فيديو الدرس: الأعداد التخيلية البحتة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية التعامل مع الأعداد التخيلية البحتة. إن معرفة كيفية التعامل مع هذه الأعداد هو أساس مهم لتتعامل جيدًا وبثقة مع الأعداد المركبة. سنبدأ بتعلم كيفية إيجاد الأعداد التخيلية وتبسيطها، بما في ذلك إيجاد حاصل ضرب هذه الأعداد. ثم سنكتشف كيفية حل المعادلات التي لها حلول تخيلية.

يعد رافائيل بومبيلي عالم الرياضيات هو الذي اخترع الأعداد المركبة. فبينما كان علماء الرياضيات الآخرون يعملون على حل المعادلات من خلال إيجاد الحلول الحقيقية البحتة، رأى بومبيلي فائدة استخدام الجذر التربيعي للأعداد السالبة، ووضع قواعد علم الحساب للأعداد التخيلية التي ما نزال نستخدمها حتى الآن. ومن المثير للاهتمام أن بومبيلي ابتعد عن منح اسم خاص للجذر التربيعي للأعداد السالبة، واختار بدلًا من ذلك التعامل معها كما يتعامل مع أي جذر آخر. وقد أطلق على ما نعرفه الآن بـ ﺕ «موجب السالب». واستخدم المصطلح «سالب السالب» لوصف سالب ﺕ.

لكن ما تعريف هذا العدد التخيلي الذي نسميه الآن ﺕ؟ يعرف ﺕ، في أبسط أشكاله، بأنه حل للمعادلة ﺱ تربيع يساوي سالب واحد. هذا يعني أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. ويمكننا إذن القول إن ﺕ يساوي الجذر التربيعي لسالب واحد. ويطلق على ﺕ عددًا تخيليًّا؛ لأنه في الأساس ليس جزءًا من مجموعة الأعداد الحقيقية. هذا يعني أن أي حاصل ضرب لـ ﺕ في عدد حقيقي، أي ﺏﺕ؛ حيث ﺏ عدد حقيقي، هو أيضًا عدد تخيلي بحت.

لماذا إذن نستخدم هذه الأعداد؟ لماذا لا نكتفي فقط بمجموعة الأعداد الحقيقية التي نعرفها جيدًا بالفعل؟ حسنًا، كما رأينا في تعريف ﺕ، ثمة بعض المعادلات التي ليس لها حلول حقيقية. تسمح لنا الأعداد التخيلية بحل هذه المعادلات. لنلق نظرة على مثال لذلك. سنبدأ بالنظر إلى معادلة لا تتطلب الكثير من إعادة الترتيب.

حل المعادلة ﺱ تربيع يساوي سالب ١٦.

لحل معادلة كهذه، نبدأ بالحل كما نفعل مع أي معادلة لها حلول حقيقية من خلال إجراء سلسلة من العمليات العكسية. في هذه الحالة، سنوجد الجذر التربيعي لطرفي المعادلة. لكن قبل فعل ذلك، نختار إعادة كتابة سالب ١٦. سنكتبه بالصورة ١٦ﺕ تربيع. وسنعرف سبب ذلك بعد لحظات. لكن هذه الصورة جيدة حتى الآن لأن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. وهذا يعني أن ١٦ﺕ تربيع يساوي ١٦ في سالب واحد، أي سالب ١٦.

الآن وقد أصبحت لدينا المعادلة ﺱ تربيع يساوي ١٦ﺕ تربيع، يمكننا إيجاد الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، وتذكر أنه يمكننا أخذ كل من الجذر الموجب والسالب لـ ١٦ﺕ تربيع. الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع يساوي ﺱ. إذن ﺱ يساوي الجذر التربيعي الموجب والسالب لـ ١٦ﺕ تربيع. وخلال الخطوة التالية، سيتضح لنا سبب اختيارنا لكتابة سالب ١٦ بالصورة ١٦ﺕ تربيع. فيمكننا تجزئة الجذر التربيعي لـ ١٦ﺕ تربيع إلى الجذر التربيعي لـ ١٦ في الجذر التربيعي لـ ﺕ تربيع.

الجذر التربيعي لـ ١٦ هو أربعة والجذر التربيعي لـ ﺕ تربيع هو ﺕ؛ ومن ثم يمكننا ملاحظة أن ﺱ يساوي موجب أو سالب أربعة ﺕ. وحلا المعادلة ﺱ تربيع يساوي سالب ١٦ هما أربعة ﺕ وسالب أربعة ﺕ. والآن، لا بد وأننا عرفنا سبب كتابتنا سالب ١٦ بالصورة ١٦ﺕ تربيع. فهذا يجعل هذه الخطوات الأخيرة أسهل قليلًا.

وبالطبع، يمكننا التحقق من الحل بالتعويض بهاتين القيمتين مرة أخرى في المعادلة الأصلية. دعونا نجرب ذلك باستخدام ﺱ يساوي أربعة ﺕ أولًا. ‏ﺱ تربيع يساوي أربعة ﺕ تربيع. وبالطبع هذا يساوي أربعة ﺕ في أربعة ﺕ. وعملية الضرب هي عملية إبدالية. فيمكن إجراؤها بأي ترتيب. إذن، يمكننا إعادة كتابة هذا بالصورة أربعة في أربعة في ﺕ في ﺕ. أربعة مضروبًا في أربعة يساوي ١٦، وﺕ في ﺕ يساوي ﺕ تربيع. وبما أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد، فإن ﺱ تربيع يساوي سالب ١٦ كما هو مطلوب.

يمكننا تكرار هذه العملية مع ﺱ يساوي سالب أربعة ﺕ. فنجد أن ﺱ تربيع يساوي سالب أربعة ﺕ في سالب أربعة ﺕ، وهو ما يمكن كتابته بالصورة سالب أربعة في سالب أربعة في ﺕ في ﺕ. ومرة أخرى، بما أن سالب أربعة في سالب أربعة يساوي موجب ١٦، يصبح لدينا ١٦ﺕ تربيع وهو ما يساوي سالب ١٦ كما هو مطلوب.

بعد ذلك، سنلقي نظرة على معادلة تتطلب مزيدًا من العمل لحلها.

حل المعادلة: اثنان ﺱ تربيع يساوي سالب ٥٠.

لبدء حل هذه المعادلة، سنقسم كلا الطرفين على اثنين. سالب ٥٠ مقسومًا على اثنين يساوي سالب ٢٥. إذن، ﺱ تربيع يساوي سالب ٢٥. الآن نعيد كتابة سالب ٢٥ بالصورة ٢٥ﺕ تربيع. وتذكر أنه يمكننا فعل ذلك لأن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. بعد ذلك، نوجد الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة.

وبالطبع، يمكننا إيجاد كل من الجذر التربيعي الموجب والسالب لـ ٢٥ﺕ تربيع. إذن، ﺱ يساوي الجذر الموجب أو السالب لـ ٢٥ﺕ تربيع. يمكننا إذن كتابة الجذر التربيعي لـ ٢٥ﺕ تربيع في صورة الجذر التربيعي لـ ٢٥ مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ﺕ تربيع، وهو ما يساوي خمسة ﺕ. لذلك، ﺱ يساوي موجب أو سالب خمسة ﺕ. وعليه يصبح حلا المعادلة اثنان ﺱ تربيع يساوي سالب ٥٠ هما خمسة ﺕ وسالب خمسة ﺕ.

في الأمثلة التالية، سننظر في كيفية الاستفادة من قواعد علم الحساب وعلم الجبر للأعداد الحقيقية لمساعدتنا على حل المسائل التي تشمل الأعداد التخيلية البحتة.

بسط اثنين ﺕ تربيع مضروبًا في سالب اثنين ﺕ تكعيب.

عند تربيع أي عدد، نضربه في نفسه. إذن، فإن اثنين ﺕ تربيع يساوي اثنين ﺕ مضروبًا في اثنين ﺕ. وبما أن عملية الضرب عملية إبدالية، يمكننا كتابة ذلك بالصورة اثنين في اثنين في ﺕ في ﺕ. وفي الحقيقة، هذا يشبه قليلًا إيجاد قيمة مقدار جبري. نضرب اثنين في اثنين لنحصل على أربعة، ونضرب ﺕ في ﺕ لنحصل على ﺕ تربيع. لكن تذكر أن ﺕ ليس متغيرًا. فهو حل المعادلة ﺱ تربيع يساوي سالب واحد حيث ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. إذن، أربعة ﺕ تربيع يساوي أربعة مضروبًا في سالب واحد، وهو ما يساوي سالب أربعة.

بعد ذلك، سنوجد قيمة سالب اثنين ﺕ تكعيب. لكننا لن نكتبه بالصورة سالب اثنين ﺕ في سالب اثنين ﺕ في سالب اثنين ﺕ. وإنما سنستخدم، بدلًا من ذلك، قواعد الأسس التي اعتدنا استخدامها. وسنكتبه بالصورة سالب اثنين تكعيب في ﺕ تكعيب. سالب اثنين تكعيب يساوي سالب ثمانية. لكن ماذا عن ﺕ تكعيب؟ قد يبدو هذا صعبًا بعض الشيء. لكنه يماثل تمامًا كتابتنا ﺕ تربيع في ﺕ. وﺕ تربيع يساوي سالب واحد. إذن، يصبح المقدار لدينا سالب ثمانية مضروبًا في سالب واحد في ﺕ، وهو ما يساوي ثمانية ﺕ.

الخطوة الأخيرة لدينا هي التعويض عن اثنين ﺕ تربيع وسالب اثنين ﺕ تكعيب بسالب أربعة وثمانية ﺕ، على الترتيب. بعد ذلك، سنوجد قيمة ذلك مثلما نفعل بالضبط مع أي مقدار جبري. فيصبح لدينا سالب أربعة في ثمانية ﺕ، وهو ما يساوي سالب ٣٢ﺕ.

لقد رأينا أنه يمكننا تطبيق بعض قواعد التعامل مع المقادير الجبرية لمساعدتنا على إيجاد قيم المقادير التي تتضمن أعدادًا تخيلية. ورأينا كذلك أن ﺕ تكعيب يساوي سالب ﺕ.

في هذه المرحلة، قد يكون من المفيد مراعاة ما يحدث لقوى ﺕ الأخرى، مثل ﺕ أس أربعة أو أس خمسة. يمكننا إيجاد قيمة ﺕ أس أربعة باعتباره ﺕ تربيع في ﺕ تربيع. وبما أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد، نقول إن ﺕ أس أربعة يساوي سالب واحد مضروبًا في سالب واحد، وهو ما يساوي واحدًا. ومن هنا، يمكننا بدء التعميم.

سنرفع طرفي المعادلة للأس ﻥ. وهذا يصلح لقيم ﻥ الصحيحة. عندما نفعل ذلك، سنلاحظ أن ﺕ أس أربعة ﻥ يساوي واحدًا أس ﻥ. ولكن في الحقيقة، واحد أس أي قيمة يساوى واحدًا فحسب. إذن، يمكننا ملاحظة أن ﺕ أس أربعة ﻥ يساوي واحدًا. بعد ذلك قد نختار ضرب طرفي هذه المعادلة في ﺕ أو ﺕ أس واحد.

تذكر أنه عندما نضرب عددين لهما الأساس نفسه، مثل ﺕ هنا، نجمع الأسس. إذن ﺕ في ﺕ أس أربعة ﻥ يساوي ﺕ أس أربعة ﻥ زائد واحد، وﺕ أس أربعة ﻥ زائد واحد يساوي ﺕ. فلنفعل ذلك مرة أخرى. عند فعل ذلك، نلاحظ أن ﺕ أس أربعة ﻥ زائد اثنين يساوي ﺕ تربيع. وﺕ تربيع يساوي سالب واحد. إذن ﺕ أس أربعة ﻥ زائد اثنين يساوي سالب واحد. سنكرر هذه العملية مرة أخرى. فنجد أن ﺕ أس أربعة ﻥ زائد ثلاثة يساوي سالب ﺕ.

والآن علينا التوقف. لماذا؟ حسنًا، إذا ضربنا في ﺕ مرة أخرى، فسنحصل على ﺕ أس أربعة ﻥ زائد أربعة. وأربعة هو أحد مضاعفات العدد أربعة. إذن، سيكون لهذا الناتج نفسه الذي حصلنا عليه مع ﺕ أس أربعة ﻥ. وتتكرر هذه الدورة إلى ما لا نهاية. ثمة رسم بسيط يمكننا استخدامه لإيجاد قيمة أي قوى لـ ﺕ. بالنسبة لأي قيم صحيحة لـ ﻥ، يمكننا استخدام هذه الدورة لتحديد قيمة أي قوى لـ ﺕ. فلننظر في فائدة هذه النتائج من خلال تبسيط مقدار معطى بدلالة قوى ﺕ.

بسط ﺕ أس ٣٠.

لتبسيط هذا المقدار، لا نريد بالتأكيد كتابة ﺕ مكررًا ٣٠ مرة وإيجاد قيمة كل زوج. بدلًا من ذلك، سنسترجع الدورة التي تساعدنا على تذكر متطابقات قوى ﺕ المختلفة. فلنقارن العدد ﺕ أس ٣٠ بهذه الدورة. نحتاج إلى تمثيل الأس ٣٠ بالصورة أربعة ﺃ زائد ﺏ. ولكي يتوافق مع قوى ﺕ في الدورة، يمكن أن يكون ﺏ صفرًا أو واحدًا أو اثنين أو ثلاثة.

وفي الواقع، يمكن كتابة ٣٠ بالصورة أربعة مضروبًا في سبعة زائد اثنين. إذن، ﺕ أس ٣٠ يتوافق مع الجزء من الدورة الذي يكون فيه ﺕ مرفوعًا لأس أربعة ﻥ زائد اثنين. ووفقًا لذلك، ﺕ أس أربعة ﻥ زائد اثنين يساوي سالب واحد. وهذا يعني أن ﺕ أس ٣٠ يساوي سالب واحد.

ثمة طريقة أخرى كان من الممكن اتباعها، وهي كتابة ﺕ أس ٣٠ بالصورة ﺕ أس أربعة في سبعة زائد اثنين. ونحن نعلم من قواعد الأسس أن هذا يمثل الشيء نفسه إذا كتبنا ﺕ أس أربعة أس سبعة في ﺕ أس اثنين. وﺕ أس أربعة يساوي واحدًا، وﺕ تربيع يساوي سالب واحد. إذن، يصبح المقدار لدينا واحدًا أس سبعة مضروبًا في سالب واحد، وهو ما يساوي مرة أخرى سالب واحد.

بذلك نكون قد رأينا كيف توفر لنا هذه الدورة الوقت عند التعامل مع قوى ﺕ الموجبة. وفي الحقيقة، من المهم تذكر أن هذه المجموعات من القواعد المستخدمة في تبسيط قوى ﺕ تصلح في الواقع للقوى السالبة أيضًا.

لنلق نظرة على مثال أكثر تعقيدًا على ذلك.

إذا كان ﻥ عددًا صحيحًا، فبسط ﺕ أس ١٦ﻥ ناقص ٣٥.

تذكر أن الدورة التي تساعدنا على تذكر متطابقات قوى ﺕ المختلفة تكون كما هو موضح. يمكننا اتباع إحدى طريقتين هنا. الطريقة الأولى هي استخدام قوانين الأسس بإلغاء التبسيط لهذا المقدار قليلًا. نعلم أن ﺱ أس ﺃ في ﺱ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ زائد ﺏ. ومن ثم، يمكننا عكس ذلك ونقول إن ﺕ أس ١٦ﻥ ناقص ٣٥ يساوي ﺕ أس ١٦ﻥ في ﺕ أس سالب ٣٥.

ويمكن كتابة ﺕ أس ١٦ﻥ في الواقع بالصورة ﺕ أس أربعة أس أربعة ﻥ. هذا يتوافق مع الجزء الموجود في الدورة الذي فيه ﺕ أس أربعة ﻥ. لذلك يمكننا ملاحظة أن ﺕ أس ١٦ﻥ يساوي واحدًا. وماذا عن ﺕ أس سالب ٣٥؟ هذا الجزء أكثر تعقيدًا بعض الشيء. سنكتب سالب ٣٥ بالصورة أربعة ﺃ زائد ﺏ، حيث ﺏ يمكن أن تكون قيمتها صفرًا أو واحدًا أو اثنين أو ثلاثة لتتوافق مع القيم الموجودة في الدورة. وهو ما يساوي أربعة في سالب تسعة زائد واحد.

تذكر أن أربعة في سالب تسعة يساوي سالب ٣٦، وبإضافة واحد يصبح لدينا سالب ٣٥. لقد اخترنا سالب تسعة بدلًا من سالب ثمانية لأننا أردنا أن تكون قيمة ﺏ صفرًا أو واحدًا أو اثنين أو ثلاثة. وبالتأكيد لا نريدها أن تكون قيمة سالبة. ومن ثم، سيكون لـ ﺕ أس سالب ٣٥ الناتج نفسه لـ ﺕ أس أربعة ﻥ زائد واحد في الدورة، وهو ما يساوي ﺕ. إذن ﺕ أس ١٦ﻥ ناقص ٣٥ يساوي واحدًا مضروبًا في ﺕ، وهو ما يساوي ﺕ.

لنلق نظرة على الطريقة البديلة. هنا سننتقل مباشرة إلى كتابة الأس، وهو ١٦ ﻥ ناقص ٣٥، بالصورة أربعة ﺃ زائد ﺏ حيث ﺏ تساوي، مرة أخرى، صفرًا أو واحدًا أو اثنين أو ثلاثة. يمكننا كتابة ١٦ﻥ بالصورة أربعة في أربعة ﻥ وكتابة سالب ٣٥ بالصورة أربعة في سالب تسعة زائد واحد. يمكننا تحليل هذا المقدار، فنلاحظ أن ١٦ﻥ ناقص ٣٥ هو نفسه أربعة مضروبًا في أربعة ﻥ ناقص تسعة زائد واحد. يمكننا مرة أخرى ملاحظة أن ﺕ أس ١٦ﻥ ناقص ٣٥ له نفس ناتج ﺕ أس أربعة ﻥ زائد واحد في الدورة، وهو ﺕ.

يتضمن مثالنا الأخير أحد قوانين الجذور التي تناولناها باختصار في هذا الدرس. وهو أن الجذر التربيعي لـ ﺃ في ﺏ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ في الجذر التربيعي لـ ﺏ. يجب أن ننتبه جيدًا لهذه القاعدة. فعلى الرغم من أنها تصلح لكل الأعداد الحقيقية الموجبة، لا ينطبق الأمر نفسه على الأعداد السالبة.

بسط الجذر التربيعي لسالب ١٠ في الجذر التربيعي لسالب ستة.

سنبدأ بالتعبير عن كل جذر بدلالة ﺕ. تذكر أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. لذلك يمكننا القول إن الجذر التربيعي لسالب ١٠ هو نفسه الجذر التربيعي لـ ١٠ﺕ تربيع. وبالمثل، الجذر التربيعي لسالب ستة هو نفسه الجذر التربيعي لستة ﺕ تربيع. ويمكننا هنا تقسيم ذلك. فنحصل على الجذر التربيعي لـ ١٠ في الجذر التربيعي لـ ﺕ تربيع. وبما أن الجذر التربيعي لـ ﺕ تربيع هو ﺕ، نلاحظ أن الجذر التربيعي لسالب ١٠ هو نفسه جذر ١٠ ﺕ. وبالمثل، الجذر التربيعي لسالب ستة هو جذر ستة ﺕ.

نضرب، بعد ذلك، هذه القيم معًا. الضرب عملية إبدالية. لذلك يمكننا إعادة ترتيب هذا قليلًا والقول إنه يساوي الجذر التربيعي لـ ١٠ في الجذر التربيعي لستة، وهو جذر ٦٠ في ﺕ تربيع. وبما أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد، نلاحظ أن الجذر التربيعي لسالب ١٠ في الجذر التربيعي لسالب ستة يساوي سالب جذر ٦٠. وفي الحقيقة، يجب تبسيط ذلك قدر الإمكان.

ثمة عدد من الطرق لإجراء ذلك. فيمكننا اعتبار أن العدد ٦٠ هو حاصل ضرب عوامله الأولية. أو بدلًا من ذلك، يمكننا إيجاد العامل الأكبر للعدد ٦٠، والذي يكون أيضًا عددًا مربعًا. وفي الواقع، هذا العامل هو أربعة. إذن، هذا يعني أن الجذر التربيعي لـ ٦٠ هو نفسه الجذر التربيعي لأربعة في الجذر التربيعي لـ ١٥، وهو ما يساوي اثنين جذر ١٥. وبهذا نكون قد بسطنا هذا المقدار تبسيطًا كاملًا. ونحصل على سالب اثنين جذر ١٥.

فلننظر إلى ما كان سيحدث إذا طبقنا قوانين الجذور. كنا سنقول إن الجذر التربيعي لسالب ١٠ في الجذر التربيعي لسالب ستة يساوي الجذر التربيعي لسالب ١٠ في سالب ستة، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لموجب ٦٠ أو اثنين جذر ١٥، وهذا مختلف تمامًا عن الحل الآخر الذي توصلنا إليه.

في هذا الفيديو، تعلمنا أن العديد من قواعد علم الحساب وعلم الجبر التي نثق بها تمامًا يمكن أن يمتد تطبيقها ليشمل الأعداد التخيلية والمركبة. ورأينا أيضًا أن بعض القواعد تتطلب منا المزيد من الحذر، مثل تعميم قانون ضرب الجذور عندما تتضمن هذه الجذور أعدادًا سالبة. لقد رأينا أيضًا كيف تشكل قوى ﺕ الصحيحة دورة، وهو ما يسمح لنا بتبسيط أي قوة صحيحة لـ ﺕ بسرعة كبيرة.