فيديو السؤال: حل المعادلات التربيعية ذات الجذور المركبة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أي مما يأتي يمثل أفضل وصف لجذري المعادلة ﺱ تربيع زائد ١٧ يساوي صفرًا؟ هل هو (أ) جذران مركبان، أم (ب) جذران حقيقيان مختلفان، أم (ج) جذر واحد حقيقي مكرر، أم (د) جذر واحد غير حقيقي مكرر؟

للإجابة عن هذا السؤال، سنتناول طريقتين مختلفتين. أولًا، سنحل ببساطة المعادلة ﺱ تربيع زائد ١٧ يساوي صفرًا. بطرح ١٧ من كلا الطرفين، نحصل على ﺱ تربيع يساوي سالب ١٧. بعد ذلك، نوجد الجذر التربيعي لكلا الطرفين لنجد أن ﺱ يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لسالب ١٧. نعلم أن الجذر التربيعي لأي عدد سالب يكون غير حقيقي، وهذا يعني أنه يمكننا استبعاد الخيارين (ب) و(ج).

بتذكر أن الجذر التربيعي لسالب واحد يساوي العدد التخيلي أو العدد المركب ﺕ، فإن الجذر التربيعي لسالب ١٧ يساوي جذر ١٧ﺕ. وعليه، ﺱ سيساوي موجب أو سالب جذر ١٧ﺕ، وبذلك يصبح لدينا جذران مركبان للمعادلة ﺱ تربيع زائد ١٧ يساوي صفرًا. وهما موجب أو سالب جذر ١٧ﺕ.

ذكرنا سابقًا أننا سنحل المسألة بطريقتين مختلفتين. بما أن المعادلة تربيعية، يمكننا النظر إلى المميز. لأي معادلة تربيعية تكتب على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا، يكون المميز مكافئًا لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ. في هذا السؤال، معامل ﺱ تربيع، أي قيمة ﺃ، يساوي واحدًا. ولا يوجد حد لـ ﺱ، إذن، ﺏ يساوي صفرًا. والثابت ﺟ يساوي ١٧. وعليه، فإن المميز يساوي صفر تربيع ناقص أربعة مضروبًا في واحد مضروبًا في ١٧. وهذا يساوي سالب ٦٨.

بتذكر أنه إذا كانت قيمة المميز أقل من صفر، فسيكون للمعادلة التربيعية جذران مركبان. وبما أن سالب ٦٨ أقل من صفر بالفعل، فإن العبارة التي تمثل أفضل وصف لجذري المعادلة ﺱ تربيع زائد ١٧ يساوي صفرًا هي جذران مركبان. وجدير بالذكر أيضًا أنه إذا كانت قيمة المميز أكبر من صفر، فسيكون للمعادلة التربيعية جذران حقيقيان مختلفان. أما إذا كانت قيمة المميز تساوي صفرًا، فسيكون للمعادلة التربيعية جذر واحد حقيقي مكرر.