نسخة الفيديو النصية
لدينا المعادلة المصفوفية الآتية: مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة، وعناصرها: سالب ستة، ثلاثة، سالب واحد، أربعة، صفر، سالب ستة، اثنان، اثنان، واحد، مضروبة في مصفوفة العمود التي عناصرها: ﺱ، ﺹ، ﻉ، تساوي مصفوفة العمود التي عناصرها: ثلاثة، ﻙ، خمسة. أوجد قيمة ﻙ التي ينتج عنها ﺹ يساوي ٣١ على ١٦.
تمثل المعادلة المصفوفية المعطاة نظامًا من ثلاث معادلات خطية عادة ما نريد حلها لإيجاد المجاهيل ﺱ وﺹ وﻉ. لكننا في هذه المسألة، نعرف قيمة ﺹ؛ فـ ﺹ يساوي ٣١ على ١٦. ومطلوب منا إيجاد قيمة ﻙ. ومن ثم، تظل لدينا ثلاث معادلات وثلاثة مجاهيل. ولحل هذه المعادلات، يمكننا استخدام طريقة معكوس المصفوفة.
في البداية، إذا أطلقنا على المصفوفات الثلاث لدينا ﺃ وﺱ وﺟ، فسوف نرى كيف تعمل هذه الطريقة على حل المعادلة: ﺃ مضروبًا في ﺱ يساوي ﺟ. بافتراض أن المصفوفة ﺃ قابلة للعكس، أي معكوسها موجود، وإذا ضربنا الطرفين من اليمين في معكوس ﺃ، فسوف نحصل على معكوس ﺃ في ﺃ مضروبًا في ﺱ يساوي معكوس ﺃ مضروبًا في ﺟ. والآن، نعلم أنه لأي مصفوفة ﺃ غير منفردة رتبتها ﻥ في ﻥ، فإن ﺃ مضروبًا في معكوس ﺃ يساوي معكوس ﺃ مضروبًا في ﺃ يساوي مصفوفة الوحدة. إنها المصفوفة التي رتبتها ﻥ في ﻥ وعناصرها كلها تساوي صفرًا باستثناء القطر الرئيسي، الذي عناصره كلها تساوي واحدًا، والتي تكون كما هو موضح لمصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة.
إذن يكون لدينا في الطرف الأيمن من المعادلة، 𝐼 مضروبًا في ﺱ. ونعرف أن 𝐼 مضروبًا في ﺱ يساوي ﺱ فقط. إذن، هذا يعني وجود المصفوفة ﺱ التي عناصرها: ﺱ، ﺹ، ﻉ، في الطرف الأيمن بمفردها. وإذا أوجدنا حاصل ضرب الطرف الأيسر، نحصل على الحل. ولضرب الطرف الأيسر، علينا إيجاد معكوس المصفوفة ﺃ. الآن نفرغ بعض المساحة، ونتذكر أنه لأي مصفوفة ﺃ قابلة للعكس رتبتها ﻥ في ﻥ، فإن معكوس ﺃ يساوي واحدًا على محدد ﺃ مضروبًا في المصفوفة الملحقة لـ ﺃ. علينا إذن إيجاد كل من محدد المصفوفة ﺃ والمصفوفة الملحقة لـ ﺃ، مع تذكر أن المصفوفة الملحقة لـ ﺃ هي مدور مصفوفة العوامل المرافقة. دعونا نبدأ إذن بإيجاد محدد المصفوفة ﺃ.
بما أن أحد عناصر الصف الثاني من المصفوفة ﺃ يساوي صفرًا، دعونا نفك باستخدام هذا الصف. ونتذكر أنه لإيجاد محدد أي مصفوفة من خلال الفك باستخدام الصف ﺹ، فإننا نستخدم الصيغة: المجموع من ﻉ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﺃﺹﻉ، مضروبًا في سالب واحد أس ﺹ زائد ﻉ مضروبًا في محدد المصفوفة الصغرى ﺃقتاﻉ. كما نتذكر أن المصفوفة الصغرى ﺃقتاﻉ، لمصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة، هي مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين نحصل عليها بحذف الصف ﺹ والعمود ﻉ. وفي مسألتنا هذه، نجد أن محدد المصفوفة ﺃ يساوي سالب العنصر ﺃ اثنين واحد في محدد المصفوفة الصغرى ﺃ اثنين واحد، وهكذا.
نلاحظ أنه من المهم جدًّا أن تكون الإشارات صحيحة في هذه الخطوة. وهي ناتجة من سالب واحد أس قتا زائد ﻉ. على سبيل المثال، في الحد الأول، لدينا سالب واحد أس اثنين زائد واحد، وهو ما يساوي سالب واحد أس ثلاثة؛ أي: سالب واحد. إذن، الحد الأول يساوي أربعة في سالب واحد في محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين الناتجة عن حذف الصف اثنين والعمود واحد. إنها المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين والتي تحتوي على العناصر: ثلاثة، سالب واحد، اثنان، واحد. وبالمثل، نحصل على الحدين الثاني والثالث. ويمكننا إيجاد قيمة المحددات التي لدينا بتذكر أنه للمصفوفة ﻡ التي رتبتها اثنان في اثنين، وعناصرها: ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ، فإن محددها يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ.
ومن ثم نحصل، في الحد الأول، على سالب أربعة في ثلاثة في واحد ناقص سالب واحد في اثنين، وينطبق الأمر نفسه على الحدين الثاني والثالث. بحساب ذلك، نحصل على سالب أربعة في خمسة زائد صفر في سالب أربعة زائد ستة في سالب ١٨. هذا يساوي سالب ٢٠ ناقص ١٠٨، وهو ما يساوي سالب ١٢٨. إذن، محدد المصفوفة ﺃ التي لدينا هو سالب ١٢٨. حسنًا، لدينا المحدد. والآن دعونا نوجد المصفوفة الملحقة لـ ﺃ.
نتذكر أن المصفوفة الملحقة للمصفوفة ﺃ هي مدور مصفوفة العوامل المرافقة، وأن العامل المرافق ﺟقتاﻉ يساوي سالب واحد أس قتا زائد ﻉ مضروبًا في محدد المصفوفة الصغرى ﺃقتاﻉ. الحد سالب واحد أس قتا زائد ﻉ يعطينا إشارة العامل المرافق بناء على زوجية هذا الأس أو فرديته. وفي المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة، يكون ذلك كما هو موضح. لقد حسبنا بالفعل ثلاثة من العوامل المرافقة، وهي تلك العوامل الموجودة في الصف الثاني. ومع ذلك، دعونا نكتبها كاملة. العوامل المرافقة التسعة تكون كما هو موضح.
الآن، يمكننا إيجاد محددات المصفوفات الصغرى التي رتبتها اثنان في اثنين. على سبيل المثال، بالنظر إلى العامل المرافق ﺟ واحد واحد، لدينا المحدد صفر في واحد ناقص سالب ستة في اثنين، وهذا يساوي ١٢. إذن، تكون العوامل المرافقة هي: ١٢، سالب ١٦، ثمانية، سالب خمسة، سالب أربعة، ١٨، سالب ١٨، سالب ٤٠، سالب ١٢.
الآن، وبكتابة مصفوفة العوامل المرافقة، نحصل على المصفوفة الملحقة للمصفوفة ﺃ من مدور مصفوفة العوامل المرافقة. إنه المصفوفة التي تتبادل فيها الصفوف والأعمدة. والآن، نتذكر أننا نحاول إيجاد معكوس المصفوفة ﺃ. ونحصل عليه من واحد على قيمة المحدد في المصفوفة الملحقة للمصفوفة ﺃ. المحدد سالب ١٢٨، والمصفوفة الملحقة كما هو موضح. إذن، معكوس المصفوفة ﺃ يساوي سالب واحد على ١٢٨ مضروبًا في المصفوفة الملحقة للمصفوفة ﺃ. وعليه، يمكننا التعويض بذلك في المعادلة الأصلية التي لدينا. إنها: ﺱ يساوي معكوس ﺃ مضروبًا في ﺟ.
الآن، نتذكر أن علينا إيجاد قيمة ﻙ التي تجعل ﺹ يساوي ٣١ على ١٦. قبل حل هذه المعادلة، نعوض عن ﺹ بهذه القيمة. يمكننا حل هذه المعادلة بإيجاد حاصل ضرب الطرف الأيسر. وبضرب المصفوفتين، في الصف الأول، على سبيل المثال، نحصل على: ١٢ في ثلاثة زائد سالب خمسة في ﻙ زائد سالب ١٨ في خمسة. وبإيجاد قيمة كل صف، نحصل على: الصف الأول؛ سالب ٥٤ ناقص خمسة ﻙ، والصف الثاني؛ سالب ٢٤٨ ناقص أربعة ﻙ، والصف الثالث؛ سالب ٣٦ زائد ١٨ﻙ، الكل مضروب في سالب واحد على ١٢٨. وبإفراغ بعض المساحة وإعادة الكتابة، يمكننا الآن مساواة الطرفين الأيسر والأيمن. ومن تساوي المصفوفات، تكون لدينا المعادلات الثلاث الموضحة.
بما أننا نريد إيجاد قيمة ﻙ، سوف نستخدم المعادلة الثانية؛ لأن ﻙ هو المتغير الوحيد في هذه المعادلة. حسنًا، دعونا نبدأ بضرب كلا الطرفين في ١٢٨. بقسمة كل من بسط الطرف الأيمن ومقامه على ١٢٨، نحصل على واحد. وبقسمة كل من بسط الطرف الأيمن ومقامه على ١٦، نحصل على ثمانية في ٣١ على واحد. إذن، لدينا في الطرف الأيمن ٢٤٨، ولدينا في الطرف الأيمن ٢٤٨ زائد أربعة ﻙ. بطرح ٢٤٨ من كلا الطرفين، نحصل على: صفر يساوي أربعة ﻙ. ومن ثم، فإن ﻙ يساوي صفرًا.
هذا يعني أن قيمة ﻙ التي ينتج عنها ﺹ يساوي ٣١ على ١٦ في المعادلة المصفوفية المعطاة هي ﻙ يساوي صفرًا. والآن، وبغرض الإكمال، يمكننا استخدام هذه القيمة لإيجاد قيمتي ﺱ وﻉ. ﺱ يساوي ٥٤ على ١٢٨، وﻉ يساوي ٣٦ على ١٢٨. وبحساب ذلك، نحصل على: ﺱ يساوي ٢٧ على ٦٤، وﻉ يساوي تسعة على ٣٢.
