فيديو السؤال: إيجاد أقصى مسافة يمكن لرجل أن يصعدها على سلم يستند على حائط رأسي أملس ويرتكز على أرض أفقية خشنة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

يستند سلم منتظم على مستوى رأسي بطرفه العلوي في مواجهة حائط رأسي أملس، وبطرفه السفلي على أرض أفقية خشنة، حيث معامل الاحتكاك بين السلم والأرض اثنان على ثلاثة. يميل السلم على المستوى الأفقي بزاوية قياسها ٤٨ درجة. إذا كان وزن السلم ٢٩٥ نيوتن وطوله ﻝ، فأوجد بدلالة ﻝ أقصى مسافة يمكن لرجل وزنه ٦١٠ نيوتن أن يصعدها على السلم دون أن ينزلق، مع تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين.

للإجابة عن هذا السؤال، سنبدأ ببساطة برسم مخطط. قياس الزاوية التي يصنعها السلم مع المستوى الأفقي يساوي ٤٨ درجة. نعلم من رأس السؤال أن السلم منتظم وأنه يزن ٢٩٥ نيوتن. وكون السلم منتظمًا يعني أن وزنه موزع بالتساوي على طوله. لذا، يمكننا اعتبار أن الوزن يؤثر بالضبط من منتصف السلم. حسنًا، بما أن طول السلم يساوي ﻝ ولم يرد في السؤال أي وحدات له، فنعرف أن قوة الوزن هذه تؤثر على مسافة مقدارها نصف ﻝ من قاعدة السلم. علمنا من المعطيات أن الأرض خشنة، وهذا يعني أنه توجد قوة احتكاك تؤثر بها الأرض على السلم. وهذه القوة تؤثر في عكس اتجاه انزلاق السلم. إذن، في هذا المخطط، هي تؤثر ناحية اليمين.

توجد قوتان أخريان مهمتان لنا. هيا نسم قاعدة السلم ﺃ وطرف السلم، أي نقطة التقائه بالحائط، ﺏ. توجد قوتا رد فعل عند هاتين النقطتين. ‏ﺭﺃ هي قوة رد الفعل التي تؤثر بها الأرض على السلم، وهي تؤثر عموديًّا على الأرض. وﺭﺏ هي قوة رد الفعل التي يؤثر بها الحائط على السلم، وهي تؤثر عموديًّا على الحائط. يطلب منا السؤال تحديد أقصى مسافة يمكن أن يصعدها رجل وزنه ٦١٠ نيوتن قبل أن ينزلق على السلم. ما يجعل الأمر صعبًا بعض الشيء هو أننا لا نعرف ما إذا كان يمكنه الصعود حتى منتصف المسافة أم أبعد منها. في المخطط لدينا، سنمثله وكأنه قد صعد لما بعد منتصف المسافة. لكننا في واقع الأمر، سنعرف ذلك بعد استخدام العمليات الحسابية.

لنفترض أنه صعد مسافة ﺱ أعلى السلم، حيث ﺱ هو عدد يقع بين صفر وواحد. يمكننا إذن القول إن المسافة التي قطعها من النقطة ﺃ هي ﺱﻝ من الوحدات. والآن بعد أن أوضحنا كل شيء على المخطط، نحن مستعدون لخطواتنا التالية. قيمة معامل الاحتكاك هذه نسميها ﻡﻙ، وهي مرتبطة بقوة الاحتكاك التي تؤثر بها الأرض على السلم. للإجابة على هذا السؤال، هيا نبدأ بتحليل القوى المؤثرة في الاتجاه الرأسي. بعد ذلك سنحلل القوى المؤثرة في الاتجاه الأفقي قبل أن نحسب في النهاية محصلة العزوم المؤثرة على السلم.

سنفترض أن السلم عند نقطة الانزلاق، وهذا يعني أنه على وشك الحركة. وحتى يتحقق ذلك، يجب أن تكون محصلة القوى الرأسية، لنسمها ﻕ ﺹ، مساوية للصفر. إذا افترضنا أن الاتجاه للأعلى هو الاتجاه الموجب، ونعرف أن اتجاه تأثير ﺭﺃ لأعلى وفي الاتجاه المعاكس، ولدينا وزن السلم ووزن الرجل. ومن ثم، فإن محصلة القوى المؤثرة في الاتجاه الرأسي هي ﺭﺃ ناقص ٢٩٥ ناقص ٦١٠. نعلم أن السلم في حالة اتزان، إذن فهذا يساوي صفرًا. سالب ٢٩٥ ناقص ٦١٠ يساوي سالب ٩٠٥. بإضافة ٩٠٥ إلى طرفي هذه المعادلة، نجد أن ﺭﺃ يساوي ٩٠٥ نيوتن.

بعد ذلك، نحلل القوى المؤثرة في الاتجاه الأفقي. مرة أخرى، نعلم أن محصلة هذه القوى ستساوي صفرًا. لنفترض أن الاتجاه إلى اليمين هو الاتجاه الموجب. إذن، ستكون قوة الاحتكاك موجبة. وقوة رد الفعل عند ﺏ تؤثر في الاتجاه المعاكس. وعليه، فإن محصلة القوى في الاتجاه الأفقي تساوي الاحتكاك ناقص ﺭﺏ. وبالطبع هذا يساوي صفرًا. لكننا في واقع الأمر نعلم أن الاحتكاك يساوي ﻡﻙﺭ، حيث ﻡﻙ هو معامل الاحتكاك وﺭ هي قوة رد الفعل عند هذه النقطة. معامل الاحتكاك في هذا السؤال هو ثلثان، وقوة رد الفعل ﺃ، أي الموضع الذي يؤثر عليه الاحتكاك، تساوي ٩٠٥. وعليه، نحصل على ثلثين في ٩٠٥ ناقص ﺭﺏ يساوي صفرًا. ثلثان في ٩٠٥ يساوي ١٨١٠ على ثلاثة. بإضافة ﺭﺏ إلى كلا طرفي المعادلة، نجد أن ﺭﺏ يساوي ١٨١٠ على ثلاثة نيوتن.

والآن، بعد أن حسبنا القوى المؤثرة أفقيًّا ورأسيًّا وأوجدنا قيمة قوتي رد الفعل، أصبح بإمكاننا حساب محصلة العزوم. يمكننا الآن حساب محصلة العزوم عند أي نقطة على السلم. في الحقيقة، من المنطقي في كثير من الأحيان أن تحسب محصلة العزوم عند نقطة التقاء السلم مع الأرض. عادة ما يوجد عدد من القوى المؤثرة على هذه النقطة، وهذا يقلل عدد العمليات الحسابية التي علينا إجراؤها. سنحسب الآن محصلة العزوم عند النقطة ﺃ، وسنحدد اتجاهًا موجبًا. لنفترض أن عكس اتجاه عقارب الساعة هو الاتجاه الموجب. نتذكر أن العزم يساوي القوة مضروبة في المسافة، حيث المسافة ﻑ هي البعد العمودي من المحور إلى خط عمل القوة.

مرة أخرى، بما أن السلم على وشك الحركة، نعلم أن محصلة العزوم ستساوي صفرًا. لنبدأ إذن بالنظر إلى وزن السلم وعزم هذه القوة. نريد إيجاد مركبة هذه القوة المؤثرة رأسيًّا على السلم. ولذلك، سنضيف مثلثًا قائم الزاوية، به زاوية محصورة قياسها ٤٨ درجة. ونعرف أن قيمة الوتر في مثلث القوة هذا يساوي ٢٩٥ نيوتن. ونريد إيجاد طول الضلع المجاور. إذا عرفنا مركبة القوة هذه بأنها تساوي ﻥ أو ﻥ نيوتن، فسنلاحظ أنه يمكننا استخدام نسبة جيب التمام. وعليه، فإن جتا ٤٨ يساوي ﻥ على ٢٩٥. بعد ذلك سنضرب كلا الطرفين في ٢٩٥، ونوجد قيمة ﻥ؛ إنها تساوي ٢٩٥ في جتا ٤٨ درجة. وبالطبع هذه القيمة بالنيوتن.

تحاول هذه القوة تحريك السلم في اتجاه عقارب الساعة. وعليه سيكون عزمها سالبًا. العزم يساوي القوة مضروبة في المسافة. إذن، هذا العزم يساوي سالب ٢٩٥ في جتا ٤٨ في نصف ﻝ. وقد اخترنا نصف ﻝ لأننا قلنا إن هذه هي مسافة السلم التي تؤثر عليها هذه القوة. سنحسب الآن وزن الرجل. مرة أخرى، سنضيف مثلثًا قائم الزاوية. هذا المثلث القائم الزاوية مشابه للمثلث السابق. الاختلاف الوحيد هو طول الوتر، إنه يساوي ٦١٠ هذه المرة. وسنرمز إلى الضلع الذي نريد قيمته بالرمز ﻫ. تذكر أننا نريد إيجاد المركبة المؤثرة رأسيًّا على السلم. ومن ثم، يصبح لدينا جتا ٤٨ يساوي ﻫ على ٦١٠، ما يعني أن ﻫ يساوي ٦١٠ في جتا ٤٨.

مرة أخرى، قيمة هذا العزم سالبة، لذا سنطرح ٦١٠ جتا ٤٨ مضروبًا في المسافة، التي قلنا إنها ﺱﻝ. توجد لدينا قوة أخرى نريد حسابها. هذه المرة، ما يهمنا هو مركبة قوة رد الفعل لـ ﺏ، أي هذه القوة المؤثرة رأسيًّا على السلم. لذا سنضيف مثلثًا آخر قائم الزاوية. مرة أخرى، نعرف قيمة الوتر. إنها ﺭﺏ، التي حسبناها بالفعل. لكننا هذه المرة نريد إيجاد طول الضلع المقابل. لنسمه ﺯ. ولإيجاد علاقة تجمع بين طول الضلع المقابل وطول الوتر، سنستخدم نسبة الجيب، إذن جا ٤٨ يساوي ﺯ على ﺭﺏ. ثم، نضرب في ﺭﺏ، ونجد أن ﺯ يساوي ﺭﺏ في جا ٤٨.

هذه القوة تحاول أن تحرك السلم عكس اتجاه عقارب الساعة. وعليه سيكون عزمها موجبًا. سنضرب تلك القوة في المسافة التي تبعدها عن ﺃ. أي ﺭﺏجا ٤٨ في ﻝ. نعلم أن مجموع هذا كله يساوي صفرًا. والآن، لاحظ أننا لو كنا قد حسبنا العزم حول نقطة مختلفة، على سبيل المثال، عند النقطة ﺏ، كنا سنأخذ في اعتبارنا قوتين أخريين عند ﺃ، أما عند ﺏ فكان لدينا قوة واحدة كان علينا أخذها في الاعتبار. ولهذا، أجرينا عمليات حسابية أقل نوعًا ما. والآن، قبل أن نفعل أي شيء، يمكننا أن نرى أنه يمكننا القسمة على ﻝ. تذكر أنه يمكننا أن نفعل ذلك فقط إذا كان ﻝ لا يساوي صفرًا. حسنًا، ﻝ هو طول السلم، لذا نعرف أن هذا الشرط ينطبق.

بعد ذلك، نبسط المقدار. وفي الوقت نفسه، سنعوض عن ﺭﺏبـ ١٨١٠ على ثلاثة. وبالتالي، تصبح المعادلة لدينا سالب ٢٩٥ على اثنين في جتا ٤٨ ناقص ٦١٠ﺱ جتا ٤٨ زائد ١٨١٠ على ثلاثة جا ٤٨ يساوي صفرًا. ولإيجاد قيمة ﺱ، سنضيف ٦١٠ في ﺱ جتا ٤٨ لكلا الطرفين. وبعد ذلك سنوجد قيمة الطرف الأيمن. بكتابة هذا على الآلة الحاسبة، نحصل على ٣٤٩٫٦٦٧ وهكذا مع توالي الأرقام. لإيجاد قيمة ﺱ، سنقسم كلا الطرفين على ٦١٠ جتا ٤٨. ‏٣٤٩٫٦٦٧ مقسومًا على ٦١٠ جتا ٤٨ يعطينا القيمة ٠٫٨٥٦٦٧ وهكذا مع توالي الأرقام. وبالتقريب إلى أقرب منزلتين عشريتين، يكون الناتج ٠٫٨٦. وبذلك نرى أن بإمكان الرجل الصعود بمقدار ٠٫٨٦ من المسافة على السلم قبل أن ينزلق. إذن بدلالة ﻝ، المسافة التي يصعدها هي ٠٫٨٦ﻝ.