فيديو السؤال: نظرية الباقي

نسخة الفيديو النصية

‏𝑓 في المتغير 𝑥 دالة كثيرة الحدود مقسومة على 𝑥 ناقص 𝑎. إذا كان 𝑥 ناقص 𝑎 ليس عاملًا للدالة 𝑓 في المتغير 𝑥، فماذا يساوي الباقي؟

هناك نظرية تسمى نظرية باقي قسمة كثيرات الحدود، أو نظرية الباقي وحسب، والتي تنص على أن الباقي عند قسمة دالة كثيرة الحدود 𝑓 في المتغير 𝑥 على دالة خطية كثيرة الحدود 𝑥 ناقص 𝑎 هو الدالة 𝑓 لـ 𝑎. لذا، باستخدام هذه النظرية، نجد أن الإجابة هي الدالة 𝑓 لـ 𝑎. وهذه النظرية مفيدة جدًا عمليًا لأنها تسمح لنا بإيجاد الباقي دون الخوض في عملية القسمة المطولة بالكامل.

ويمكننا إثبات هذه النظرية باستخدام ما نعرفه عن القسمة المطولة لكثيرات الحدود. فعند استخدام القسمة المطولة لكثيرات الحدود لقسمة كثيرة الحدود 𝑓 في المتغير 𝑥 على 𝑥 ناقص 𝑎، فإننا في الأساس نعيد كتابتها بالصورة 𝑥 ناقص 𝑎 في الدالة 𝑞 لـ 𝑥، وهو خارج القسمة، زائد الدالة 𝑟 لـ 𝑥، وهو الباقي.

بصفة عامة، هذا الباقي، 𝑟 لـ 𝑥، هو عبارة عن دالة كثيرة الحدود في المتغير 𝑥. ومع ذلك، نعلم أن درجة الدالة الكثيرة الحدود 𝑟 لـ 𝑥 تكون دائمًا أقل من درجة الدالة الكثيرة الحدود التي نقسم عليها. وهي في هذه الحالة 𝑥 ناقص 𝑎. نعلم إذن أن الدالة 𝑟 لـ 𝑥 مجرد دالة كثيرة الحدود ثابتة، وسنكتبها في صورة 𝑟 وحسب.

حسنًا. نعرف إذن أن الباقي عبارة عن ثابت. أعتقد أن هذا مفيد نوعًا ما. لكن ما زال علينا أن نعرف ماهية هذا الثابت. ينطبق هذا التساوي على جميع قيم 𝑥. لذلك يمكننا التعويض عن 𝑥 بأي قيمة نريدها، وسيظل هذا صحيحًا. يمكننا اختيار التعويض بـ 𝑎، وسنحصل على الدالة 𝑓 لـ 𝑎 تساوي 𝑎 ناقص 𝑎 في الدالة 𝑞 لـ 𝑎 زائد 𝑟. وبالطبع، 𝑎 ناقص 𝑎 يساوي صفرًا. لذا، نحصل على صفر في الدالة 𝑞 لـ 𝑎 زائد 𝑟، ما يساوي 𝑟.

وهذا هو إثبات النظرية التي استخدمناها للتو. ونرى أنها تثبت صحتها حتى إذا كان 𝑥 ناقص 𝑎 عاملًا للدالة 𝑓 في المتغير 𝑥، حيث 𝑟 سيساوي صفرًا. إذن، عند قسمة دالة كثيرة الحدود 𝑓 في المتغير 𝑥 على 𝑥 ناقص 𝑎، إذا كان 𝑥 ناقص 𝑎 ليس عاملًا للدالة 𝑓 في المتغير 𝑥، وحتى إذا كان عاملًا بالفعل، فإن الباقي يساوي الدالة 𝑓 لـ 𝑎.