فيديو السؤال: نظرية القيمة المتوسطة

نسخة الفيديو النصية

نادر غير مقتنع بأن نظرية القيمة المتوسطة صحيحة؛ حيث يقول: إن الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ تساوي القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ من خواصها أننا إذا افترضنا أن ‪𝑎‬‏ يساوي سالب اثنين و‪𝑏‬‏ يساوي اثنين، فإن ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑏‬‏ ناقص ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ على ‪𝑏‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ يساوي صفرًا، ولكن لا توجد النقطة ‪𝑥‬‏ حيث الدالة ‪𝑓‬‏ شرطة في المتغير ‪𝑥‬‏ تساوي صفرًا. ما الخطأ؟

لاستخدام نظرية القيمة المتوسطة، يجب أن يتحقق شرطان. يجب أن تكون الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ متصلة في الفترة ‪𝑎‬‏، ‪𝑏‬‏. إذا نظرنا إلى دالة نادر وهي الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ تساوي القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏، نجد أن هذا الشرط ينطبق عليها. الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ متصلة في الفترة ‪𝑎‬‏، ‪𝑏‬‏. ويشترط أيضًا أن تكون الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ قابلة للاشتقاق في الفترة ‪𝑎‬‏، ‪𝑏‬‏.

وبالنسبة لنادر، ‪𝑓‬‏ شرطة للقيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑥‬‏ على الجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏ تربيع و‪𝑥‬‏ لا يمكن أن يساوي صفرًا. الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ تساوي القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ غير قابلة للاشتقاق في الفترة ‪𝑎‬‏، ‪𝑏‬‏. وهذا يعني أن نظرية القيمة المتوسطة لا تنطبق عليها.