فيديو: استخدام العلاقة بين قاعدة الجيب ونصف قطر الدائرة الخارجية للمثلث لحساب طول نصف قطرها

‏‪𝐴𝐵𝐶‬‏ مثلث متساوي الأضلاع مرسوم داخل دائرة، طول ضلعه ‪12 cm‬‏. أوجد طول نصف قطر الدائرة لأقرب منزلتين عشريتين.

٠٤:١٠

‏نسخة الفيديو النصية

‏‏‪𝐴𝐵𝐶‬‏ مثلث متساوي الأضلاع مرسوم داخل دائرة، طول ضلعه ‪12‬‏ سنتيمترًا. أوجد طول نصف قطر الدائرة لأقرب منزلتين عشريتين.

لنبدأ برسم شكل توضيحي. ليس من الضروري أن يكون دقيقًا للغاية، لكن يجب أن يكون متناسبًا مع المعطيات، لنتمكن من التحقق من معقولية أي إجابة نحصل عليها. بما أن المثلث مرسوم داخل دائرة، فهذا يعني أن رءوس المثلث كلها تقع على محيط الدائرة نفسها. يمكننا رسم أنصاف أقطار الدائرة كما هو موضح. والآن لنقم بإضافة بعض الزوايا. نحن نعرف أن زوايا المثلث المتساوي الأضلاع، قياس كل منها ‪60‬‏ درجة. هذا يعني أن قياس الزاوية ‪𝑂𝐴𝐵‬‏ لا بد أنه نصف هذا القياس. أي ‪30‬‏ درجة.

وبالمثل، لا بد أن قياس الزاوية ‪𝑂𝐵𝐴 30‬‏ درجة أيضًا. وأخيرًا، بما أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ‪180‬‏ درجة، يمكننا حساب قياس الزاوية ‪𝐴𝑂𝐵‬‏ عن طريق طرح ‪30‬‏ و‪30‬‏ من ‪180‬‏، لنحصل على ‪120‬‏ درجة. إذا نظرنا إلى المثلث غير القائم الزاوية ‪𝐴𝑂𝐵‬‏ بمفرده، فسنرى أننا نعرف قياسات زواياه الثلاث وطول أحد أضلاعه. لذا يمكننا استخدام قانون الجيب لحساب الطولين المجهولين. نعرف أنه لا يمكننا استخدام قانون جيب التمام لأنه يتطلب معرفة طولي ضلعين على الأقل.

تذكر أنه يمكننا استخدام قانون الجيب بأي من صورتيه. لكن بما أننا نحاول معرفة طول مجهول، فسنستخدم الصورة الأولى. فهذه الصورة تتطلب قدرًا أقل من عمليات إعادة الترتيب لحل أي معادلات نحصل عليها. لكن إذا كنا نريد إيجاد قياس زاوية مجهولة، فسنستخدم الصيغة الثانية. دعونا نسم أضلاع المثلث. الضلع المقابل للزاوية ‪𝐴‬‏ نرمز له بالحرف الصغير ‪𝑎‬‏. والضلع المقابل للزاوية ‪𝑂‬‏ نرمز له بالحرف الصغير ‪𝑜‬‏. والضلع المقابل للزاوية ‪𝐵‬‏ نرمز له بالحرف الصغير ‪𝑏‬‏.

إننا نحاول حساب طول نصف قطر هذه الدائرة. أي إننا نحاول إيجاد طول ‪𝑎‬‏ أو ‪𝑏‬‏. لنحسب طول الضلع ‪𝑎‬‏. نحن نعرف قياس الزاوية ‪𝑂‬‏ وطول الضلع ‪𝑜‬‏، لذا سنستخدم هذين الجزأين من الصيغة: ‪𝑎‬‏ على ‪sin 𝐴‬‏ يساوي ‪𝑜‬‏ على ‪sin 𝑂‬‏. لاحظ أننا غيرنا الرموز لتناسب المثلث الذي لدينا. الخطوة المنطقية التالية هي التعويض بالقيم التي لدينا في صيغة قانون الجيب.

هذا يعطينا ‪𝑎‬‏ على ‪sin 30‬‏ يساوي ‪12‬‏ على ‪sin 120‬‏. يمكننا حل هذه المعادلة بضرب كلا الطرفين في ‪sin 30‬‏. وهذا يعطينا ‪𝑎‬‏ يساوي ‪12‬‏ على ‪sin 120‬‏ في ‪sin 30‬‏. بكتابة ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على القيمة ‪6.9282‬‏. وبالتقريب إلى أقرب منزلتين عشريتين، نجد أن نصف قطر الدائرة يساوي ‪6.93‬‏ سنتيمترات. من المفيد معرفة أنه يمكننا التأكد من إجابتنا باستخدام ما يسمى بقانون الجيب الموسع.

ينص هذا القانون على أنه في المثلث المرسوم داخل دائرة، فإن النسبة بين طول ضلع المثلث وجيب الزاوية المقابلة له، تساوي ضعف طول نصف القطر. لذا فإن ‪𝑎‬‏ على ‪sin 𝐴‬‏ يساوي ‪𝑏‬‏ على ‪sin 𝐵‬‏ يساوي ‪𝑐‬‏ على ‪sin 𝐶‬‏ يساوي اثنين ‪𝑟‬‏. إذا اخترنا جزأين من هذه الصيغة، وليكونا ‪𝑐‬‏ على ‪sin 𝐶‬‏ يساوي اثنين ‪𝑟‬‏، يمكننا حساب قيمة نصف القطر بسرعة. قياس الزاوية ‪𝐶‬‏ يساوي ‪60‬‏ درجة. وطول الضلع يساوي ‪12‬‏.

لذا تصبح الصيغة ‪12‬‏ على ‪sin 60‬‏ يساوي اثنين ‪𝑟‬‏. يمكننا حل هذه المعادلة بقسمة كلا الطرفين على اثنين. وبذلك نجد أن طول نصف القطر يساوي ستة على ‪sin 60‬‏، ما يساوي ‪6.9282‬‏ كما حسبناه سابقًا. إذن، طول نصف قطر هذه الدائرة يساوي ‪6.93‬‏ سنتيمترات.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.