تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: تحديد تشابُه المجسَّمات الصُّلبة لإيجاد أبعادها ومساحة سطحها وحجمها

أحمد مدحت

يوضح الفيديو كيفية تحديد المجسمات المتشابهة، ومعامل القياس، ونسب المجسمات المتشابهة الخاصة بمساحات الأسطح والحجوم، وكيفية إيجاد أبعادها، ومساحة سطحها، وحجمها باستخدام التناسب، مع أمثلة توضيحية.

٠٨:٣٥

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلم عن تحديد تشابه المجسّمات الصّلبة لإيجاد أبعادها ومساحة سطحها وحجمها.

في الفيديو ده هنعرف إزاي نحدد المجسمات المتشابهة وكمان مُعامل القياس اللي بينهم، بعد كده هنعرف إيه هي النسب بتاعت المجسمات المتشابهة، سواء بتاعت مساحات الأسطح أو بتاعت الحجوم، وبعد كده هنعرف إزاي نِوجد أبعاد ومساحة سطح وحجم المجسمات المتشابهة.

هنبدأ بالمجسمات المتشابهة، هيظهر لنا مجسمين، المجسمين اللي عندنا عبارة عن هرمين ليهم نفس الشكل، والنِّسَب بين قياسات الأطوال المتناظرة زي الطول أو العرض أو الارتفاع هي ستة على اتنين يعني تساوي تلاتة وكمان اتناشر على أربعة واللي هي بردو بتساوي تلاتة؛ وعلشان كده بنقول إن التلاتة دي هي مُعامل القياس بين الهرمين اللي عندنا، بالنسبة للهرمين دول بنعتبرهم مجسمين متشابهين؛ وده لأن ليهم نفس الشكل وكمان قياسات الأطوال المتناظرة متناسبة وكمان الأوجه المتناظرة عبارة عن مضلعات متشابهة، ولو عندنا مجسمين متشابهين، نقدر نستخدم التناسب علشان نِوجد أي قياس ناقص، هنشوف مثال.

عندنا في المثال أسطوانتين متشابهتين وعايزين نِوجد ارتفاع الأسطوانة أ، بما إن الأسطوانتين اللي عندنا متشابهتين فهتبقى النِّسَب بين قياسات الأطوال المتناظرة متناسبة، معنى كده إن النسبة بتاعت نص قطر قاعدة الأسطوانة أ على نص قطر قاعدة الأسطوانة ب، تتناسب مع النسبة بتاعت ارتفاع الأسطوانة أ على ارتفاع الأسطوانة ب ولو رمَزنا للارتفاع بتاع الأسطوانة أ بالرمز ل بالتالي هيبقى خمسة على تمنية يساوي ل على اتناشر؛ بكده إحنا كتبنا التناسب، بعد كده هنستخدم الضرب التبادلي، فهيبقى خمسة في اتناشر يساوي تمنية في ل ولما هنضرب هنلاقي الطرف الأيمن بيساوي ستين أما الطرف الأيسر فهيساوي تمنية ل يعني ستين تساوي تمنية ل بعد كده هنقسم طرفي المعادلة على تمنية فلما هنقسم هنلاقي ل تساوي سبعة ونص معنى كده إن هيبقى ارتفاع الأسطوانة أ هو سبعة ونص متر.

بالنسبة للمجسمات المتشابهة مش بس قياسات الأطوال المتناظرة متناسبة، لأ ده كمان مساحات الأسطح والحجوم بتكون متناسبة، فبعد كده هنبدأ نشوف النسب بتاعت المجسمات المتشابهة هنبدأ بالنسب بتاعت مساحات الأسطح؛ فلو عندنا مجسمين متشابهين هتبقى النسبة بين مساحتي سطحيهما تتناسب مع مربع مُعامل القياس بينهما؛ فمثلًا عندنا في الشكل مجسمين: المجسم أ والمجسم ب وهما عبارة عن مخروطين متشابهين، وطول نص قطر قاعدة المخروط أ هو س وطول نص قطر قاعدة المخروط ب هو ص؛ معنى كده يبقى مساحة سطح المجسم أ على مساحة سطح المجسم ب يساوي س على ص الكل تربيع وده لأن المجسم أ بيشابه المجسم ب؛ وبالتالي هتبقى النسبة بين مساحتي سطحيهما بتتناسب مع مربع مُعامل القياس بينهما، واللي هيبقى عبارة عن س على ص. بعد كده هنشوف نسب المجسمات المتشابهة الخاصة بالحجوم بالنسبة للحجوم بتاعت المجسمات المتشابهة فلو عندنا مجسمين متشابهين هتبقى النسبة بين حجميهما تتناسب مع مكعب مُعامل القياس بينهما؛ بالتالي بما إن المجسمين اللي عندنا في الشكل متشابهين، هيبقى حجم المجسم أ على حجم المجسم ب يساوي س على ص الكل تكعيب،

هنشوف مثال نوضَّح بيه أكتر، عندنا في المثال هرمين متشابهين، وعايزين نِوجد المساحة الكلية لسطح الهرم ب أول حاجة هنِوجد النسبة بتاعت قياسات الهرم أ إلى الهرم ب واللي تعتبر هي مُعامل القياس بين الهرمين اللي عندنا، فلو رمزنا لطول الضلع ده اللي موجود في الهرم أ بالرمز س، وطول الضلع ده اللي موجود في الهرم ب بالرمز ص، معنى كده إن س تساوي تمنية و ص تساوي اتناشر بالتالي النسبة بتاعت قياسات الهرم أ إلى الهرم ب تساوي س على ص؛ يعني هتساوي تمنية على اتناشر، معنى كده إن س على ص تساوي اتنين على تلاتة. وبما إن الهرمين متشابهين فهتبقى النسبة بين مساحة سطحيهما بتتناسب مع مربع مُعامل القياس بينهما؛ يعني هيبقى مساحة سطح الهرم أ على مساحة سطح الهرم ب يساوي س على ص الكل تربيع، بالنسبة لمساحة سطح الهرم أ فهي مُعطى وبتساوي ميتين أربعة وعشرين سنتيمتر مربع، وإحنا عايزين نجيب مساحة سطح الهرم ب، فهنرمز لها برمز معين وليكن م؛ معنى كده إن هيبقى ميتين أربعة وعشرين على م يساوي اتنين على تلاتة الكل تربيع، واتنين على تلاتة الكل تربيع تساوي اتنين على تلاتة في اتنين على تلاتة، يعني هتساوي أربعة على تسعة، معنى كده ميتين أربعة وعشرين على م يساوي أربعة على تسعة، بعد كده هنستخدم الضرب التبادلي؛ بالتالي ميتين أربعة وعشرين في تسعة، يساوي م في أربعة بعد كده هنقسم طرفَي المعادلة على أربعة، معنى كده إن م تساوي ميتين أربعة وعشرين في تسعة على أربعة، بكده م هتساوي خمسمية وأربعة، بكده هيبقى مساحة سطح الهرم ب هي خمسمية وأربعة سنتيمتر مربع، بكده يبقى إحنا من خلال المثال ده قدرنا نستفيد من تشابه الهرمين اللي عندنا في إيجاد المساحة الكلية لسطح الهرم ب.

بعد كده هنشوف مثال كمان، عندنا في المثال مكعب حجمه سبعة وعشرين متر مكعب هنفرض إن أبعاده تضاعفت، عايزين نعرف إيه هو حجم المكعب الجديد؟ بالنسبة للمكعبين اللي عندنا هيبقوا متشابهين، فلو فرضنا إن طول حرف المكعب الصغير هو س، وطول حرف المكعب الكبير هو ص، فلو جِبنا النسبة بتاعت س على ص واللي بتمثل النسبة بتاعت أطوال الأحرف الجانبية؛ فبما إن الأبعاد تضاعفت هتبقى النسبة س على ص تساوي واحد على اتنين. وبما إن المكعبين متشابهين، فهتبقى النسبة بين حجميهما بتتناسب مع مكعب مُعامل القياس بينهم، فلو سمينا المكعب الصغير المكعب أ، والمكعب الكبير بالمكعب ب فهيبقى حجم المكعب أ على حجم المكعب ب يساوي س على ص الكل تكعيب وده لأن س على ص هتمثل مُعامل القياس بين المكعبين. بالنسبة لحجم المكعب أ فهيبقى حجم المكعب الصغير واللي هو سبعة وعشرين متر مكعب أما س على ص فبتساوي نص، أما حجم المكعب الجديد واللي هيمثله حجم المكعب ب فهنرمز له برمز معين وليكن ح، معنى كده إن سبعة وعشرين على ح يساوي واحد على اتنين الكل تكعيب، بعد كده هنجيب قيمة ح واللي هتمثل حجم المكعب الجديد علشان نختار الإجابة الصحيحة من الأربع اختيارات اللي عندنا. بالنسبة لـ واحد على اتنين الكل تكعيب فهي هتساوي واحد على اتنين في واحد على اتنين في واحد على اتنين، يعني هتساوي واحد على تمنية بكده سبعة وعشرين على ح تساوي واحد على تمنية بعد كده هنستخدم الضرب التبادلي فهيبقى سبعة وعشرين، في تمنية يساوي ح في واحد، فلما هنضرب الطرف الأيمن هيساوي ميتين وستاشر، أما الطرف الأيسر فهيساوي ح؛ معنى كده إن ح بتساوي ميتين وستاشر، وبالنسبة لـ ح فهي بتمثل حجم المكعب ب واللي هو المكعب الكبير؛ معنى كده إن حجم المكعب الجديد هو ميتين وستاشر متر مكعب، يعني الإجابة هتبقى هي الاختيار د.

من خلال المثال ده ممكن نوضّح إن إحنا لو ضربنا كل أبعاد مجسم في مُعامل قياس وليكن س؛ بالتالي هنضرب مساحة السطح بتاعته في س تربيع، وحجمه في س تكعيب.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده عرفنا إن المجسمات بتكون متشابهة لما يكون ليها نفس الشكل، وقياسات الأطوال المتناظرة تكون متناسبة، والأوجه المتناظرة تكون عبارة عن مضلعات متشابهة، وعرفنا إن إحنا لو عندنا مجسمين متشابهين بنستخدم التناسب علشان نِوجد أي قياس ناقص، وكمان عرفنا إن في المجسمات المتشابهة مش بس قياسات الأطوال المتناظرة هي المتناسبة، لا ده كمان مساحات الأسطح والحجوم برضو متناسبة، وعرفنا إن إحنا لو عندنا مجسمين متشابهين هنلاقي النسبة بين مساحة سطحيهما بتتناسب مع مربع مُعامل القياس بينهما، والنسبة بين حجميهما بتتناسب مع مكعب مُعامل القياس بينهما.