نسخة الفيديو النصية
افترض أن ﺃ وﺏ حدثان في تجربة عشوائية. إذا كان احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي ٠٫٦٨، واحتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي ٠٫١٢، واحتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي احتمال ﺃ في احتمال ﺏ، فما قيم احتمال ﺃ واحتمال ﺏ الممكنة؟
علمنا أن احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي ٠٫١٢، ومن ثم فإننا نعرف أن هذين الحدثين غير متنافيين. فمن الممكن أن يقع كلاهما في الوقت نفسه. نحن نعلم أنه بالنسبة إلى الأحداث غير المتنافية، يكون احتمال ﺃ اتحاد ﺏ، وهو احتمال وقوع ﺃ أو ﺏ، يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ.
في هذا السؤال، احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي ٠٫٦٨. ولا نعلم احتمال ﺃ واحتمال ﺏ. لكننا نعرف أن احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي ٠٫١٢. يمكننا إذن تبسيط هذا التعبير قليلًا بإضافة ٠٫١٢ إلى طرفي المعادلة. وهكذا، يتضح لنا أن احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ يساوي ٠٫٨٠. وهو ما يعطينا المعادلة رقم واحد التي يمكننا استخدامها. علمنا أيضًا أن احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي احتمال ﺃ مضروبًا في احتمال ﺏ. وبما أننا نعلم أن احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي ٠٫١٢، يصبح لدينا الآن المعادلة رقم اثنين التي يمكننا استخدامها لإيجاد احتمال ﺃ واحتمال ﺏ. والمعادلة هي احتمال ﺃ مضروبًا في احتمال ﺏ يساوي ٠٫١٢.
بما أننا سنحل معادلتين آنيتين، سيكون من الأسهل بالنسبة إلينا استخدام بعض المتغيرات. فبدلًا من كتابة احتمال ﺃ مرارًا وتكرارًا، سنستخدم المتغير ﺱ للتعبير عن احتمال ﺃ، ونستخدم المتغير ﺹ للتعبير عن احتمال ﺏ، وهو ما يعني أن المعادلة رقم واحد تصبح ﺱ زائد ﺹ يساوي ٠٫٨، والمعادلة رقم اثنين تصبح ﺱ في ﺹ يساوي ٠٫١٢. يمكننا الحل لإيجاد قيمة المتغير ﺱ في المعادلة رقم واحد بطرح ﺹ من طرفي المعادلة، لنحصل على ﺱ يساوي ٠٫٨ ناقص ﺹ. بعد ذلك، نعوض بالقيمة ٠٫٨ ناقص ﺹ عن ﺱ في المعادلة رقم اثنين.
لحل هذه المعادلة، علينا توزيع المتغير ﺹ على ٠٫٨ وسالب ﺹ، وهو ما يعطينا ٠٫٨ﺹ ناقص ﺹ تربيع يساوي ٠٫١٢. أصبح لدينا الآن حد مربع في المعادلة، وهو ما يجعلها معادلة تربيعية ويوضح لنا أننا سنوجد قيمتين مختلفتين لـ ﺹ. لحل أي معادلة تربيعية، علينا مساواتها بصفر. ولكي نفعل ذلك، نطرح ٠٫٨ﺹ من طرفي المعادلة ثم نضيف ﺹ تربيع إلى كليهما. وهكذا، تصبح لدينا المعادلة: صفر يساوي ﺹ تربيع ناقص ٠٫٨ﺹ زائد ٠٫١٢. يمكننا هنا استخدام القانون العام.
لكن ثمة طريقة يمكننا استخدامها للتحليل. إذا أعدنا كتابة العدد سالب ٠٫٨ على الصورة سالب أربعة أخماس، وهو الكسر المكافئ له، وأعدنا كتابة العدد ٠٫١٢ على صورة الكسر المكافئ له، وهو ثلاثة على ٢٥، فيمكننا تحليل ﺹ تربيع إلى ﺹ في ﺹ، ثم التفكير في الكسرين اللذين حاصل ضربهما يساوي ثلاثة على ٢٥ ومجموعهما يساوي سالب أربعة أخماس. بما أن ثلاثة عدد أولي، علينا البحث عن كسرين بسط أحدهما واحد وبسط الآخر ثلاثة. نعرف أن خمسة في خمسة يساوي ٢٥، ونلاحظ أن خمسًا مضروبًا في ثلاثة أخماس يساوي ثلاثة على ٢٥، وخمسًا زائد ثلاثة أخماس يساوي أربعة أخماس. القيمة التي نريد الحصول عليها هنا هي سالب أربعة أخماس، وهذا يعني أنه يمكننا جعل هاتين القيمتين سالبتين.
قيمتا ﺹ هما القيمتان اللتان تجعلان كل حد من هذين الحدين يساوي صفرًا. إذن، ﺹ لا بد أن يساوي خمسًا أو ثلاثة أخماس. وبما أن الاحتمالات التي بدأنا بها كانت معطاة على الصورة العشرية، يمكننا إعادة كتابة هاتين القيمتين على هذه الصورة لنحصل على ﺹ يساوي ٠٫٢ أو ﺹ يساوي ٠٫٦. لنعد الآن إلى المعادلة الأولى. إذا عوضنا بـ ٠٫٢ عن ﺹ، فسنجد أن ﺱ زائد ﺹ يساوي ٠٫٨. ومن ثم، يمكننا طرح ٠٫٢ من طرفي هذه المعادلة، لنحصل على ﺱ يساوي ٠٫٦ عند ﺹ يساوي ٠٫٢. ولأنه ليس لدينا أي معطيات أخرى عن ﺱ وﺹ، علينا أن نذكر الخيار الآخر المحتمل، وهو أن ﺱ يساوي ٠٫٢ عند ﺹ يساوي ٠٫٦.
والآن، علينا استخدام الترميز الذي بدأنا به، وهو احتمال ﺃ واحتمال ﺏ. ونقول إن احتمال ﺃ يساوي ٠٫٢ واحتمال ﺏ يساوي ٠٫٦، أو احتمال ﺃ يساوي ٠٫٦ واحتمال ﺏ يساوي ٠٫٢. وكلتا الحالتين تحققان الشرط بأن مجموع احتمال ﺃ واحتمال ﺏ لا بد أن يساوي ٠٫٨، وحاصل ضربهما لا بد أن يساوي ٠٫١٢.
