فيديو الدرس: حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية: الحل بالنسبة إلى زاوية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد قياس زاوية مجهولًا في مثلث قائم الزاوية باستخدام الدالة المثلثية العكسية المناسبة بمعلومية طولي ضلعين.

دعونا نبدأ باسترجاع بعض المصطلحات ذات الصلة بالمثلثات القائمة الزاوية. سنفترض أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية مثل المثلث الموضح، وأنه مشار إلى إحدى الزاويتين غير القائمتين بالرمز 𝜃. وتر المثلث القائم الزاوية هو الضلع الأطول، وهو دائمًا الضلع المقابل للزاوية القائمة. بالنسبة إلى الزاوية التي أشرنا إليها بالرمز 𝜃، فإن الضلع الذي يقابل هذه الزاوية يعرف باسم «الضلع المقابل». ويعرف الضلع المحصور بين الزاوية القائمة والزاوية 𝜃 باسم «الضلع المجاور».

علينا أن نعرف جيدًا كيفية تمييز أسماء هذه الأضلاع الثلاثة. النسب المثلثية الثلاث؛ أي الجيب وجيب التمام وظل الزاوية، تعبر عن النسب بين أطوال أزواج مختلفة من الأضلاع. لأي قيمة ثابتة للزاوية 𝜃، تكون النسبة بين طولي كل ضلعين ثابتة دائمًا، وذلك بغض النظر عن كبر حجم المثلث.

علينا حفظ تعريفات النسب المثلثية الثلاث عن ظهر قلب. إن حفظ هذه النسب يسهل علينا حل المسائل التي تتضمن نسبًا مثلثية. نتناول الآن تعريفات هذه النسب. جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر؛ أي ﻕ على ﻭ. وجتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. وظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. يجب أن نكون بالفعل على دراية باستخدام هذه النسب المثلثية الثلاث لحساب طول أي ضلع في مثلث قائم الزاوية بمعلومية طول أحد الضلعين الآخرين وقياس إحدى الزاويتين غير القائمتين.

في هذا الفيديو، سنركز على إيجاد قياس زاوية بمعلومية طولي ضلعين في المثلث. ولفعل ذلك، علينا استخدام الدوال المثلثية العكسية. وهذه في الأساس هي الدوال التي تعكس ما تفعله دوال الجيب وجيب التمام والظل. ونشير إلى تلك الدوال بوضع سالب واحد أعلى رمز كل دالة مثلثية. وتقرأ هذه الدوال هكذا: الدالة العكسية للجيب، والدالة العكسية لجيب التمام، والدالة العكسية للظل. وتستخدم هذه الدوال في حال إذا ما طلب منا إيجاد قيمة الزاوية بمعلومية النسبة المثلثية لها.

هذه الدوال المثلثية العكسية هي طريقة بديلة لوصف العلاقة بين زاوية ما وقيم نسبها المثلثية الثلاث. وسنشرحها كالتالي. إذا كانت لدينا أي قيمة ﺱ؛ حيث ﺱ يساوي جا 𝜃، يمكننا إذن كتابة ذلك على صورة مكافئة هكذا: 𝜃 تساوي الدالة العكسية جا ﺱ. وبالطريقة نفسها، إذا كانت لدينا أي قيمة ﺹ؛ حيث ﺹ يساوي جتا 𝜃، فإن 𝜃 تساوي الدالة العكسية جتا ﺹ. وإذا كان ﻉ يساوي ظا 𝜃، فإن 𝜃 تساوي الدالة العكسية ظا ﻉ.

حسنًا، من المهم ملاحظة أن هذا الرمز لا يعني المقلوب. فالدالة العكسية جا ﺱ لا تعني واحدًا على جا ﺱ. ما يعنيه هذا هو أنه إذا عرفنا قيمة إحدى النسب المثلثية الثلاث للزاوية 𝜃، فإنه يمكننا إيجاد الزاوية المرتبطة بهذه النسبة بطريقة عكسية عن طريق تطبيق الدالة المثلثية العكسية. لكتابة هذه الدوال على الآلة الحاسبة، علينا عادة الضغط على الزر «‪shift‬‏» ثم الضغط إما على الزر ‪sin‬‏ أو ‪cos‬‏ أو ‪tan‬‏ للحصول على الدالة العكسية لكل دالة.

دعونا نتناول مثالًا على كيفية استخدام هذه الدوال العكسية لإيجاد قياس زاوية بمعلومية طولي ضلعين في مثلث قائم الزاوية.

في الشكل الموضح، أوجد قياس الزاوية 𝜃، بالدرجات، لأقرب منزلتين عشريتين.

بالنظر إلى الشكل لدينا، يمكننا ملاحظة أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية؛ حيث تمثل 𝜃 قياس إحدى الزاويتين غير القائمتين. لدينا أيضًا طولا ضلعين في المثلث القائم الزاوية. وهما: ثلاث وحدات، وثماني وحدات. يمكننا إذن حل هذه المسألة باستخدام حساب المثلثات.

خطوتنا الأولى في أي مسألة متعلقة بحساب المثلثات هي تسمية أضلاع المثلث الثلاثة بالنسبة إلى الزاوية 𝜃. الضلع الذي يقابل الزاوية القائمة مباشرة هو الوتر. الضلع الذي يقابل الزاوية 𝜃 مباشرة هو الضلع المقابل. والضلع المحصور بين الزاوية 𝜃 والزاوية القائمة هو الضلع المجاور.

سنحدد الآن أي من النسب المثلثية الثلاث علينا استخدامها في هذه المسألة. الضلعان المعطى طولاهما هما: الضلع المجاور، والوتر. لذا، سنستخدم نسبة جيب التمام. ويعرف جتا 𝜃 بأنه يساوي طول الضلع المجاور مقسومًا على طول الوتر. بالتعويض بالقيم التي لدينا في هذا المثلث، يصبح لدينا جتا 𝜃 يساوي ثلاثة على ثمانية؛ أي ثلاثة أثمان.

والآن علينا إيجاد قيمة 𝜃؛ وهو ما يعني أن علينا تطبيق الدالة العكسية لجيب التمام. فهذه هي الدالة التي تعكس ما تفعله دالة جيب التمام. فإذا كان جتا 𝜃 يساوي ثلاثة أثمان، فكيف يمكننا إذن إيجاد قيمة 𝜃؟ لدينا 𝜃 تساوي الدالة العكسية جتا لثلاثة أثمان.

يمكننا بعد ذلك حساب قيمة ذلك على الآلة الحاسبة، مع التأكد من أنها مضبوطة على نظام الدرجات. لكتابة الدالة العكسية لجيب التمام، علينا عادة الضغط على الزر «‪shift‬‏» ثم الضغط على ‪cos‬‏ في الآلة الحاسبة. بحساب قيمة ذلك، نحصل على ٦٧٫٩٧٥. ثم نقرب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين كما هو مطلوب في السؤال. إذن، بتطبيق الدالة العكسية لجيب التمام في هذا المثلث القائم الزاوية، وجدنا أن قياس الزاوية 𝜃 لأقرب منزلتين عشريتين يساوي ٦٧٫٩٨ درجة.

سنتناول الآن مثالًا آخر سنوجد فيه قياسي زاويتين في مثلث قائم الزاوية.

في الشكل الموضح، أوجد قياس كل من الزاوية ﺃﺟﺏ والزاوية ﺏﺃﺟ بالدرجات، لأقرب منزلتين عشريتين.

لدينا هنا مثلث قائم الزاوية معلوم فيه طولا ضلعين من أضلاعه. يمكننا إذن حل هذه المسألة باستخدام حساب المثلثات. وخطوتنا الأولى في مسألة كهذه هي تسمية أضلاع المثلث. لكن لفعل ذلك، علينا تحديد الزاوية التي نسمي الأضلاع بالنسبة إليها. دعونا نحسب قياس الزاوية ﺃﺟﺏ أولًا، وسنسميها على الشكل الزاوية ﺱ. موضع وتر المثلث القائم الزاوية ثابت دائمًا. إنه الضلع المقابل للزاوية القائمة مباشرة. والضلع المقابل هو الضلع الذي يقابل الزاوية التي نريد إيجاد قياسها. إذن، الضلع الذي يقابل الزاوية ﺱ هو الضلع ﺃﺏ. وأخيرًا، الضلع المجاور هو الضلع المحصور بين الزاوية التي أسميناها والزاوية القائمة. إنه الضلع ﺏﺟ.

دعونا الآن نحدد أي من النسب المثلثية الثلاث؛ أي الجيب وجيب التمام والظل، علينا استخدامها للإجابة عن هذا السؤال. إن الضلعين المعطى طولاهما هما: الضلع المقابل، والضلع المجاور. لذا، سنستخدم نسبة الظل. لأي زاوية 𝜃 في مثلث قائم الزاوية، ظل الزاوية يساوي طول الضلع المقابل للزاوية مقسومًا على طول الضلع المجاور. بالتعويض بـ ﺱ عن الزاوية 𝜃، وبأربعة عن طول الضلع المقابل، وبخمسة عن طول الضلع المجاور؛ تصبح لدينا المعادلة: ظا ﺱ يساوي أربعة أخماس.

لإيجاد قيمة ﺱ، علينا تطبيق الدالة العكسية للظل، التي يمكننا من خلالها حساب قيمة ﺱ؛ حيث ظا ﺱ يساوي أربعة أخماس. بحساب قيمة ذلك على الآلة الحاسبة، مع التأكد من أنها مضبوطة على نظام الدرجات، نحصل على ٣٨٫٦٥٩. يمكننا أن نقرب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين، ومن ثم نحصل على ٣٨٫٦٦. وبهذا نكون قد أوجدنا قياس الزاوية الأولى.

والآن سنحسب قياس الزاوية الأخيرة في المثلث، ولدينا الحرية في اختيار الطريقة التي نستخدمها هنا. يمكننا استخدام حساب المثلثات مرة أخرى أو استخدام حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة. لكن استخدام الطريقة الثانية أسهل. حسنًا، قياس الزاوية ﺏﺃﺟ يساوي ١٨٠ درجة ناقص قياس الزاوية القائمة؛ وهو ٩٠ درجة، ناقص قياس الزاوية ﺃﺟﺏ؛ أي ٣٨٫٦٦ درجة، وهذا يساوي ٥١٫٣٤ درجة. وبهذا نكون قد أوجدنا قياسي الزاويتين المطلوبين.

إذا أردنا استخدام حساب المثلثات، فعلينا إعادة تسمية أضلاع المثلث بالنسبة إلى هذه الزاوية، وهذا يعني تبديل اسمي الضلعين المقابل والمجاور. وسنستخدم نسبة الظل أيضًا، لكن هذه المرة سيكون لدينا ظا ﺹ يساوي خمسة على أربعة. بعد ذلك، نجد أن ﺹ يساوي الدالة العكسية لـ ظا لخمسة على أربعة، وهو ما يساوي ٥١٫٣٤ بالفعل، وذلك بعد التقريب لأقرب منزلتين عشريتين.

إذن، إجابتنا للمسألة هي أن قياس الزاوية ﺃﺟﺏ يساوي ٣٨٫٦٦ درجة وقياس الزاوية ﺏﺃﺟ يساوي ٥١٫٣٤ درجة، وذلك بعد تقريب كل منهما لأقرب منزلتين عشريتين.

في المسألتين اللتين تناولناهما حتى الآن، كان لدينا شكل للمثلث القائم الزاوية الذي نتعامل معه. لكن في بعض مسائل حساب المثلثات، لن يكون لدينا شكل. ويتمثل جزء من مهارة الإجابة عن السؤال في رسم شكل مناسب. دعونا الآن نتناول مثالًا على ذلك.

‏ﺃﺏﺟ مثلث قائم الزاوية في ﺏ؛ حيث ﺏﺟ يساوي ١٠ سنتيمترات، وﺃﺟ يساوي ١٨ سنتيمترًا. أوجد طول ﺃﺏ، لأقرب سنتيمتر، وقياسي الزاويتين ﺃ وﺟ لأقرب درجة.

حسنًا، لا يوجد شكل معطى في هذه المسألة. لذا، علينا أن نبدأ برسم شكل. نحن نعلم أن ﺃﺏﺟ مثلث قائم الزاوية في ﺏ، وهذا يعني أن الزاوية ﺏ هي الزاوية القائمة. علمنا أيضًا أن طول ﺏﺟ يساوي ١٠ سنتيمترات، وطول ﺃﺟ يساوي ١٨ سنتيمترًا. ومطلوب منا إيجاد طول ﺃﺏ وقياس كل من الزاويتين الأخريين في هذا المثلث.

دعونا نبدأ بإيجاد طول ﺃﺏ. بما أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية معلومًا فيه طولا ضلعين من أضلاعه، فإنه يمكننا إذن تطبيق نظرية فيثاغورس لحساب طول الضلع الثالث. وتنص نظرية فيثاغورس على أنه في المثلث القائم الزاوية يكون مجموع مربعي الضلعين الأقصرين طولًا مساويًا لمربع طول الوتر. في هذا المثلث، الضلعان الأقصران طولًا هما: ﺃﺏ، وﺏﺟ، والوتر هو ﺃﺟ. ومن ثم، تصبح لدينا المعادلة: ﺃﺏ تربيع زائد ﺏﺟ تربيع يساوي ﺃﺟ تربيع.

بالتعويض بـ ١٠ عن ﺏﺟ، وبـ ١٨ عن ﺃﺟ، يصبح لدينا ﺃﺏ تربيع زائد ١٠ تربيع يساوي ١٨ تربيع. يبسط ذلك إلى ﺃﺏ تربيع زائد ١٠٠ يساوي ٣٢٤. إذن ﺃﺏ تربيع يساوي ٢٢٤. وعليه، فإن ﺃﺏ يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٢٤، وهو ما يساوي ١٤٫٩٦٦٦، أو يساوي ١٥ بعد التقريب لأقرب عدد صحيح. وبهذا، نكون قد أوجدنا طول ﺃﺏ. والآن علينا التفكير في حساب قياسي الزاويتين. دعونا نبدأ بالزاوية ﺃ.

سنبدأ بتسمية أضلاع المثلث الثلاثة بالنسبة إلى هذه الزاوية. الضلع الذي يقابلها مباشرة؛ أي ﺏﺟ، هو الضلع المقابل. والضلع المحصور بين هذه الزاوية والزاوية القائمة هو الضلع المجاور. والضلع المقابل للزاوية القائمة مباشرة هو الوتر. يمكننا بعد ذلك أن نحدد النسبة المثلثية التي سنستخدمها لحساب قياس هذه الزاوية.

بما أننا نعرف الآن أطوال الأضلاع الثلاثة في المثلث، يمكننا استخدام أي من النسب الثلاث. لكن من المنطقي أن نستخدم طولي الضلعين المعطيين في المسألة تحسبًا لاحتمال حدوث أي أخطاء عند حساب طول ﺃﺏ. حسنًا، سنستخدم نسبة الجيب. وهي أن جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. بالتعويض بـ ١٠ عن طول الضلع المقابل، وبـ ١٨ عن طول الوتر وباستخدام ﺃ للإشارة إلى الزاوية ﺃ، يصبح لدينا جا ﺃ يساوي ١٠ على ١٨. لحساب قيمة ﺃ، علينا تطبيق الدالة العكسية للجيب، وهو ما يعطينا ﺃ يساوي الدالة العكسية جا ١٠ على ١٨. بحساب قيمة ذلك على الآلة الحاسبة، التي يجب أن تكون مضبوطة على نظام الدرجات، نحصل على ٣٣٫٧٤٨، وهو ما يساوي ٣٤ لأقرب درجة.

وأخيرًا، علينا حساب قياس الزاوية الثالثة في المثلث. بما أن مجموع قياسات زوايا أي مثلث يساوي ١٨٠ درجة، فيمكننا حساب القياس المطلوب بطرح قياسي الزاويتين الأخريين من ١٨٠ درجة، وهو ما يعطينا ٥٦ درجة. وبهذا نكون قد أكملنا الحل. طول ﺃﺏ لأقرب سنتيمتر يساوي ١٥ سنتيمترًا. وقياسا الزاويتين ﺃ وﺟ، بعد تقريب كل منهما لأقرب درجة، هما ٣٤ و٥٦ درجة، على الترتيب.

يمكن أيضًا استعراض مسائل متعلقة بحساب المثلثات في صورة قصة تصف موقفًا عمليًّا. في هذه الحالة، قد لا يكون لدينا شكل معطى. ويتمثل جزء من مهارة الإجابة في رسم شكل وفقًا للمعلومات المعطاة في السؤال. سنلقي نظرة على مثال أخير على ذلك.

سلم طوله خمسة أمتار يستند على حائط رأسي؛ بحيث تبعد قاعدته‎ مترين عن الحائط. أوجد قياس الزاوية بين السلم والأرض، وقرب‎ إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

حسنًا، ليس لدينا شكل معطى في هذا السؤال. لذا، الخطوة الأولى هي رسم شكل. لدينا سلم يستند على حائط رأسي. المثلث المكون بواسطة السلم والأرض والحائط هو مثلث قائم الزاوية. وفي الواقع، هذا هو كل ما نحتاج إلى رسمه لهذا الشكل. طول السلم خمسة أمتار، وقاعدته تبعد مترين عن الجدار. ومطلوب منا إيجاد قياس الزاوية بين السلم والأرض. إنها هذه الزاوية هنا، وهي التي سنسميها الزاوية ﺱ.

أصبح لدينا الآن مثلث قائم الزاوية معلوم فيه طولا ضلعين. ونريد إيجاد قياس إحدى زواياه. إذن، يمكننا تطبيق حساب المثلثات. سنبدأ بتسمية أضلاع المثلث الثلاثة بالنسبة إلى الزاوية ﺱ. لدينا الضلع المقابل للزاوية، والضلع المجاور لها، والوتر. سنحدد الآن أي من النسب المثلثية الثلاث سنستخدمها في هذه المسألة. الضلعان المعلوم طولاهما هما: الضلع المجاور، والوتر. لذا، سنستخدم نسبة جيب التمام. وهي أن جيب تمام الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور للزاوية مقسومًا على طول الوتر. بالتعويض باثنين عن طول الضلع المجاور، وبخمسة عن طول الوتر، نجد أن جتا ﺱ يساوي خمسين.

لإيجاد قيمة ﺱ، علينا تطبيق الدالة العكسية لجيب التمام؛ وبهذا نجد أن ﺱ يساوي الدالة العكسية جتا لخمسين. بحساب قيمة ذلك على الآلة الحاسبة، التي لا بد من أن تكون مضبوطة على نظام الدرجات، نحصل على ٦٦٫٤٢١. وأخيرًا، نقرب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين. وبذلك، نجد أن قياس الزاوية بين السلم والأرض يساوي ٦٦٫٤٢ درجة.

دعونا الآن نلخص النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. في البداية، استرجعنا المصطلحات المرتبطة بالأضلاع الثلاثة في المثلث القائم الزاوية؛ وهي: الضلع المقابل، والضلع المجاور، والوتر. واسترجعنا بعد ذلك تعريفات النسب المثلثية الثلاث؛ وهي: الجيب، وجيب التمام، وظل الزاوية.

عرفنا بعد ذلك أنه يمكننا إيجاد قياس أي زاوية عن طريق تطبيق الدوال المثلثية العكسية؛ حيث نستخدم قيمة إحدى هذه النسب المثلثية الثلاث لإيجاد قياس الزاوية المرتبطة بها. وعرفنا أنه يمكننا تطبيق هذه الأساليب على مجموعة من المسائل المتعلقة بالمثلثات القائمة الزاوية، بما في ذلك المسائل الكلامية التي تصف موقفًا عمليًّا.