فيديو: التمثيل البياني لدوال الجذر التربيعي

أحمد مدحت

يوضح الفيديو كيفية تمثيل دوال الجذر التربيعي بيانيًّا، واستخدام التمثيل البياني لتحليل دوال الجذر التربيعي، مع أمثلة توضيحية.

٠٩:٥٩

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن التمثيل البياني لدوال الجذر التربيعي.

في الفيديو ده، هنشوف إزّاي نمثّل دوال الجذر التربيعي بيانيًّا. وده هيكون من خلال أمثلة. هيظهر لنا المثال الأول. في المثال اللي عندنا، عايزين نمثّل الدالة: ص تساوي الجذر التربيعي لـ س ناقص اتنين، زائد خمسة بيانيًّا. وكمان عايزين نحدّد مجالها ومداها.

في الأول، محتاجين نحدّد قيم س اللي هيبقى عندها الدالة معرّفة. يعني القيم اللي هتخلّي اللي تحت الجذر التربيعي غير سالب. وبالنسبة للمقدار الجبري اللي تحت الجذر التربيعي، فهو س ناقص اتنين. وبالتالي هيبقى عندنا المتباينة: س ناقص اتنين أكبر من أو تساوي صفر. يعني س أكبر من أو تساوي اتنين. ده معناه إن أصغر قيمة لـ س هي اتنين. وبالتالي هتبقى أصغر قيمة للمجال بتاع الدالة هي اتنين.

بعد كده هنعمل جدول زيّ اللي هيظهر لنا. في العمود الأول من الجدول ده، هنكتب قيم س، واللي أصغر قيمة فيهم هي اتنين. أمَّا في العمود التاني، فهنجيب قيمة ص عند كل قيمة لـ س. وده هيكون من خلال التعويض عن كل قيمة لـ س في العلاقة: ص تساوي الجذر التربيعي لـ س ناقص اتنين، زائد خمسة. فهنكمّل الجدول زيّ ما هيظهر لنا. بكده يبقى إحنا كمّلنا الجدول اللي هنستخدمه في التمثيل البياني بتاع الدالة.

بالنسبة للصورة العامة لدوال الجذر التربيعي، فهي على الشكل: د س تساوي أ الجذر التربيعي لـ س ناقص ح، زائد ك. بالنسبة لـ د س، فهي ممكن تبقى ص. ولمّا هنقارن ما بين الدالة اللي عندنا والصورة العامة لدوال الجذر التربيعي. هنلاقي إن أ تساوي واحد، وَ ح تساوي اتنين، وَ ك تساوي خمسة. ومن خلال الجدول اللي عندنا، هنلاحظ إن الإحداثي السيني للنقطة الصغرى لمنحنى الدالة هو اتنين، واللي هي قيمة ح. والإحداثي الصادي هو خمسة، واللي هي قيمة ك. ده معناه إن النقطة الصغرى هتبقى عند النقطة اللي إحداثياتها هي ح وَ ك. يعني هتبقى النقطة الصغرى هي اتنين وخمسة.

بعد كده هنمثّل الدالة اللي عندنا بيانيًّا. زيّ ما هيظهر لنا. من خلال التمثيل البياني اللي عندنا، هنلاحظ إن هو نفس التمثيل البياني للدالة الرئيسية أو الدالة الأم. واللي هي الدالة د س، اللي بتساوي الجذر التربيعي لـ س. لكن هنلاحظ إن المنحنى بتاع الدالة الرئيسية أو الدالة الأم انتقل أفقيًّا بمقدار وحدتين لليمين. وده لأن ح بتساوي اتنين. وده لأن من خلال تحويلات دوال الجذر التربيعي، كان المتغيّر ح هو اللي بيدلّ على الإزاحة الأفقية لمنحنى الدالة عن الدالة الأم.

كمان هنلاحظ إن منحنى الدالة انتقل رأسيًّا لأعلى بمقدار خمس وحدات. وده لأن ك بتساوي خمسة. وده لأن المتغيّر ك لتحويلات دوال الجذر التربيعي كان بيدلّ على الإزاحة الرأسية لمنحنى الدالة عن الدالة الأم. أمَّا بالنسبة للمتغيّر أ، فهو بيدلّ على الشكل والاتجاه بتاع الدالة. لكنه في الدالة اللي عندنا بيساوي واحد. وبالنسبة لسلوك الدالة عند الطرفين بتوعها، فهنلاحظ من خلال الجدول إن كل ما قيمة س زادت كل ما قيمة ص زادت. وفعلًا من خلال التمثيل البياني اللي عندنا، هنلاحظ إن كلّ ما زادت س زادت ص.

بعد كده هنحدّد المجال والمدى بتوع الدالة. فبالنسبة للدالة اللي عندنا، فهنلاقيها معرّفة عند س أكبر من أو تساوي اتنين. وده معناه إن المجال هيبقى مجموعة كل س، حيث س أكبر من أو تساوي اتنين. أمَّا المدى، فهنلاحظ من خلال الجدول اللي عندنا، وكمان التمثيل البياني للدالة، إن القيمة الصغرى للمدى هي خمسة. وكمان كلّ ما س زادت كلّ ما ص زادت. وبالتالي هيبقى المدى عبارة عن مجموعة كلّ ص، حيث ص أكبر من أو تساوي خمسة. وبكده يبقى إحنا مثّلنا الدالة اللي عندنا بيانيًّا. وكمان حدّدنا مجالها ومداها.

في المثال ده، هنلاحظ إن الحدّ بتاع المجال، واللي هو اتنين، هو عبارة عن الإحداثي السيني للنقطة اللي بيبدأ من عندها منحنى الدالة. وكمان الحدّ بتاع المدى، واللي هو خمسة، عبارة عن الإحداثي الصادي للنقطة اللي بيبدأ عندها منحنى الدالة. ده معناه إن حدود المجال والمدى هتمثّل إحداثيات النقطة اللي بيبدأ عندها منحنى الدالة بتاعة الجذر التربيعي.

بعد كده هنشوف مثال كمان في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة. هيظهر لنا المثال. في المثال اللي عندنا، عايزين نمثّل بيانيًّا الدالة: ص تساوي سالب اتنين الجذر التربيعي لـ س زائد تلاتة، ناقص واحد. وكمان عايزين نحدّد مجالها ومداها.

بالنسبة للدالة اللي عندنا، لمّا هنقارنها بالصورة العامة لدوال الجذر التربيعي، هنلاقي إن أ تساوي سالب اتنين. وَ ح تساوي سالب تلاتة. وَ ك تساوي سالب واحد. وبالنسبة للمجال بتاع الدالة، فبتكون أصغر قيمة فيه هي قيمة ح. يعني هيبقى أصغر قيمة في مجال الدالة هي سالب تلاتة، واللي هي قيمة ح. فهنعمل جدول زيّ اللي هيظهر لنا. في العمود الأول من الجدول، هنكتب قيم س. وبما إن أصغر قيمة في مجال الدالة هي سالب تلاتة، فإحنا هنكتب في العمود الأول قيم س، اللي هتنتج من المتباينة: س أكبر من أو تساوي سالب تلاتة. بعد كده في العمود التاني، هنجيب قيمة ص عند كلّ قيمة لـ س. فهنكمّل الجدول زيّ ما هيظهر لنا.

بعد ما كمّلنا الجدول، هنمثّل الدالة اللي عندنا بيانيًّا، زيّ ما يظهر لنا. أول حاجة هنلاحظها من خلال التمثيل البياني اللي عندنا، إن نقطة البداية بتاعة منحنى الدالة هي النقطة سالب تلاتة وسالب واحد. وبالنسبة لـ ح، فهي بتساوي سالب تلاتة. وبالنسبة لـ ك، فهي بتساوي سالب واحد. ده معناه إن نقطة البداية بتاعة المنحنى هي النقطة اللي إحداثياتها هي ح وَ ك.

تاني حاجة هنلاحظها، هي إن التمثيل البياني للدالة اللي عندنا هو نفس التمثيل البياني للدالة الرئيسية أو الدالة الأم. واللي هي: د س تساوي الجذر التربيعي لـ س. لكنه انعكس حوالين محور السينات. وده لأن أ بتساوي سالب اتنين. يعني أ قيمة سالبة. وكمان لأن مقياس أ أكبر من واحد، هنلاقي إن التمثيل البياني بتاع الدالة اتسع رأسيًّا. كمان هنلاحظ إن المنحنى أو التمثيل البياني بتاع الدالة اللي عندنا انتقل أفقيًّا للشمال تلات وحدات، ورأسيًّا لأسفل وحدة، عن التمثيل البياني بتاع الدالة الرئيسية أو الدالة الأم. وده لأن ح بتساوي سالب تلاتة، وَ ك بتساوي سالب واحد.

بعد كده هنحدّد المجال والمدى بتوع الدالة. فبالنسبة للمجال، هنلاقي إن الدالة معرّفة عند س أكبر من أو تساوي سالب تلاتة. ده معناه إن المجال هيبقى عبارة عن مجموعة كل س، حيث س أكبر من أو تساوي سالب تلاتة. أمَّا بالنسبة للمدى، فهنلاحظ من خلال الجدول اللي عندنا، وكمان التمثيل البياني بتاع الدالة، إن كلّ ما زادت س قلّت ص. وأكبر قيمة لـ ص هي سالب واحد. وبالتالي المدى هيبقى مجموعة كل ص، حيث ص أقلّ من أو تساوي سالب واحد. بكده يبقى إحنا مثّلنا الدالة اللي عندنا بيانيًّا، وكمان حدّدنا لها المجال والمدى.

بعد كده هنشوف مثال نستخدم فيه التمثيل البياني؛ علشان نحلّل دوال الجذر التربيعي. فهنقلب الصفحة، هيظهر لنا المثال. عندنا في المثال إن الزمن الدوري للبندول نقدر نمثّله باستخدام الدالة: ن تساوي اتنين 𝜋 الجذر التربيعي لـ ل على تسعة وتمنية من عشرة. بحيث إن ن دي هتمثّل الزمن الدوري بالثواني، وَ ل هتمثّل طول البندول بالمتر. وعندنا مطلوبين. المطلوب الأول: هو تمثيل الدالة بيانيًّا، بحيث يكون مجال الدالة هو مجموعة كل ل. حيث ل أكبر من أو تساوي صفر، وأقلّ من أو تساوي خمسة. والمطلوب التاني: هو إيجاد الزمن الدوري إذا كان طول البندول تلاتة متر.

في الأول، هنمثّل الدالة اللي عندنا بيانيًّا. فهنعمل جدول. وده لأن الجدول طريقة كويّسة علشان نرتّب الأزواج المرتّبة. وده علشان ندرس سلوك التمثيل البياني بتاع الدالة. فهنعمل جدول زيّ اللي هيظهر لنا. في العمود الأول من الجدول، هنكتب قيم ل. ومن خلال مجال الدالة اللي عندنا، هنلاقي ل أكبر من أو تساوي صفر، وأقلّ من أو تساوي خمسة. فهنكتب قيم ل في العمود الأول. وفي العمود التاني، هنجيب قيمة ن عند كلّ قيمة لـ ل. وده هيكون من خلال التعويض عن ل في الدالة: ن تساوي اتنين 𝜋 الجذر التربيعي لـ ل على تسعة وتمنية من عشرة. فهنكمّل الجدول زيّ ما هيظهر لنا. بعد ما كمّلنا الجدول، هنمثّل الدالة اللي عندنا بيانيًّا، زيّ ما هيظهر لنا.

بعد ما خلّصنا المطلوب الأول، وهو تمثيل الدالة بيانيًّا، هنبدأ نجيب الزمن الدوري لمّا يكون طول البندول تلاتة متر. هنلاحظ من خلال الجدول اللي عندنا، لمّا يبقى طول البندول تلاتة متر، هيبقى الزمن الدوري تقريبًا بيساوي تلاتة وتمنية وأربعين من مية ثانية. وده اللي نقدر نشوفه من خلال التمثيل البياني، زيّ ما هيظهر لنا. وفعلًا من خلال التمثيل البياني، هنلاقي إن الزمن الدوري لمّا يبقى طول البندول تلاتة متر هو تلاتة وتمنية وأربعين من مية ثانية تقريبًا. وبكده يبقى إحنا خلّصنا المطلوب التاني.

وبكده يبقى إحنا في الفيديو ده، عرفنا إزّاي نقدر نمثّل دوال الجذر التربيعي بيانيًّا. وكمان إزّاي نستخدم التمثيل البياني علشان نحلّل دوال الجذر التربيعي.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.