نسخة الفيديو النصية
أوجد النقطتين ﺱ وﺹ اللتين تكون عندهما الدالة ﺹ يساوي ﺱ تكعيب زائد ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ١٦ لها قيمة عظمى أو صغرى محلية، إن وجدت.
عند التفكير بشأن نقاط عظمى أو صغرى محلية، فإننا نتخيل عادة شكلًا كهذا الذي رسمته هنا. الشيء المحوري المشترك بين النقطتين هو أن كلًّا من النقطتين العظمى والصغرى لها ميل، أو ﻡ، يساوي صفرًا. وهذا من شأنه أن يساعدنا في حل المسألة، إذ يخبرنا بما يتعين علينا البدء به. فللتعامل مع الميل، نحتاج بداية إلى إيجاد دالة الميل.
ويمكننا إيجاد دالة الميل عن طريق اشتقاق الدالة التي لدينا. إذن سنجري عملية الاشتقاق لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. وبإجراء عملية الاشتقاق للدالة، التي هي ﺹ يساوي ﺱ تكعيب زائد ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ١٦، سنحصل على ثلاثة ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ. وحتى نتذكر كيف فعلنا ذلك، سنلقي نظرة على الحد الأول. إذن ما نفعله هو أننا نضرب الأس في المعامل، أي ثلاثة في واحد، ثم نقلل الأس بمقدار واحد، أي ثلاثة ناقص واحد. بذلك نحصل على ثلاثة ﺱ تربيع.
إذن هذه هي الطريقة التي نجري بها الاشتقاق. حسنًا، الآن لدينا دالة الميل. ومن ثم يمكننا الرجوع إلى معلومة ذكرناها في البداية، وهي أنه عند النقطتين العظمى والصغرى يساوي الميل صفرًا. لذا يمكننا فعليًّا أن نجعل دالة الميل تساوي صفرًا لإيجاد إحداثيات ﺱ لكلتا النقطتين. فنحصل على صفر يساوي ثلاثة ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ.
الآن، الخطوة الأولى هي قسمة كلا الطرفين على ثلاثة. وفي الحقيقة إننا نفعل ذلك ليكون حل المسألة أسهل ليس إلا. إذن يتبقى لدينا صفر يساوي ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ. والآن، لحل هذه المسألة وإيجاد قيمة ﺱ، نحلل التعبير الذي أمامنا. وبما أن ﺱ عامل مشترك لكلا الحدين، فإننا ننقله إلى خارج القوسين. ومن ثم نحصل على صفر يساوي ﺱ، وداخل القوسين يكون لدينا ﺱ زائد اثنين. ذلك لأن ﺱ في ﺱ تعطينا ﺱ تربيع، وﺱ في اثنين تعطينا اثنين ﺱ.
رائع، ها نحن قد حللناها. والآن، نوجد قيم ﺱ، التي تمثل في الواقع حلول هذه المعادلة. يمكننا إذن القول إن ﺱ يساوي صفرًا أو سالب اثنين. السبب في ذلك أنه إذا عوضنا عن ﺱ بصفر في المعادلة، يصبح لدينا صفر في صفر زائد اثنين، وهو ما يساوي صفرًا. وهذا حل من الحلول. وإذا كان لدينا ﺱ يساوي سالب اثنين، فسيكون لدينا سالب اثنين في سالب اثنين زائد اثنين. وسالب اثنين زائد اثنين يساوي صفرًا. ومن ثم، فهذا يساوي صفرًا.
حسنًا، وبذلك، نكون قد توصلنا إلى الحلول. حسنًا، هذه في الواقع إحداثيات ﺱ. لكن بالعودة إلى المسألة، علينا إيجاد النقطتين ﺱ وﺹ. لذا علينا أيضًا إيجاد إحداثيات ﺹ. وسنوجدها الآن عن طريق التعويض بقيم ﺱ في الدالة الأساسية.
بداية، إذا عوضنا بـ ﺱ يساوي صفرًا، نحصل على قيمة الدالة عند ﺱ يساوي صفرًا. وسنحصل على صفر تكعيب زائد ثلاثة في صفر تربيع ناقص ١٦، ومن ثم نحصل على إحداثي ﺹ وهو سالب ١٦. والآن، ننتقل إلى الحالة التي يكون فيها ﺱ يساوي سالب اثنين. في هذه الحالة، سنحصل على سالب اثنين تكعيب زائد ثلاثة في سالب اثنين تربيع ناقص ١٦، وهو ما يساوي سالب ثمانية، لأن سالب اثنين تكعيب هو سالب ثمانية زائد ١٢ ناقص ١٦، ومن ثم يعطينا ذلك إحداثي ﺹ، وهو سالب ١٢.
والآن بعد أن توصلنا إلى إحداثيات ﺱ وﺹ للنقطتين العظمى والصغرى، نحتاج الآن إلى أن نحدد أيهما العظمى وأيهما الصغرى. وحتى نفعل ذلك، سوف ننظر إلى المشتقة الثانية للدالة. والسبب في ذلك أن المشتقة الثانية تساعدنا في معرفة تقعر منحنى الأجزاء المختلفة للدالة.
من هذا الرسم، يمكننا أن نستنتج أنه عندما يكون هناك جزء من الدالة تقعره لأعلى، تصبح المشتقة الثانية موجبة. وهذا أمر مفيد في هذه المسألة لأنه عند هذه النقطة سنوجد القيم الصغرى المحلية. لكن عند النقطة التي يكون فيها تقعر الدالة لأسفل، نجد أن المشتقة الثانية سالبة. وهذا أمر مفيد لأن هذا يحدد أين ستقع نقطة القيمة العظمى.
لذا يمكننا أن نرى أنه بإمكاننا استخدام المشتقة الثانية لتحديد ما إذا كانت النقاط التي أوجدناها تمثل قيمًا عظمى أم صغرى. للحصول على المشتقة الثانية، فإننا نشتق دالة الميل، حيث الدالة هي ﺩﺹ على ﺩﺱ. وبذلك نحصل على ستة ﺱ زائد ستة. لأننا أجرينا الاشتقاق بالطريقة نفسها التي نستخدمها مع أي تعبير. فإذا ما نظرنا إلى ثلاثة ﺱ تربيع مرة أخرى، فإننا نضرب اثنين — وهو الأس — في ثلاثة، وهو المعامل. فنحصل على ستة، ثم نقلل الأس بمقدار واحد. فيتبقى لدينا ﺱ.
حسنًا، حصلنا على المشتقة الثانية، وهي تساوي ستة ﺱ زائد ستة. حسنًا، سنعوض الآن بقيم ﺱ في المشتقة الثانية. وما يعنيه ذلك هو أننا سنتمكن من إيجاد تقعر هذا الجزء من الدالة، ومن ثم معرفة ما إذا كانت له قيمة عظمى محلية أم صغرى محلية.
لذا إذا بدأنا بـ ﺱ يساوي صفرًا، فإن المشتقة الثانية ستساوي ستة في صفر زائد ستة، وهو ما يعطينا الناتج ستة. وهذا ناتج موجب. لذا يمكننا القول إن التقعر سيكون لأعلى في هذا الجزء من الدالة. ومن ثم نعرف أن هذه ستكون نقطة قيمة صغرى.
والآن، يمكننا الانتقال إلى ﺱ يساوي سالب اثنين، ويمكننا التعويض بهذا في المشتقة الثانية. لذا يصبح لدينا ستة في سالب اثنين زائد ستة، وهو ما يعطينا الناتج سالب ستة. وحيث إن الناتج سالب، فإننا نعرف أن التقعر سيكون لأسفل عند هذه النقطة. إذن نعلم أن هذه ستكون نقطة قيمة عظمى.
ومن ثم، يمكننا القول إن الدالة ﺹ يساوي ﺱ تكعيب زائد ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ١٦ لها نقطة صغرى محلية عند صفر وسالب ١٦، ونقطة عظمى محلية عند سالب اثنين وسالب ١٢.
