نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﺹ يساوي سالب اثنين في جتا ﺱ ناقص سبعة مضروبًا في ثمانية في جا ﺱ زائد ١٩، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ عند ﺱ يساوي 𝜋.
يطلب منا السؤال إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ عند ﺱ يساوي 𝜋. ويمكننا أن نلاحظ أن ﺹ معطى لنا على صورة حاصل ضرب دالتين. لذا، سنشتق باستخدام قاعدة الضرب للاشتقاق، والتي تنص على أنه إذا كان لدينا الدالتان ﻉ وﻕ، فإن مشتقة ﻉ في ﻕ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ زائد ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ. إذن لتطبيق قاعدة الضرب على ﺹ، سنجعل ﻉ يساوي سالب اثنين في جتا ﺱ ناقص سبعة وﻕ يساوي ثمانية في جا ﺱ زائد ١٩.
ولتطبيق قاعدة الضرب، علينا إيجاد تعبيرين لـ ﺩﻉ على ﺩﺱ وﺩﻕ على ﺩﺱ. سنبدأ بـ ﺩﻉ على ﺩﺱ. أي إننا سنبدأ بمشتقة سالب اثنين في جتا ﺱ ناقص سبعة بالنسبة إلى ﺱ. سنشتق حدًّا بحد. نتذكر أنه لأي ثابت ﺃ، فإن مشتقة ﺃ في جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب ﺃ في جا ﺱ. نستنتج من ذلك أن مشتقة سالب اثنين في جتا ﺱ يساوي سالب واحد في سالب اثنين في جا ﺱ. ونحن نعرف أن مشتقة الثابت سالب سبعة تساوي صفرًا.
يمكننا تبسيط سالب واحد في سالب اثنين في جا ﺱ لتصبح اثنين جا ﺱ فقط. نريد فعل شيء مشابه لإيجاد ﺩﻕ على ﺩﺱ. وهي مشتقة ثمانية في جا ﺱ زائد ١٩ بالنسبة إلى ﺱ. مرة أخرى، نريد الاشتقاق حدًّا بحد. نذكر أنه لأي ثابت ﺃ، فإن مشتقة ﺃ في جا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺃ في جتا ﺱ.
إذن، يمكننا اشتقاق ثمانية في جا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ لنحصل على ثمانية في جتا ﺱ. و١٩ ثابت؛ ومن ثم، فإن مشتقته تساوي صفرًا. بهذا أصبحنا مستعدين لإيجاد تعبير لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ باستخدام قاعدة الضرب. لدينا ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ زائد ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ. بالتعويض في التعبيرات التي لدينا عن ﻉ وﻕ وﺩﻉ على ﺩﺱ وﺩﻕ على ﺩﺱ، سنحصل على أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ثمانية جا ﺱ زائد ١٩ مضروبًا في اثنين جا ﺱ زائد سالب اثنين في جتا ﺱ ناقص سبعة مضروبًا في ثمانية جتا ﺱ.
وقد نرغب في تبسيط هذا التعبير. لكن، تذكر أن السؤال يطلب منا فقط إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ عند ﺱ يساوي 𝜋. إذن يمكننا التعويض بـ ﺱ يساوي 𝜋 مباشرة في هذا التعبير. بالتعويض بـ ﺱ يساوي 𝜋 في هذا التعبير، نجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ عند 𝜋 يساوي ثمانية جا 𝜋 زائد ١٩ مضروبًا في اثنين جا 𝜋 زائد سالب اثنين جتا 𝜋 ناقص سبعة في ثمانية جتا 𝜋.
ويمكننا إيجاد قيمة هذا التعبير. نعلم أن جا 𝜋 يساوي صفرًا، وأن جتا 𝜋 يساوي سالب واحد. إذن في الحد الأول، سنضرب في صفر. من ثم، ستكون قيمة الحد الأول كلها تساوي صفرًا. في الحد الثاني، لدينا سالب اثنين مضروبًا في سالب واحد يساوي اثنين. بعد ذلك، سنطرح سبعة منه، وسنضرب هذا في ثمانية في سالب واحد، وهو ما يساوي سالب ثمانية. ويمكننا حساب ذلك لنحصل على سالب خمسة مضروبًا في سالب ثمانية، وهو ما يساوي ٤٠.
وبذلك، نكون قد أوضحنا أنه إذا كان ﺹ يساوي سالب اثنين في جتا ﺱ ناقص سبعة مضروبًا في ثمانية في جا ﺱ زائد ١٩، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ عند ﺱ يساوي 𝜋 يساوي ٤٠.
