فيديو الدرس: الحركة الخطية باستخدام المشتقات الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم الاشتقاق لإيجاد السرعة المتجهة اللحظية والسرعة والعجلة لجسيم. سنبدأ بتذكر بعض المصطلحات الأساسية والرموز ووحداتها.

تقاس إزاحة الجسم، المشار إليها بـ ﻑﻥ، بالمتر. والمسافة التي يقطعها الجسم هي مقدار ﻑﻥ؛ لأن المسافة يجب أن تكون موجبة دائمًا. وتقاس أيضًا بوحدة المتر القياسية. يرمز إلى السرعة المتجهة للجسم بـ ﻉﻥ، وتقاس بالمتر لكل ثانية. وكما هو الحال مع المسافة، يجب أن تكون سرعة الجسم موجبة. وعليه، فإن السرعة تساوي مقدار السرعة المتجهة. وأخيرًا، لدينا العجلة ﺟﻥ، وهي التي تقاس بالوحدة القياسية متر لكل ثانية مربعة.

قبل أن نفكر في كيفية استخدام الاشتقاق في حل المسائل، سنبدأ بالنظر إلى منحنى السرعة-الزمن وكيف يربط بين هذه المصطلحات. يوضح الرسم الموجود أمامنا التمثيل البياني للسرعة-الزمن عند ست فترات مختلفة. نحن نعلم أن مشتقة السرعة المتجهة تعطينا عجلة الجسم. لذا عندما يميل المنحنى لأعلى، تكون العجلة موجبة. ويمكننا حساب هذه العجلة بحساب ميل أو انحدار المنحنى. وبالمثل، عندما يميل المنحنى لأسفل، تكون العجلة سالبة. وأخيرًا، عندما يكون المنحنى أفقيًّا، لا يوجد ميل أو انحدار. هذا يعني أن العجلة تساوي صفرًا، وأن الجسم يتحرك بسرعة متجهة ثابتة.

الإزاحة هي التغير في موضع الجسم. ويمكننا حساب هذه الإزاحة عن طريق إيجاد المساحة بين المنحنى والمحور ﻥ. عندما يكون المنحنى أعلى هذا المحور، تكون الإزاحة موجبة، وعندما يكون أسفل المحور، تكون سالبة. سنتناول الآن سؤالًا يتضمن منحنى السرعة-الزمن.

يوضح الشكل الموجود أمامنا منحنى السرعة-الزمن لجسيم يتحرك في خط مستقيم. متى تكون عجلة الجسيم سالبة؟

إننا نعرف أنه عند التعامل مع منحنى السرعة-الزمن، تكون العجلة سالبة عندما يتجه الميل لأسفل من اليسار إلى اليمين. وهذا يحدث خلال ثلاث فترات في التمثيل البياني. بين ﻥ يساوي صفرًا وﻥ يساوي ثلاثة، تقل السرعة المتجهة ﻉﻥ من ستة إلى صفر. هذا يعني أنها تتباطأ أو أن العجلة سالبة. ومن ﻥ يساوي ثلاثة إلى ﻥ يساوي أربعة، تقل السرعة المتجهة من صفر إلى سالب ستة. وأخيرًا، بين ﻥ يساوي تسعة وﻥ يساوي ١١، تقل السرعة المتجهة من خمسة إلى صفر. يمكننا إذن استنتاج أن العجلة تكون سالبة من ﻥ يساوي صفرًا إلى ﻥ يساوي أربعة، وتكون سالبة أيضًا من ﻥ يساوي تسعة إلى ﻥ يساوي ١١. هناك فترتان متصلتان في التمثيل البياني تكون خلالهما عجلة الجسيم سالبة.

سننتقل الآن إلى معرفة كيف يمكننا التحويل بين الإزاحة والسرعة المتجهة والعجلة باستخدام الاشتقاق. نتذكر أنه يمكن كتابة إزاحة الجسم عند الزمن ﻥ على الصورة ﻑﻥ. والسرعة المتجهة هي ﻉﻥ، والعجلة ﺟﻥ. إذا كان لدينا تعبير يدل على ﻑﻥ، يمكننا الاشتقاق بالنسبة إلى ﻥ لإيجاد تعبير يدل على ﻉﻥ. ينطبق الأمر نفسه على التحويل من السرعة المتجهة إلى العجلة. هذا يعني أن ﻉﻥ يساوي ﺩ على ﺩﻥ لـ ﻑﻥ. وبالمثل، ﺟﻥ يساوي ﺩ على ﺩﻥ لـ ﻉﻥ. يمكننا أيضًا إيجاد تعبير للعجلة ﺟﻥ عن طريق اشتقاق تعبير الإزاحة مرتين.

وعلى الرغم من أن هذا خارج نطاق هذا الفيديو، يمكننا التحرك في الاتجاه المعاكس من ﺟﻥ إلى ﻉﻥ، ومن ﻉﻥ إلى ﻑﻥ من خلال التكامل. هذا لأن التكامل عكس الاشتقاق. سنتناول الآن بعض الأمثلة التي نحتاج فيها إلى إيجاد تعبير للسرعة المتجهة أو عجلة الجسم، ونتوسع بحيث نوجد السرعة المتجهة أو العجلة عند زمن معين.

يتحرك جسيم في خط مستقيم؛ حيث تعطى إزاحته ﻑ بعد ﻥ ثانية بالعلاقة: ﻑ يساوي اثنين ﻥ تربيع ناقص ثلاثة ﻥ زائد ثلاثة متر؛ حيث ﻥ أكبر من صفر. أوجد السرعة المتجهة ﻉ باعتبارها دالة في الزمن.

تخبرنا المسألة أن إزاحة جسيم، ﻑ، تساوي اثنين ﻥ تربيع ناقص ثلاثة ﻥ زائد ثلاثة متر. وعلينا إيجاد تعبير للسرعة المتجهة ﻉ. لإجراء ذلك، علينا اشتقاق الدالة؛ لأن ﻉﻥ يساوي ﺩ على ﺩﻥ لـ ﻑﻥ. إذا كانت إزاحة الجسم معطاة في صورة دالة بدلالة الزمن، يمكننا الاشتقاق لإيجاد تعبير للسرعة المتجهة. اشتقاق اثنين ﻥ تربيع يعطينا ٤ﻥ. اشتقاق سالب ثلاثة ﻥ يعطينا سالب ثلاثة. واشتقاق الثابت، وهو ثلاثة، يعطينا صفرًا. ومن ثم، فإن السرعة المتجهة تساوي ٤ﻥ ناقص ثلاثة. وبما أننا نشتق بالنسبة إلى ﻥ، فإن ﻉ يساوي ٤ﻥ ناقص ثلاثة متر لكل ثانية. هذا هو تعبير السرعة المتجهة باعتبارها دالة في الزمن.

في السؤال التالي، علينا إيجاد تعبير للعجلة كدالة في الزمن.

يتحرك جسيم في خط مستقيم؛ حيث تعطى إزاحته ﻑ بعد ﻥ ثانية بالعلاقة: ﻑ يساوي اثنين ﻥ تكعيب زائد اثنين ﻥ زائد اثنين متر؛ حيث ﻥ أكبر من صفر. أوجد العجلة ﺟ باعتبارها دالة في الزمن.

للإجابة عن هذا السؤال، نتذكر أنه لإيجاد تعبير للسرعة المتجهة، يمكننا اشتقاق تعبير للإزاحة بدلالة الزمن. بالمثل، يمكننا اشتقاق تعبير السرعة المتجهة لحساب تعبير للعجلة. هذا يعني أن ﻉﻥ يساوي ﺩ على ﺩﻥ لـ ﻑﻥ. وبالمثل، ﺟﻥ يساوي ﺩ على ﺩﻥ لـ ﻉﻥ. في هذه المسألة، نعلم أن الإزاحة ﻑ تساوي اثنين ﻥ تكعيب زائد اثنين ﻥ زائد اثنين متر.

اشتقاق هذا بالنسبة لـ ﻥ يعطينا تعبيرًا للسرعة المتجهة. اشتقاق اثنين ﻥ تكعيب يعطينا ستة ﻥ تربيع. اشتقاق اثنين ﻥ يعطينا اثنين، واشتقاق الثابت اثنين يعطينا صفرًا. وعليه، فإن ﻉ يساوي ستة ﻥ تربيع زائد اثنين. وبما أن الإزاحة تقاس بالمتر والزمن بالثواني، فستقاس السرعة المتجهة بالمتر لكل ثانية. ‏ﻉ يساوي ستة ﻥ تربيع زائد اثنين متر لكل ثانية.

باشتقاق هذا التعبير الجديد بالنسبة إلى ﻥ نحصل على تعبير لـ ﺟ. عندما نشتق ستة ﻥ تربيع، نحصل على ١٢ﻥ، واشتقاق الثابت يعطينا صفرًا. إذن، العجلة ﺟ تساوي ١٢ﻥ. يمكننا إذن استنتاج أنه إذا كان ﻑ يساوي اثنين ﻥ تكعيب زائد اثنين ﻥ زائد اثنين متر، فإن عجلة الجسيم، ﺟ، باعتبارها دالة في الزمن تساوي ١٢ﻥ متر لكل ثانية تربيع.

في السؤال التالي، علينا حساب مقدار عجلة جسيم عندما يتحرك بسرعة متجهة معينة.

يتحرك جسيم في خط مستقيم؛ حيث سرعته المتجهة ﻉ في الزمن ﻥ تعطى بالعلاقة: ﻉ يساوي اثنين ﻥ تربيع ناقص ٦٨ متر لكل ثانية؛ حيث ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا. أوجد مقدار عجلة الجسم عندما تصل سرعته المتجهة إلى ٩٤ مترًا لكل ثانية.

للإجابة عن هذا السؤال، نتذكر أنه لإيجاد تعبير لعجلة جسم، ﺟﻥ، علينا اشتقاق التعبير ﻉﻥ. والسرعة المتجهة لهذا الجسم عند الزمن ﻥ ثانية تساوي اثنين ﻥ تربيع ناقص ٦٨ متر لكل ثانية. اشتقاق اثنين ﻥ تربيع يعطينا أربعة ﻥ. اشتقاق أي ثابت يعطينا صفرًا. وعليه، فإن اشتقاق سالب ٦٨ يساوي صفرًا. إذن، العجلة ﺟ تساوي أربعة ﻥ. وبما أن الزمن ﻥ يقاس بالثواني، فإن العجلة تساوي أربعة ﻥ متر لكل ثانية تربيع.

مطلوب منا حساب مقدار هذه العجلة عندما تكون السرعة المتجهة ٩٤ مترًا لكل ثانية. يمكننا فعل ذلك عن طريق إيجاد قيمة ﻥ التي تجعل السرعة المتجهة ٩٤ مترًا لكل ثانية، ثم نعوض بقيمة ﻥ هذه في معادلة ﺟﻥ. بجعل معادلة ﻉ تساوي ٩٤، نحصل على: اثنان ﻥ تربيع ناقص ٦٨ يساوي ٩٤. بإضافة ٦٨ إلى طرفي هذه المعادلة، يصبح لدينا: اثنان ﻥ تربيع يساوي ١٦٢. يمكننا بعد ذلك قسمة طرفي المعادلة على اثنين، وبذلك ﻥ تربيع يساوي ٨١. وبأخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة، نجد أن ﻥ يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لـ ٨١. وبما أن تسعة تربيع يساوي ٨١، فهذا يعني أن ﻥ يساوي موجب أو سالب تسعة.

يخبرنا السؤال أن ﻥ، وهو الزمن، أكبر من أو يساوي صفرًا. وهذا يعني أن الزمن الذي عنده السرعة المتجهة تساوي ٩٤ مترًا لكل ثانية هو تسع ثوان. يمكننا الآن التعويض بهذه القيمة في التعبير الدال على العجلة. ‏ﺟ يساوي أربعة مضروبًا في تسعة. وبما أن أربعة مضروبًا في تسعة يساوي ٣٦، يمكننا إذن استنتاج أن مقدار عجلة الجسم عندما تكون السرعة المتجهة ٩٤ مترًا لكل ثانية يساوي ٣٦ مترًا لكل ثانية مربعة.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. رأينا في هذا الفيديو أنه يمكننا استخدام الاشتقاق لإيجاد السرعة المتجهة والعجلة لجسيم على صورة دالة في الزمن. إذا كان لدينا تعبير لإزاحة جسيم أو جسم بدلالة الزمن، ويرمز لها بـ ﻑﻥ، يمكننا إيجاد تعبير يدل على ﻉﻥ، أي السرعة المتجهة للجسيم، عن طريق الاشتقاق. وبالمثل، يمكننا اشتقاق هذا التعبير، ﻉﻥ، بالنسبة إلى الزمن لإيجاد تعبير يدل على ﺟﻥ، وهي العجلة. ويمكن كتابة ذلك بطريقة رياضية أكثر كما هو موضح.

سرعة الجسيم هي مقدار سرعته المتجهة، والمسافة هي مقدار الإزاحة. هذا لأن السرعة والمسافة يجب أن تكونا قيمتين موجبتين. وعلى الرغم من عدم تناول ذلك في هذا الفيديو، فمن المهم معرفة أن الجسيم يكون في حالة سكون لحظي عند ﻉﻥ يساوي صفرًا.