻉ أكبر من صفر، فإن المشتقة بالنسبة إلى ﻉ لـ اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ تساوي واحدًا على ﻉ. وفي الحقيقة، عندما يكون ﻉ لا يساوي صفرًا، فإن الأمر نفسه ينطبق على مشتقة اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﻉ. إذن المشتقة في كلتا الحالتين تساوي واحدًا على ﻉ.

لذا عند استخدام هذه الطريقة للاشتقاق، علينا في الواقع تحديد إذا ما كانت ﺩﺱ أكبر من صفر، وفي هذه الحالة نأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين؛ أو كانت ﺩﺱ لا تساوي صفرًا، وفي هذه الحالة نأخذ اللوغاريتم الطبيعي للقيم المطلقة لكلا الطرفين. إذن، نحن نأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين، لكن كيف سيساعدنا ذلك في اشتقاق دالة معقدة؟ حسنًا، هنا تأتي الخطوة الثانية. في الخطوة الثانية، نستخدم قوانين اللوغاريتمات لتفكيك الطرف الأيسر.

تذكر أن اللوغاريتمات تحول حواصل الضرب وخوارج القسمة إلى مجاميع، بحيث يكون لوغاريتم حاصل الضرب ﺃﺏ يساوي لوغاريتم ﺃ زائد لوغاريتم ﺏ، ولوغاريتم خارج القسمة ﺃ على ﺏ يساوي لوغاريتم ﺃ ناقص لوغاريتم ﺏ، وتذكر كذلك أن اللوغاريتمات تحول القوى إلى حواصل ضرب. ومن ثم فإن لوغاريتم ﺃ مرفوعًا للقوة ﺏ يساوي ﺏ في لوغاريتم ﺃ. وبعد تفكيكنا الدالة لتصبح بصورة يسهل التعامل معها باستخدام هذه القوانين، نشتق في الخطوة الثالثة المقادير الناتجة.

في الطرف الأيمن، سنستخدم الاشتقاق الضمني لأننا نشتق الآن دالة في ﺹ التي هي في حد ذاتها دالة في ﺱ. لكن كيف نفعل ذلك؟ حسنًا، إذا كانت لدينا الدالة ﺭ، وهي دالة في ﺹ التي هي دالة في ﺱ وتساوي ﺡﺱ، ففي الطرف الأيمن، ﺩﺭ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺭ على ﺩﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ، وهو ما يساوي ﺩﺡ على ﺩﺱ في الطرف الأيسر. يمكننا بعد ذلك الانتقال إلى الخطوة الرابعة، وهي إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. وهذا يعطينا ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺡ على ﺩﺱ مقسومًا على ﺩﺭ على ﺩﺹ. وتذكر أنه في هذه الحالة ﺭ هو اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ التي تساوي ﺩﺱ. هيا نفرغ بعض المساحة هنا.

‏‏ﺩﺭ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺭ على ﺩﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ. وتذكر أن ﺩ على ﺩﻉ للدالة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ يساوي واحدًا على ﻉ. إذن، ﺩﺭ على ﺩﺹ يساوي واحدًا على ﺹ. ولدينا ﺩﺭ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على ﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ. وهذا يساوي ﺩﺩ على ﺩﺱ. والآن يمكننا ضرب كلا الطرفين في ﺹ، فنحصل بذلك على ﺩﺹ على ﺩﺱ في الطرف الأيمن يساوي ﺹ في ﺩﺩ على ﺩﺱ في الطرف الأيسر. وبذلك نكون قد حصلنا على المشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ. والآن لنر كيف يحدث الاشتقاق اللوغاريتمي عمليًا إذا كان الطرف الأيسر حاصل ضرب.

لنفترض أن لدينا الدالة ﺹ، وهي حاصل ضرب الدالتين ﺩﺱ وﺭﺱ. ونريد استخدام الاشتقاق اللوغاريتمي لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. أولًا، نأخذ اللوغاريتم الطبيعي للقيم المطلقة لكلا الطرفين. ونتذكر هنا أن ذلك يصلح عندما تكون ﺹ لا تساوي صفرًا. يمكننا تطبيق قاعدة حاصل الضرب للوغاريتمات على الطرف الأيسر، حيث استخدمنا أيضًا قاعدة حاصل الضرب للقيم المطلقة. وبذلك يصبح الطرف الأيسر اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺩ زائد اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺭ.

والآن نريد اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى ﺱ، حيث يمكننا في الطرف الأيسر استخدام حقيقة أن مشتقة أي مجموع تساوي مجموع المشتقات. بينما في الطرف الأيمن، يمكننا استخدام حقيقة أن ﺩ على ﺩﻉ للوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﻉ يساوي واحدًا على ﻉ، بشرط أن ﻉ لا يساوي صفرًا. وبتذكر أن ﺹ هي في الواقع دالة في ﺱ، يمكننا استخدام قاعدة السلسلة. تنص هذه القاعدة على أنه إذا كانت ﺭ دالة في ﺹ التي هي دالة في ﺱ، فإن ﺩﺭ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺭ على ﺩﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ. وفي هذه الحالة، ﺭ هو اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺹ. وباستخدام النتيجة التي حصلنا عليها للوغاريتم الطبيعي، نجد أن المشتقة بالنسبة إلى ﺹ تساوي واحدًا على ﺹ، الذي نضربه في ﺩﺹ على ﺩﺱ وفقًا لقاعدة السلسلة.

نستخدم العملية نفسها مع كل حد في الطرف الأيسر بحيث يصبح لدينا واحد على ﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على ﺩ في ﺩﺩ على ﺩﺱ زائد واحد على ﺭ في ﺩﺭ على ﺩﺱ. ولكي نجعل الأمور أكثر سهولة ووضوحًا بعض الشيء، دعونا نستخدم الرمز ﺹ شرطة يساوي ﺩﺹ على ﺩﺱ. والآن، إذا ضربنا كلا الطرفين في ﺹ، فسيحذف ﺹ من بسط الكسر ومقامه في الطرف الأيمن، ويصبح لدينا في الطرف الأيسر ﺹ في ﺩ شرطة على ﺩ زائد ﺹ في ﺭ شرطة على ﺭ.

لكن تذكر أن ﺹ يساوي ﺩ في ﺭ. ويمكننا حذف ﺩ من بسط الكسر ومقامه في الحد الأول، وﺭ من بسط الكسر ومقامه في الحد الثاني، فيتبقى لدينا ﺹ شرطة يساوي ﺩ شرطة ﺭ زائد ﺩ في ﺭ شرطة، وهذه في الواقع هي قاعدة حاصل الضرب للاشتقاق. ما فعلناه الآن هو توضيح أن قاعدة حاصل الضرب للاشتقاق يمكن اعتبارها نتيجة لمشتقة اللوغاريتم. وفي الواقع، يمكن استخلاص قاعدة القسمة للمشتقات بطريقة مماثلة. الفكرة الأساسية هي أنه في حالة الدالة ﺹ أخذنا اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين واستخدمنا قوانين اللوغاريتمات لتفكيك أو تقسيم الطرف الأيسر. بعد ذلك اشتققنا كل حد ثم عزلنا ﺹ شرطة أو ﺩﺹ على ﺩﺱ. والآن بعد أن عرفنا الخطوات، هيا نطبقها على مثال فيه ﺹ دالة معقدة في ﺱ.

أوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ، إذا كان ستة ﺹ يساوي سبعة ﺱ مرفوعًا للقوة ثلاثة على خمسة ﺱ.

مطلوب منا في هذا السؤال إيجاد المشتقة بالنسبة إلى ﺱ للدالة ستة ﺹ يساوي سبعة ﺱ مرفوعًا للقوة ثلاثة على خمسة ﺱ. قبل أن نبدأ، ثمة أمران يجب أن نلاحظهما بشأن هذه المعادلة. الأمر الأول هو أن لدينا في الطرف الأيمن ستة ﺹ بدلًا من ﺹ. وبما أن ﺹ ليس بمفرده في الطرف الأيمن، نسمي ذلك دالة ضمنية أو معادلة ضمنية. أما الأمر الثاني الذي نلاحظه، فهو أن الأس في الطرف الأيسر ليس عددًا ثابتًا. بل إنه، في الواقع، يتضمن متغيرًا وهو ﺱ. ولهذا السبب، لا يمكننا استخدام أي من قواعد الاشتقاق المعتادة. ما يمكننا فعله لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ هو استخدام الاشتقاق اللوغاريتمي.

أول شيء يمكننا فعله هو عزل ﺹ في الطرف الأيمن بقسمة كلا الطرفين على ستة. وبعد ذلك، يمكننا حذف العدد ستة من بسط الكسر ومقامه في الطرف الأيمن بحيث يصبح لدينا ﺹ يساوي سبعة على ستة ﺱ مرفوعًا للقوة ثلاثة على خمسة ﺱ. والآن نطبق الاشتقاق اللوغاريتمي. ستكون خطوتنا الأولى هنا هي أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين. تذكر أن اللوغاريتم الطبيعي هو لوغاريتم للأساس ﻫ، حيث ﻫ هو عدد أويلر ويساوي ٢٫٧١٨٢٨ لأقرب خمس منازل عشرية، وبذلك يكون لدينا اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺩﺱ. وهو هنا يساوي اللوغاريتم الطبيعي لسبعة على ستة في ﺱ مرفوعًا للقوة ثلاثة على خمسة ﺱ.

يجب أن نلاحظ أنه لكي يصلح الاشتقاق اللوغاريتمي، علينا أن نحدد هنا أن ﺹ أكبر من صفر. وهذا لأن لوغاريتم صفر غير معرف، والدالة غير موجودة عند القيم السالبة. وإذا أردنا تضمين القيم السالبة، فعلينا وضع كل من ﺹ وﺩﺱ داخل علامة القيمة المطلقة. لكن في هذه الحالة، سنفترض ببساطة أن ﺹ أكبر من صفر. تبدو الدالة الآن أكثر تعقيدًا مما كانت عليه في البداية. لكن هنا يأتي دور استخدام اللوغاريتمات. نستخدم قوانين اللوغاريتمات لتفكيك الطرف الأيسر. أول ما يمكننا فعله هو استخدام قاعدة حاصل الضرب للوغاريتمات، التي تنص على أن لوغاريتم ﺃﺏ يساوي لوغاريتم ﺃ زائد لوغاريتم ﺏ، وهكذا يمكننا تقسيم الطرف الأيسر إلى لوغاريتم سبعة على ستة زائد اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ مرفوعًا للقوة ثلاثة على خمسة ﺱ.

ويمكننا تفكيك الحد الثاني أكثر من ذلك باستخدام قاعدة القوة للوغاريتمات. وهي تنص على أن لوغاريتم ﺃ مرفوعًا للقوة ﺏ يساوي ﺏ في لوغاريتم ﺃ. ومن ثم، يصبح الطرف الأيسر اللوغاريتم الطبيعي لسبعة على ستة زائد ثلاثة على خمسة ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. خطوتنا الثالثة في الاشتقاق اللوغاريتمي هي اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى ﺱ. في الطرف الأيمن، نشتق دالة دالة أخرى؛ لأن ﺹ بالفعل دالة في ﺱ. وتذكر أنه إذا كانت لدينا الدالة ﺭ، وهي دالة في ﺹ التي هي دالة في ﺱ، فوفقًا لقاعدة السلسلة، يكون ﺩﺭ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺭ على ﺩﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ. وفي هذه الحالة، ﺭ هو اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ.

والآن يمكننا استخدام النتيجة التي تفيد بأن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ بالنسبة إلى ﻉ تساوي واحدًا على ﻉ بشرط أن يكون ﻉ أكبر من صفر، فيصبح لدينا في الطرف الأيمن واحد على ﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ، حيث واحد على ﺹ هو ﺩﺭ على ﺩﺹ. وبالنسبة إلى الطرف الأيسر، نعلم أن لوغاريتم سبعة على ستة تنطبق عليه القاعدة التي تنص على أن لوغاريتم الثابت يساوي عددًا ثابتًا، ومن ثم فإن مشتقة ذلك تساوي صفرًا. والآن علينا إيجاد مشتقة ثلاثة على خمسة ﺱ في لوغاريتم ﺱ. ولفعل ذلك، يمكننا استخدام قاعدة حاصل الضرب للاشتقاق، حيث ﺩ هنا يساوي ثلاثة على خمسة ﺱ وﺭ هو اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ.

نلاحظ أن ثلاثة على خمسة ﺱ يساوي ثلاثة على خمسة في ﺱ مرفوعًا للقوة سالب واحد، وهي دالة على الصورة ﺃ في ﺱ مرفوعًا للقوة ﻥ؛ وبناء عليه يمكننا استخدام قاعدة القوة للمشتقات التي تنص على أن ﺩ على ﺩﺱ لـ ﺃ في ﺱ مرفوعًا للقوة ﻥ يساوي ﻥ في ﺃ في ﺱ مرفوعًا للقوة ﻥ ناقص واحد. هذا يعني أننا نضرب في الأس ونطرح واحدًا منه. إذن ﺩ على ﺩﺱ لثلاثة على خمسة ﺱ أس سالب واحد يساوي سالب ثلاثة على خمسة ﺱ أس سالب اثنين.

وبتذكر أن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ تساوي واحدًا على ﺱ، سنجد أنه في قاعدة حاصل الضرب لدينا، ﺩ شرطة تساوي سالب ثلاثة على خمسة ﺱ أس سالب اثنين، وﺭ شرطة تساوي واحدًا على ﺱ، وهو ما يعني أن المشتقة الموجودة في الطرف الأيسر تساوي سالب ثلاثة على خمسة ﺱ تربيع، وهو ما يساوي ﺩ شرطة؛ مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، وهو ما يساوي ﺭ؛ زائد ثلاثة على خمسة ﺱ، وهو ما يساوي ﺩ؛ في واحد على ﺱ، وهو ما يساوي ﺭ شرطة. بإعادة ترتيب ذلك، نحصل على ثلاثة على خمسة ﺱ تربيع ناقص ثلاثة على خمسة ﺱ تربيع في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. وبما أن لدينا عاملًا مشتركًا، وهو ثلاثة على خمسة ﺱ تربيع، يمكننا أن نأخذه خارج القوسين.

تذكر أننا نحاول إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. وهذا يعني أن علينا عزل ﺩﺹ على ﺩﺱ في الطرف الأيمن. يمكننا فعل ذلك بضرب الطرفين في ﺹ. وهذه هي الخطوة الرابعة في عملية الاشتقاق اللوغاريتمي. يمكننا حذف ﺹ من بسط الكسر ومقامه في الطرف الأيمن. وفي الطرف الأيسر، لدينا ثلاثة ﺹ على خمسة ﺱ تربيع في واحد ناقص لوغاريتم ﺱ. تذكر أن ﺹ يساوي سبعة على ستة في ﺱ مرفوعًا للقوة ثلاثة على خمسة ﺱ. وبالتعويض بذلك، يمكننا الاختزال بالقسمة على ثلاثة ليصبح الثابت سبعة على ١٠. والآن، إذا نظرنا إلى قوى ﺱ، فسنجد أنها ﺱ مرفوعًا للقوة ثلاثة على خمسة ﺱ ناقص اثنين. ويصبح لدينا بذلك ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سبعة على ١٠ في ﺱ مرفوعًا للقوة ثلاثة على خمسة ﺱ ناقص اثنين في واحد ناقص اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ.

والآن لنلق نظرة على مثال آخر يوضح كيف يمكننا استخدام الاشتقاق اللوغاريتمي لاشتقاق دالة بها أس يتضمن متغيرًا، لكن هذه المرة ستكون دالة مثلثية.

استخدم الاشتقاق اللوغاريتمي لإيجاد مشتقة الدالة ﺹ يساوي اثنين في جتا ﺱ مرفوعًا للقوة ﺱ.

مطلوب منا هنا إيجاد مشتقة الدالة ﺹ يساوي اثنين في جتا ﺱ مرفوعًا للقوة ﺱ. وذكر في السؤال أن علينا استخدام الاشتقاق اللوغاريتمي لفعل ذلك. إذا كانت لدينا الدالة ﺹ تساوي ﺩﺱ، فإن أول ما علينا فعله هو أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين. تذكر أن اللوغاريتم الطبيعي هو لوغاريتم للأساس ﻫ، حيث ﻫ هو عدد أويلر الذي يساوي ٢٫٧١٨٢٨ لأقرب خمس منازل عشرية. علينا تحديد أنه ما لم نأخذ القيم المطلقة للدالتين ﺹ وﺩﺱ، يجب أن تكون ﺹ أكبر من صفر. هذا لأن لوغاريتم صفر غير معرف، والدالة غير موجودة عند القيم السالبة.

في الواقع، إذا أخذنا القيم المطلقة للدالتين ﺹ وﺩﺱ ثم حسبنا اللوغاريتم الطبيعي، نكون بذلك قد حققنا تضمين القيم السالبة. لكننا سنذكر ببساطة هنا أن الحل هو لقيم ﺹ الموجبة. وبذلك نأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين. خطوتنا الثانية هي استخدام قوانين اللوغاريتمات لتفكيك الطرف الأيسر. في هذه المسألة، بما أن المقدار داخل اللوغاريتم هو حاصل ضرب، يمكننا استخدام قاعدة حاصل الضرب للوغاريتمات التي تنص على أن لوغاريتم ﺃ في ﺏ يساوي لوغاريتم ﺃ زائد لوغاريتم ﺏ. لدينا ﺃ يساوي اثنين وﺏ يساوي جتا ﺱ مرفوعًا للقوة ﺱ، ومن ثم يصبح لدينا لوغاريتم اثنين زائد لوغاريتم جتا ﺱ مرفوعًا للقوة ﺱ.

وبما أن الحد الثاني يحتوي على أس، يمكننا استخدام قاعدة القوة للوغاريتمات التي تنص على أن لوغاريتم ﺃ مرفوعًا للقوة ﺏ يساوي ﺏ في لوغاريتم ﺃ. في هذا الحد، ﺃ يساوي جتا ﺱ، والأس ﺏ يساوي ﺱ. إذن يكون لدينا في الطرف الأيسر اللوغاريتم الطبيعي لاثنين زائد ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ جتا ﺱ. الخطوة الثالثة في الاشتقاق اللوغاريتمي هي اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى ﺱ. في الطرف الأيسر، نستخدم حقيقة أن مشتقة أي مجموع تساوي مجموع المشتقات. بينما في الطرف الأيمن، نستخدم الاشتقاق الضمني. ذلك لأن لدينا في الطرف الأيمن الدالة ﺹ التي هي نفسها دالة في ﺱ.

وإذا كانت لدينا الدالة ﺭ، وهي دالة في ﺹ التي هي دالة في ﺱ، فإن ﺩﺭ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺭ على ﺩﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ، وهي قاعدة السلسلة لدالة دالة أخرى. في هذه الحالة، ﺭ هي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ. ويمكننا الاستفادة من حقيقة أن المشتقة بالنسبة إلى ﻉ للوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ تساوي واحدًا على ﻉ، إذا كان ﻉ أكبر من صفر. وهذا يعطينا واحدًا على ﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ في الطرف الأيمن. وفي الطرف الأيسر، بما أن اللوغاريتم الطبيعي لاثنين يساوي عددًا ثابتًا، فإن مشتقته تساوي صفرًا. وبالنسبة إلى الحد الثاني، بما أن لدينا حاصل ضرب، يمكننا استخدام قاعدة حاصل الضرب للاشتقاق، حيث الدالة ﺩ تساوي الدالة ﺱ، والدالة ﺭ تساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ جتا ﺱ.

بما أن ﺩ تساوي ﺱ، دعونا نعرف ﺡ بأنها الدالة جتا ﺱ، وﺭ تساوي لوغاريتم ﺡ. بالإضافة إلى قاعدة حاصل الضرب للاشتقاق، يمكننا استخدام قاعدة السلسلة. بما أن ﺩ تساوي ﺱ، فإن ﺩﺩ على ﺩﺱ يساوي واحدًا، وﺩﺡ على ﺩﺱ يساوي سالب جا ﺱ، ووفقًا لقاعدة السلسلة ﺩﺭ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺭ على ﺩﺡ في ﺩﺡ على ﺩﺱ، وهو ما يساوي — وفقًا لمشتقة اللوغاريتمات — واحدًا على ﺡ في سالب جا ﺱ، وهو ما يساوي سالب جا ﺱ على جتا ﺱ. وبما أن جا ﺱ على جتا ﺱ يساوي ظا ﺱ، يصبح لدينا سالب ظا ﺱ.

والآن تذكر أنه في قاعدة حاصل الضرب ﺩ تساوي ﺱ، وﺭ تساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ جتا ﺱ. إذن مشتقة الحد الثاني تساوي ﺩ شرطة في ﺭ، التي تساوي واحدًا في اللوغاريتم الطبيعي لـ جتا ﺱ، زائد ﺩ في ﺭ شرطة، التي تساوي ﺱ في سالب ظا ﺱ، وهو ما يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ جتا ﺱ ناقص ﺱ ظا ﺱ.

حسنًا، دعونا نرتب الشاشة قليلًا. لدينا واحد على ﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ جتا ﺱ ناقص ﺱ ظا ﺱ. وخطوتنا الأخيرة هي إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. إذا ضربنا كلا الطرفين في ﺹ، يمكن أن يحذف ﺹ من بسط الكسر ومقامه في الطرف الأيمن. وتذكر أن ﺹ تساوي في الأساس اثنين في جتا ﺱ مرفوعًا للقوة ﺱ، إذن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي اثنين في جتا ﺱ مرفوعًا للقوة ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ جتا ﺱ ناقص ﺱ ظا ﺱ.

دعونا نختم مناقشتنا للاشتقاق اللوغاريتمي بذكر بعض النقاط الرئيسية. لنفترض أن لدينا الدالة ﺹ تساوي ﺩﺱ، ونريد اشتقاقها باستخدام الاشتقاق اللوغاريتمي. خطوتنا الأولى هي أن نأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين، مع تذكر أن اللوغاريتم الطبيعي هو لوغاريتم للأساس ﻫ. وﻫ هنا هو عدد أويلر، ويساوي ٢٫٧١٨٢٨ تقريبًا. إذن اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺩﺱ. وعلينا تحديد أن ذلك يكون صالحًا عندما تكون ﺹ أكبر من صفر، لأن لوغاريتم الصفر غير موجود. ودالة اللوغاريتم غير معرفة عند القيم السالبة.

ويمكننا بدلًا من ذلك أخذ اللوغاريتم الطبيعي للقيم المطلقة. وفي هذه الحالة سيتضمن ذلك كلًا من قيم ﺹ الموجبة والسالبة، ولكن ليس عندما تكون ﺹ تساوي صفرًا. خطوتنا الثانية هي استخدام قوانين اللوغاريتمات للتفكيك. بعد ذلك، نشتق بالنسبة إلى ﺱ، وأخيرًا نوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ. ونستخدم الاشتقاق اللوغاريتمي عندما تكون الدالة معقدة بحيث يصعب تطبيق قواعد الاشتقاق العادية عليها أو، على سبيل المثال، عندما يكون الأس متغيرًا وليس عددًا ثابتًا.