فيديو الدرس: الخط المستقيم والقطعة المستقيمة والشعاع

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نتعرف على النقطة والمستقيم والشعاع والقطعة المستقيمة ونقاط النهاية الطرفية والرموز المستخدمة لوصفها. قد تبدو هذه المهارة غير مهمة إلى حد ما كمهارة مستقلة. لكن بمجرد أن نتمكن من البدء في وصف هذه العناصر باستخدام الرموز واللغة الرياضية، سيفتح لنا هذا عالمًا كاملًا في الهندسة، بدءًا من وصف المضلعات ووصولًا إلى حساب المثلثات والإثبات الهندسي. هيا نبدأ بالنظر إلى بعض هذه التعريفات.

التعريفات التي سنتناولها تأتي جميعها من هذا التعريف الأول. وهو تعريف النقطة. النقطة ببساطة هي موضع أو مكان ما. وليس لها قياس، مثل العرض أو الطول أو العمق، ونمثلها باستخدام دائرة مصمتة صغيرة. رسمنا هنا دائرة مصمتة صغيرة تمثل النقطة ﺃ. وبما أننا عرفنا تعريف النقطة، هيا نكتب تعريف المستقيم.

المستقيم هو مجموعة من النقاط على استقامة واحدة تمتد إلى ما لا نهاية في اتجاهين. وله بعد واحد فقط، هو طوله. ونمثله كما هو موضح. يوضح هذان السهمان أنه يمتد إلى ما لا نهاية في هذين الاتجاهين. وإذا مثلنا هذا المستقيم باعتباره يمر بالنقطتين ﺃ وﺏ، فسنلاحظ أننا نعرفه باستخدام رأس سهم كما هو موضح. نقول إن النقطتين ﺃ وﺏ نقطتان على استقامة واحدة؛ حيث إنهما تقعان على الخط نفسه.

ما المقصود بالشعاع؟ الشعاع هو جزء من خط مستقيم. وهو يبدأ من نقطة معينة تسمى نهاية طرفية، ويمتد في اتجاه معين إلى ما لا نهاية. والشعاع الذي تكون نهايته الطرفية ﺃ ثم يمر بالنقطة ﺏ يمثل باستخدام سهم واحد يحدد اتجاهه كما هو موضح. والنهاية الطرفية التي يمكننا اعتبارها نقطة بداية الشعاع هي ﺃ. على الرغم من أن كلمة نهاية طرفية تعني النقطة التي ينتهي عندها الشعاع.

يوجد تعريف آخر علينا معرفته، وهو تعريف القطعة المستقيمة. القطعة المستقيمة هي جزء من خط مستقيم محصور بين نهايتين طرفيتين مختلفتين. وتشمل كل النقاط الواقعة على الخط المستقيم بين هاتين النقطتين. وهي دائمًا أقصر مسافة بين هاتين النقطتين. في هذه القطعة المستقيمة، ﺃ وﺏ هما النهايتان الطرفيتان. وبذلك، نعرف القطعة المستقيمة ﺃﺏ باستخدام خط كما هو موضح. والآن بعد أن عرفنا بعض التعريفات، سنتناول بعض الأسئلة.

ما الشكل المرسوم؟

إذا نظرنا جيدًا، يمكننا القول إنه يبدو أن لدينا جزءًا من خط مستقيم. لكننا سنتمكن من تحديد اسمه التقليدي بالنظر إلى ما يحدث في نهاية طرف هذا الخط المستقيم المرسوم. يوجد سهمان. يوضح لنا هذان السهمان أن هذا الخط المستقيم يمتد في كلا الاتجاهين. وفي الحقيقة، إنه يمتد إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين. ومن ثم، نتذكر أن التعريف الرياضي المنهجي للخط المستقيم أنه مجموعة من النقاط على استقامة واحدة تمتد إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين. وعليه، يمكننا القول إن لدينا هنا خطًّا مستقيمًا.

ما الشكل المرسوم؟

يبدو أن لدينا خطًّا مستقيمًا أو تحديدًا جزءًا من خط مستقيم. مفتاح الحل هنا هو أن ننظر إلى ما يحدث في طرفي الخط المستقيم. في نهايتي الخط المستقيم، لدينا هاتان الدائرتان المصمتتان. وهما توضحان لنا أن هذا الخط المستقيم ينتهي عند هذين الموضعين. في الحقيقة، الخط المستقيم هو مجموعة من النقاط على استقامة واحدة تمتد إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين. يمكننا ملاحظة أن مجموعة النقاط الواقعة على استقامة واحدة محصورة بين كلتا النهايتين.

ومن ثم، نتذكر التعريف الثاني. نقول إن القطعة المستقيمة جزء من خط مستقيم محصور بين نهايتين طرفيتين. يمكننا ملاحظة أن مجموعة النقاط الواقعة على استقامة واحدة محصورة بالفعل بين نهايتين طرفيتين. ومن ثم، لدينا قطعة مستقيمة.

في المثال التالي، سنرى كيف يمكن أن تساعدنا هذه التعريفات في التعرف على المضلعات.

كم قطعة مستقيمة في الشكل؟

نبدأ بتذكر تعريف القطعة المستقيمة. نعلم أن القطعة المستقيمة هي جزء من خط مستقيم محصور بين نهايتين طرفيتين مختلفتين. وهي تشمل كل النقاط الواقعة على الخط المستقيم بين هاتين النهايتين الطرفيتين. بما أن الخط المستقيم هو مجموعة من النقاط على استقامة واحدة تمتد إلى ما لا نهاية في اتجاهين، نعلم من التعريف أن القطعة المستقيمة يجب أن تكون على استقامة واحدة أيضًا.

إذن، للإجابة عن هذا السؤال، سنعد ببساطة عدد الأجزاء المستقيمة الموجودة في الخط. وسنميزها أثناء العد. توجد واحدة هنا. وواحدة هنا أيضًا، أي لدينا اثنتان. ولدينا هنا واحدة صغيرة؛ أي لدينا ثلاثة. وتوجد واحدة هنا أيضًا. يصبح الإجمالي أربع قطع.

ولا يهم إن كانت أطوال القطع المستقيمة مختلفة. إذن، لدينا أربع قطع مستقيمة مختلفة في هذا الشكل. في الحقيقة، يسمح لنا ذلك بالتعرف على الشكل أمامنا. إنه مضلع له أربعة أضلاع. تذكر أن للمضلعات أحرف مستقيمة، وعليه يمكننا القول إن هذا الشكل هو مضلع رباعي.

في المثالين التاليين، سنرى كيف ستساعدنا التعريفات التي تعلمناها حتى الآن في الإجابة عن الأسئلة المتعلقة بالنقاط.

باستخدام الشكل الآتي، حدد هل الآتي صحيح أم خطأ. القطعة المستقيمة المارة بالنقطتين ﺏ وﺩ تمر أيضًا بالنقطة ﺟ.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نتذكر ما نعنيه في الواقع بالقطعة المستقيمة. القطعة المستقيمة هي جزء من خط مستقيم، وهذا الجزء محصور بين نهايتين طرفيتين مختلفتين. علمنا أن القطعة المستقيمة تمر بالنقطتين ﺏ وﺩ. والنهايتان الطرفيتان للقطعة المستقيمة، كما هو موضح في الشكل، هما ﺏ وﺩ. لذا سنعبر عنها كما هو موضح. نكتب ﺏﺩ فوقه خط.

هيا نقارن إذن النقطة ﺟ بالنقطتين ﺏ وﺩ. إنها تقع على المستقيم الذي يمر بهاتين النقطتين وفي منتصف المسافة تقريبًا بين النقطتين ﺏ وﺩ، أي في منتصف المسافة بين طرفي القطعة المستقيمة. حسب التعريف، يجب أن تكون القطعة من الخط المستقيم على استقامة واحدة وتشمل كل النقاط التي تقع على الخط المستقيم بين النهايتين الطرفيتين. إذن، يمكننا القول إن الجملة صحيحة. القطعة المستقيمة ﺏﺩ تمر أيضًا بالنقطة ﺟ.

هيا نتناول مثالًا آخر كهذا.

هل يمكنك باستخدام الشكل المعطى استنتاج أن الشعاع الذي يبدأ من النقطة ﺟ والمار بالنقطة ﺩ يمر أيضًا بالنقطة ﺏ؟ للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نتذكر ما نعنيه بالشعاع. نقول إن الشعاع هو جزء من خط مستقيم. ولكن، على عكس القطعة المستقيمة، فإنه يمتد من نهاية طرفية في اتجاه معين إلى ما لا نهاية. يبدأ الشعاع من النقطة ﺟ، وعليه فإن النقطة ﺟ هي النهاية الطرفية، وتمر بالنقطة ﺩ. يمكننا تمثيل ذلك باستخدام سهم واحد فوق ﺟﺩ كما هو موضح.

إذن، هل يمر هذا الشعاع بالنقطة ﺏ؟ الإجابة هي لا، فلقد قلنا إن النقطة ﺟ هي النهاية الطرفية. فهي النقطة التي تنتهي عندها القطعة المستقيمة أو الشعاع. ولا تمتد للخلف بعد هذه النهاية الطرفية في اتجاه النقطة ﺏ. ولذلك، يمكننا الإجابة بلا، فلا يمكننا باستخدام الشكل المعطى استنتاج أن الشعاع الذي يبدأ من النقطة ﺟ والمار بالنقطة ﺩ يمر أيضًا بالنقطة ﺏ.

أجب باستخدام الشكل: هل النقطة ﺟ تقع على الخط المستقيم؟

نبدأ أولًا بتذكر تعريف كلمة «الخط المستقيم.» من الناحية الرياضية، نقول إن الخط المستقيم هو مجموعة من النقاط على استقامة واحدة تمتد إلى ما لا نهاية في اتجاهين. وكما هو موضح في الشكل، فهو ممثل باستخدام سهمين. يوضح لنا هذان السهمان أن الخط المستقيم ممتد في كلا الاتجاهين. وإذا قمنا بمد هذا الخط المستقيم لأسفل في الشكل، يمكننا استنتاج أنه سيمر غالبًا بالنقطة ﻫ. لكن هل يمكن أن يمر بالنقطة ﺟ؟ الإجابة هي لا، حيث نلاحظ بوضوح أن النقطتين ﺟ وﺩ لا تقعان على هذا الخط المستقيم. وعليه، الإجابة هي لا.

في المثال الأخير، سنتعلم كيف نطبق الرموز الرياضية.

يوضح الشكل عددًا من النقاط، ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ. استخدم الرموز الرياضية لوصف مجموعة نقاط على استقامة واحدة تبدأ من النقطة ﺏ وتمر بالنقطة ﺩ، ومجموعة نقاط على استقامة واحدة تبدأ من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺟ، ومجموعة نقاط على استقامة واحدة تمر بالنقطتين ﺃ وﺟ وتمتد إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين.

نبدأ بالنظر إلى مجموعة من النقاط على استقامة واحدة تبدأ من النقطة ﺏ وتمر بالنقطة ﺩ. إنه هذا الجزء كله. مجموعة النقاط هذه لها نهاية طرفية، لكنها تمتد إلى ما لا نهاية مرورًا بالنقطة ﺩ وما بعدها. يمكننا إذن القول إن مجموعة النقاط هذه تمثل شعاعًا. نحن نمثل الشعاع باستخدام سهم باتجاه واحد كما هو موضح، ونستخدم النهاية الطرفية كأول حرف. وبهذا، يمكننا القول إن مجموعة النقاط الواقعة على استقامة واحدة بداية من النقطة ﺏ ومرورًا بالنقطة ﺩ موضحة أمامنا. وهي ﺏﺩ مع كتابة سهم.

بعد ذلك، مطلوب منا وصف مجموعة النقاط التي على استقامة واحدة بداية من النقطة ﺃ وحتى النقطة ﺟ. إنها هذا الخط المستقيم الموضح لدينا. نعلم أن هذا الخط له نقطة بداية ونقطة نهاية محددتين. لكننا في الواقع، سنسمي كلتيهما نهايتين طرفيتين. ومن ثم، مجموعة النقاط الواقعة على استقامة واحدة بين هاتين النهايتين الطرفيتين يجب أن تكونا قطعة مستقيمة. نستخدم خطًّا لتمثيل القطعة المستقيمة. وعليه، مثلنا مجموعة النقاط الواقعة على استقامة واحدة من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺟ باستخدام الحرفين ﺃﺟ مع خط.

وأخيرًا، سننظر إلى مجموعة النقاط الواقعة على استقامة واحدة وتمر بالنقطتين ﺃ وﺟ ثم تمتد إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين. نلاحظ أنها هذا الخط المستقيم كله هنا. يوضح لنا السهمان أن هذا الخط المستقيم يمتد إلى ما لا نهاية. ومجموعة النقاط الواقعة على استقامة واحدة وتمتد إلى ما لا نهاية في اتجاهين عبارة عن خط مستقيم. نستخدم سهمًا باتجاهين، تمامًا كما في الصورة، لتمثيل ذلك. إنه ﺃﺟ مع سهم باتجاهين.

في هذا الفيديو، تعلمنا أولًا أن النقطة هي مكان ما. وليس لها أي قياس مثل العرض أو الطول، ويتم تمثيلها باستخدام دائرة صغيرة مصمتة. تعلمنا أن الخط المستقيم هو مجموعة من النقاط على استقامة واحدة تمتد إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين. واستخدمنا نقطتين محددتين لوصفه وسهمًا باتجاهين فوق هاتين النقطتين لنوضح أن لدينا خطًّا مستقيمًا. فعندما تقع النقاط على الخط المستقيم نفسه، فإنها تسمى نقاطًا على استقامة واحدة.

عرفنا أن الشعاع يمثل جزءًا من الخط المستقيم. وله نهاية طرفية واحدة تمثلها النقطة ﺃ الموضحة بالشكل، ويمتد إلى ما لا نهاية في اتجاه معين. ويمر بالنقطة ﺏ. مثلنا هذا باستخدام سهم باتجاه واحد. عرفنا بعد ذلك أن القطعة المستقيمة هي أيضًا جزء من الخط المستقيم. لكن لها نهايتين طرفيتين مختلفتين، وتشمل كل النقاط الواقعة على الخط المستقيم بين هاتين النقطتين. ومثلناها باستخدام خط، كما هو موضح.