فيديو السؤال: إيجاد مشتقة دالة كثيرة حدود باستخدام تعريف النهاية للمشتقات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

افترض أن ﺩ ﺱ تساوي ثمانية ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ زائد تسعة. استخدم تعريف المشتقة لإيجاد ﺩ شرطة ﺱ. ما ميل المماس لمنحنى الدالة عند ﺱ يساوي واحدًا؟

يتكون هذا السؤال من جزأين. في البداية، علينا إيجاد ﺩ شرطة ﺱ باستخدام تعريف المشتقة. بعد ذلك، علينا إيجاد ميل المماس عند ﺱ يساوي واحدًا. دعونا نبدأ بتذكر تعريف المشتقة. وفقًا لهذا التعريف، ﺩ شرطة ﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ﺩ ﺱ زائد ﻫ ناقص ﺩ ﺱ الكل مقسوم على ﻫ. وبما أن ﺩ ﺱ تساوي ثمانية ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ زائد تسعة، فإن ﺩ ﺱ زائد ﻫ تساوي ثمانية مضروبًا في ﺱ زائد ﻫ تربيع ناقص ستة مضروبًا في ﺱ زائد ﻫ زائد تسعة.

قبل التعويض بهذين المقدارين في تعريف المشتقة، علينا فك مقدار ﺩ ﺱ زائد ﻫ وتبسيطه. تربيع ﺱ زائد ﻫ يعطينا ﺱ تربيع زائد اثنين ﻫﺱ زائد ﻫ تربيع. وبضرب ذلك في ثمانية، نحصل على ثمانية ﺱ تربيع زائد ١٦ﺱﻫ زائد ثمانية ﻫ تربيع. بعد ذلك، نضرب سالب ستة في ﺱ زائد ﻫ لنحصل على سالب ستة ﺱ ناقص ستة ﻫ. وبهذا، نجد أن ﺩ ﺱ زائد ﻫ تساوي ثمانية ﺱ تربيع زائد ١٦ﺱﻫ زائد ثمانية ﻫ تربيع ناقص ستة ﺱ ناقص ستة ﻫ زائد تسعة.

يمكننا الآن التعويض بهذا المقدار وكذلك مقدار ﺩ لـﺱ في تعريف المشتقة. ‏ﺩ شرطة ﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لثمانية ﺱ تربيع زائد ١٦ﺱﻫ زائد ثمانية ﻫ تربيع ناقص ستة ﺱ ناقص ستة ﻫ زائد تسعة ناقص ثمانية ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ زائد تسعة الكل مقسوم على ﻫ. يمكننا تبسيط البسط بحذف الحدود ثمانية ﺱ تربيع وسالب ستة ﺱ وتسعة. بعد ذلك نقسم الحدود الثلاثة المتبقية في البسط على ﻫ. وهذا يعطينا ﺩ شرطة ﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ١٦ﺱ زائد ثمانية ﻫ ناقص ستة. وأخيرًا، بالتعويض المباشر عن ﻫ بصفر، يصبح لدينا ﺩ شرطة ﺱ تساوي ١٦ﺱ ناقص ستة. هذه هي إجابة الجزء الأول من السؤال.

لاحظ أنه على الرغم من أنه مطلوب منا استخدام تعريف المشتقة في هذا السؤال، يمكننا أيضًا إيجاد مقدار لـ ﺩ شرطة ﺱ باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. هذه القاعدة توضح أنه إذا كانت ﺩ ﺱ تساوي ﺃ مضروبًا في ﺱ أس ﻥ، فإن ﺩ شرطة ﺱ تساوي ﻥ مضروبًا في ﺃ مضروبًا في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. وبتطبيق هذه القاعدة لاشتقاق ﺩ ﺱ حدًّا تلو الآخر، نحصل مجددًا على ﺩ شرطة ﺱ تساوي ١٦ﺱ ناقص ستة.

مطلوب منا في الجزء الثاني من السؤال إيجاد ميل المماس لمنحنى الدالة عند ﺱ يساوي واحدًا. نتذكر أن ﺩ شرطة ﺱ تعطينا مقدارًا لميل المماس. وعند ﺱ يساوي واحدًا، تكون ﺩ شرطة لواحد تساوي ١٦ مضروبًا في واحد ناقص ستة. وهذا يساوي ١٠. إذن، عند ﺱ يساوي واحدًا، فإن قيمة ﺩ شرطة ﺱ تساوي ١٠. ومن ثم، يمكننا استنتاج أن ميل المماس عند ﺱ يساوي واحدًا هو ١٠. وبذلك، نكون أجبنا عن جزأي السؤال.