نسخة الفيديو النصية
أوجد عائلة الدوال ﺩ؛ حيث ﺩ ثلاث شرط ﻥ تساوي ثلاثة جا ﻥ ناقص اثنين.
حسنًا، ماذا يعني الرمز ﺩ ثلاث شرط ﻥ؟ إنه رمز المشتقة الثالثة. وهذا يعني أن الدالة ﺩﻥ قد اشتقت ثلاث مرات للحصول على ﺩ ثلاث شرط ﻥ. إذن، علينا إجراء العملية العكسية للاشتقاق أو حساب التكامل ثلاث مرات للحصول على ﺩﻥ. دعونا نبدأ الآن بإيجاد المشتقة العكسية الأولى لثلاثة جا ﻥ ناقص اثنين. وبنفس الطريقة التي نشتق بها كل حد على حدة، يمكننا إيجاد تكامل كل حد على حدة. سنحسب الآن تكامل ثلاثة جا ﻥ واثنين. قد يساعدنا في ذلك تذكر بعض المشتقات الخادعة المفيدة. اشتقاق جا ﻥ يساوي جتا ﻥ. واشتقاق جتا ﻥ يساوي سالب جا ﻥ. واشتقاق سالب جا ﻥ يساوي سالب جتا ﻥ. واشتقاق سالب جتا ﻥ يساوي جا ﻥ. وهذا مفيد؛ لأنه عند حساب التكامل، تتجه الأسهم في الاتجاه المعاكس.
هيا نذكر أنفسنا أيضًا بتكامل الدوال الأخرى. إذا كانت لدينا دالة مثل أربعة ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ زائد خمسة، فيمكننا اشتقاق كل حد على حدة. نبدأ بأربعة ﺱ تربيع، ونضرب المعامل أربعة في القوة اثنين لنحصل على المعامل الجديد ثمانية. ثم نطرح واحدًا من القوة لنحصل على ثمانية ﺱ. بعد ذلك، ثلاثة ﺱ يساوي ثلاثة ﺱ أس واحد. وعند اشتقاق ذلك نحصل على ثلاثة. سيكون من المفيد هنا أن نلاحظ أن اشتقاق ثلاثة ﺱ يساوي ثلاثة. إذن، تكامل ثلاثة يساوي ثلاثة ﺱ. وخمسة عدد ثابت. ومن ثم، فإن اشتقاقه يساوي صفرًا.
هذا هو الاشتقاق. لكن ماذا عن الاشتقاق العكسي أو التكامل؟ حسنًا، إنه العملية العكسية للاشتقاق. فبدلًا من ضرب المعامل في القوة وطرح واحد منها، نضيف واحدًا إلى القوة ونقسم المعامل على القوة الجديدة. ونظرًا لأن اشتقاق الثوابت يساوي صفرًا، فإننا نضع ذلك في الاعتبار عن طريق إضافة ثابت إلى المشتقة العكسية. وعادة ما نرمز للعدد الثابت بالحرف ﺙ. لكن يمكننا في الواقع استخدام أي حرف.
وعند العودة إلى السؤال، نجد أننا نريد إيجاد المشتقة العكسية لثلاثة جا ﻥ ناقص اثنين. وهذا سيعطينا ﺩ شرطتين ﻥ. إذا رجعنا إلى الشكل الموضح، فسنجد أن تكامل جا ﻥ يساوي سالب جتا ﻥ. إذن، تكامل ثلاثة جا ﻥ يساوي سالب ثلاثة جتا ﻥ. وتكامل اثنين يساوي اثنين ﻥ، كما رأينا في المثال. ويجب أن تشتمل الإجابة على ثابت التكامل ﺙ. سنحسب الآن التكامل مرة أخرى لإيجاد ﺩ شرطة ﻥ. يوضح هذا الشكل أن تكامل سالب جتا ﻥ يساوي سالب جا ﻥ. إذن، تكامل سالب ثلاثة جتا ﻥ يساوي سالب ثلاثة جا ﻥ. ولحساب تكامل اثنين ﻥ، نتبع قواعد الاشتقاق العكسي. بإضافة واحد إلى قوة ﻥ، نحصل على القوة الجديدة اثنين. ونقسم بعد ذلك المعامل اثنين على القوة الجديدة اثنين، وهو ما يساوي واحدًا فقط. ومن ثم، هذا يساوي ﻥ تربيع فقط. ولقد رأينا كيف نحسب التكامل لثابت. إذن لحساب تكامل ﺙ، نحصل على ﺙﻥ. بالطريقة نفسها المستخدمة لتكامل اثنين إلى اثنين ﻥ، نجد أن تكامل ﺙ يساوي ﺙﻥ.
وأخيرًا، لأننا قمنا بحساب التكامل، علينا أن نضيف ثابتًا للتكامل. دعونا نرمز له هذه المرة بالرمز ﻙ. وبذلك أصبح لدينا ﺩ شرطة ﻥ. علينا المتابعة؛ لأننا نحاول إيجاد ﺩﻥ. ومن الشكل، نجد أن تكامل سالب جا ﻥ يساوي جتا ﻥ. إذن، تكامل سالب ثلاثة جا ﻥ يساوي ثلاثة جتا ﻥ. لإيجاد تكامل ﻥ تربيع، نضيف واحدًا إلى القوة لنحصل على القوة الجديدة ثلاثة. ثم نقسم على القوة الجديدة. وعليه، نحصل على ﻥ تكعيب على ثلاثة.
ولإيجاد تكامل ﺙﻥ، نتبع قواعد الاشتقاق العكسي مجددًا. نضيف واحدًا إلى القوة، ثم نقسم على القوة الجديدة لنحصل على ﺙﻥ تربيع على اثنين. لكن ﺙ ثابت مجهول. إذن، قسمته على اثنين تعني أنه لا يزال ثابتًا مجهولًا. لذلك يمكننا كتابة ﺙﻥ تربيع فقط. وﻙ عدد ثابت. لذلك فإن تكامله يساوي ﻙﻥ. الخطوة الأخيرة لدينا هي إضافة ثابت إلى التكامل، والذي يمكننا أن نرمز له بالحرف ﻝ هذه المرة. إذن، أصبح لدينا الآن ﺩﻥ.
هذا يمثل عائلة من الدوال؛ لأن لدينا احتمالات متعددة للثوابت ﺙ وﻙ وﻝ. وتكون جميع احتمالات الثوابت ﺙ وﻙ وﻝ هذه العائلة من الدوال. وللحصول على إجابة نهائية، غالبًا ما نكتب الحد ذا القوة الأعلى في بداية الدالة. وهو في هذه الحالة ﻥ تكعيب على ثلاثة.
إذن الإجابة النهائية هي سالب ﻥ تكعيب على ثلاثة زائد ثلاثة جتا ﻥ زائد ﺙﻥ تربيع زائد ﻙﻥ زائد ﻝ.
