نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم خواص التوافيق لحل المسائل، وكيف نستخدم التوافيق لعد النواتج الممكنة. تمثل التوافيق ﻥﻕﺭ عدد الطرق المختلفة لاختيار عدد ﺭ من العناصر من إجمالي عدد ﻥ من العناصر المختلفة. وعند التعامل مع التوافيق، لا يهم الترتيب. من المهم ملاحظة أن ﻥ وﺭ يجب أن يكونا عددين صحيحين غير سالبين، وأن ﻥ يجب أن يكون أكبر من أو مساويًا لـ ﺭ. نتذكر أن التباديل ﻥﻝﺭ مشابهة جدًّا للتوافيق. ولكن في التباديل، يكون الترتيب مهمًّا. سنبدأ هذا الفيديو بالمقارنة بين التباديل والتوافيق عند التعامل معهما في سياق ما.
كما ذكرنا من قبل، فإن الفرق الأساسي بين التباديل والتوافيق هو إذا ما كان الترتيب مهمًّا أم لا. ويكون الترميز المستخدم لكل منهما متشابهًا؛ حيث ﻥ هو إجمالي عدد العناصر المختلفة، وﺭ هو عدد العناصر التي يجرى ترتيبها أو اختيارها. دعونا نتخيل سباقًا يوجد فيه عدد ﻥ من العدائين. في الحالة الأولى، يحصل العداءون المتصدرون، وعددهم ﺭ، على ميداليات على حسب ترتيبهم. إذا كان ﺭ يساوي ثلاثة، فستكون هناك طريقتان ممكنتان لتوزيع الميداليات كما هو موضح هنا. وعلى الرغم من أن العدائين الثلاثة أنفسهم قد حصلوا على المراكز الثلاثة الأولى في كلتا الحالتين، فقد حصل الفائزون على ميداليات مختلفة.
هذا لأن الترتيب مهم. إذن، فإن عدد الطرق المختلفة لتوزيع الميداليات في هذا السباق هو عدد الطرق المختلفة لترتيب عدد ﺭ من العناصر من إجمالي عدد ﻥ من العناصر. ونحصل على هذا باستخدام التباديل ﻥﻝﺭ. إذا حصل أول ثلاثة فائزين على ميداليات متماثلة بدلًا من حصولهم على ميداليات حسب ترتيبهم، فستكون هناك طريقة واحدة فقط لتوزيع الميداليات على أول ثلاثة فائزين. هذا لأن الترتيب غير مهم. ونحصل على هذه القيمة باستخدام التوافيق ﻥﻕﺭ. سنتناول الآن كيفية حساب ذلك باستخدام مبدأ العد الأساسي.
ينص مبدأ العد الأساسي على أنه إذا كان لدينا حدثان مستقلان ﺃ وﺏ؛ بحيث يكون عدد النواتج الممكنة للحدث ﺃ هو ﺱ، وعدد النواتج الممكنة للحدث ﺏ هو ﺹ؛ فإن إجمالي عدد النواتج الممكنة المختلفة لوقوع هذين الحدثين معًا هو حاصل ضرب ﺱ في ﺹ. بتطبيق هذا على المثال لدينا، نلاحظ أن عدد طرق اختيار عدد ﺭ من إجمالي عدد ﻥ من العدائين مضروبًا في عدد طرق ترتيب عدد ﺭ من العدائين يساوي عدد طرق ترتيب عدد ﺭ من إجمالي عدد ﻥ من العدائين. وباستخدام ترميز كل من التوافيق والتباديل، نجد أن العامل الأول في الطرف الأيمن هو ﻥﻕﺭ، والعامل في الطرف الأيسر هو ﻥﻝﺭ.
بما أن عدد طرق ترتيب عدد ﺭ من العدائين هو مضروب ﺭ، فإننا نحصل على: ﻥﻕﺭ مضروبًا في مضروب ﺭ يساوي ﻥﻝﺭ، مع تذكر أن مضروب ﺭ هو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأقل من أو تساوي ﺭ. بقسمة طرفي المعادلة على مضروب ﺭ، نجد أن ﻥﻕﺭ يساوي ﻥﻝﺭ مقسومًا على مضروب ﺭ. وباستخدام حقيقة أن ﻥﻝﺭ يساوي مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ﺭ، سنعيد كتابة الطرف الأيسر لنحصل على صيغة التوافيق. التعريف المنهجي للتوافيق كما هو موضح هنا؛ حيث ﻥﻕﺭ يساوي مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﺭ مضروبًا في مضروب ﺭ.
وتمثل التوافيق ﻥﻕﺭ عدد الطرق المختلفة لاختيار عدد ﺭ من العناصر من إجمالي عدد ﻥ من العناصر المختلفة؛ حيث لا يهم ترتيب العناصر ﺭ. وسنتناول الآن بعض الأمثلة التي توضح ذلك.
أي مما يلي يساوي ٤١ ﻕ خمسة؟ هل هو (أ) ٤١ ﻝ خمسة مقسومًا على مضروب خمسة، أم (ب) ٤١ ﻝ خمسة مقسومًا على خمسة، أم (ج) ٤١ ﻝ خمسة مضروبًا في مضروب خمسة، أم (د) ٤١ ﻝ خمسة مضروبًا في خمسة؟
سنبدأ بتذكر صيغتي التباديل والتوافيق. التباديل ﻥﻝﺭ تساوي مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﺭ. والتوافيق ﻥﻕﺭ تساوي مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﺭ مضروبًا في مضروب ﺭ. بدمج هاتين الصيغتين، نجد أن ﻥﻕﺭ يساوي ﻥﻝﺭ مقسومًا على مضروب ﺭ. في هذا السؤال، ﻥ يساوي ٤١، وﺭ يساوي خمسة. يعني هذا أن ٤١ ﻕ خمسة يساوي ٤١ ﻝ خمسة مقسومًا على مضروب خمسة. إذن، الإجابة الصحيحة هي الخيار (أ).
في المثال التالي، علينا حساب قيمة أحد التوافيق.
احسب ٢٣ ﻕ ١٩.
للإجابة عن هذا السؤال، نبدأ بتذكر صيغة التوافيق. ﻥﻕﺭ يساوي مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﺭ مضروبًا في مضروب ﺭ. في هذا السؤال، ﻥ يساوي ٢٣، وﺭ يساوي ١٩. إذن، ٢٣ ﻕ ١٩ يساوي مضروب ٢٣ مقسومًا على مضروب ٢٣ ناقص ١٩ مضروبًا في مضروب ١٩. يمكن تبسيط المقام إلى مضروب أربعة مضروبًا في مضروب ١٩. ويمكننا إعادة كتابة البسط على الصورة: ٢٣ في ٢٢ في ٢١ في ٢٠ في مضروب ١٩. بقسمة البسط والمقام على مضروب ١٩، نحصل على:٢٣ في ٢٢ في ٢١ في ٢٠ مقسومًا على مضروب أربعة.
بكتابة مضروب أربعة على الصورة: أربعة في ثلاثة في اثنين في واحد، يمكننا تبسيط العوامل كما هو موضح. وهذا يعطينا: ٢٣ في ١١ في سبعة في خمسة، وهو ما يساوي ٨٨٥٥. إذن، ٢٣ ﻕ ١٩ يساوي ٨٨٥٥.
في المثال التالي، سنتناول مسألة على العد تتضمن استخدام التوافيق.
كم مجموعة مكونة من ثلاث بطاقات يمكن اختيارها من مجموعة بطاقات تتكون من ٥٢ بطاقة؟
نبدأ بتذكر أن التوافيق ﻥﻕﺭ تمثل عدد الطرق المختلفة لاختيار عدد ﺭ من العناصر من إجمالي عدد ﻥ من العناصر المختلفة. ويمكن حساب ذلك عن طريق قسمة مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ﺭ مضروبًا في مضروب ﺭ. في هذا السؤال، لدينا مجموعة بطاقات تتكون من ٥٢ بطاقة، أي إن ﻥ يساوي ٥٢، ونريد اختيار ثلاث بطاقات منها، أي إن ﺭ يساوي ثلاثة. يعني هذا أنه علينا حساب ٥٢ ﻕ ثلاثة، وهو ما يساوي مضروب ٥٢ مقسومًا على مضروب ٤٩ مضروبًا في مضروب ثلاثة.
باستخدام معرفتنا بالمضروبات، نحن نعلم أنه يمكن إعادة كتابة مضروب ٥٢ على الصورة: ٥٢ في ٥١ في ٥٠ في مضروب ٤٩. وبهذا، يمكننا حذف مضروب ٤٩ من البسط والمقام. مضروب ثلاثة يساوي ثلاثة في اثنين في واحد. يمكننا بعد ذلك أن نختصر بالقسمة على العاملين ثلاثة واثنين، كما هو موضح. وبذلك، نجد أن ٢٦ في ١٧ في ٥٠ يساوي ٢٢١٠٠. وبما أن ٥٢ ﻕ ثلاثة يساوي ٢٢١٠٠، فهذا هو عدد المجموعات المكونة من ثلاث بطاقات التي يمكن اختيارها من مجموعة بطاقات تتكون من ٥٢ بطاقة.
في المثال الأخير، سنتناول كيف نحدد البارامترات المجهولة في التوافيق.
إذا كان ﻥﻕ ثلاثة يساوي ١٢٠، فأوجد قيمة ﻥ.
دعونا نبدأ بتذكر صيغة التوافيق. ﻥﻕﺭ يساوي مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﺭ مضروبًا في مضروب ﺭ. في هذا السؤال، نعلم أن ﺭ يساوي ثلاثة، وﻥﻕ ثلاثة يساوي ١٢٠. وبالتعويض بهاتين القيمتين في الصيغة، يصبح لدينا: مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ثلاثة مضروبًا في مضروب ثلاثة يساوي ١٢٠. وباستخدام حقيقة أن مضروب ثلاثة يساوي ستة، فإن ضرب طرفي المعادلة في مضروب ثلاثة يعطينا: مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ثلاثة يساوي ٧٢٠.
يمكننا إعادة كتابة مضروب ﻥ كما هو موضح. بعد ذلك، يمكننا قسمة بسط الطرف الأيمن ومقامه على مضروب ﻥ ناقص ثلاثة. وهذا يعطينا المعادلة: ﻥ مضروبًا في ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﻥ ناقص اثنين يساوي ٧٢٠. بذلك، نجد أن حاصل ضرب ثلاثة أعداد صحيحة متتالية يساوي ٧٢٠. يمكننا إيجاد قيمة ﻥ باستخدام أسلوب التجربة والتحسين. لكن يمكننا أيضًا استخدام حقيقة أنه إذا كان ﻥ أكبر من اثنين، فإن حاصل ضرب هذه الأعداد الصحيحة الثلاثة يكون أكبر من ﻥ ناقص اثنين تكعيب وأقل من ﻥ تكعيب. في هذا السؤال، نجد أن ٧٢٠ أكبر من ﻥ ناقص اثنين تكعيب وأقل من ﻥ تكعيب. يمكننا بعد ذلك أخذ الجذر التكعيبي لكل جزء من المتباينة.
بالتقريب إلى أقرب منزلتين عشريتين، فإن الجذر التكعيبي لـ ٧٢٠ يساوي ٨٫٩٦. ومن ثم، فإن هذه القيمة أكبر من ﻥ ناقص اثنين وأقل من ﻥ. بحل جزأي هذه المتباينة، نجد أن ﻥ يجب أن يكون أقل من ١٠٫٩٦، وأكبر من ٨٫٩٦. يعني هذا أن لدينا قيمتين ممكنتين لـ ﻥ وهما: تسعة أو ١٠. عند التعويض بـ ﻥ يساوي تسعة في الطرف الأيمن من المعادلة، نحصل على: تسعة في ثمانية في سبعة. هذا يساوي ٥٠٤، وهو غير صحيح لأن الطرف الأيسر يساوي ٧٢٠. وعندما يكون ﻥ مساويًا لـ ١٠، نحصل على:١٠ في تسعة في ثمانية. وهذا يساوي ٧٢٠. وهكذا، يمكننا استنتاج أنه إذا كان ﻥﻕ ثلاثة يساوي ١٢٠، فإن ﻥ يساوي ١٠.
دعونا نختتم هذا الفيديو بتلخيص النقاط الرئيسية. تمثل التوافيق ﻥﻕﺭ عدد الطرق المختلفة لاختيار عدد ﺭ من العناصر من إجمالي عدد ﻥ من العناصر المختلفة. وعند التعامل مع التوافيق، لا يهم الترتيب. تمثل التباديل ﻥﻝﺭ عدد الطرق المختلفة لترتيب عدد ﺭ من العناصر من إجمالي عدد ﻥ من العناصر. ولكن هذه المرة، يكون ترتيب العناصر ﺭ مهمًّا. عرفنا أن ﻥﻕﺭ يساوي مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﺭ مضروبًا في مضروب ﺭ. وعرفنا أيضًا أن ﻥﻝﺭ يساوي مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﺭ.
يقودنا هذا إلى حقيقة أن عدد التوافيق يساوي عدد التباديل مقسومًا على مضروب ﺭ. وعلى الرغم من أننا لم نتناول ذلك في هذا الفيديو، فإن التوافيق ﻥﻕﺭ تحقق المتطابقة: ﻥﻕﺭ يساوي ﻥﻕﻥ ناقص ﺭ. على سبيل المثال، ١٢ ﻕ ثلاثة يساوي ١٢ ﻕ تسعة؛ لأن ١٢ ناقص ثلاثة يساوي تسعة.
