فيديو الدرس: الدائرة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نتعرف على الأجزاء الأساسية في الدائرة؛ مثل: نصف القطر والوتر والقطر، وكيف نستخدم خصائصها في حل المسائل. إن الدائرة، التي لا تعد مضلعًا لأنها ليست لها أحرف مستقيمة، هي شكل أحادي الجانب ثنائي الأبعاد. ولها مركز يشار إليه عادة بالحرف ﻡ. جميع النقاط على الدائرة نفسها، أي خط المنحنى هذا، تقع على بعد مسافة متساوية من هذا المركز. بعبارة أخرى، تكون الخطوط المستقيمة التي تربط المركز بهذه النقاط متساوية في الطول. لنبدأ بتناول بعض الأجزاء الأساسية الأخرى في الدائرة.

سنحدد كل جزء من أجزاء الدائرة. لدينا بعض المصطلحات. لدينا نصف القطر، والقطر، والمحيط، والوتر، والمماس، والقوس، والقطاع الدائري، والقطعة الصغرى، والقطعة الكبرى.

هيا نتناول هذه المصطلحات واحدًا تلو الآخر ونعرفها. نبدأ بنصف القطر. نصف القطر هو أي خط مستقيم يصل النقطة التي تقع في مركز الدائرة بأي نقطة على المحيط. إذا نظرنا إلى الدائرة الموجودة بالأسفل، فسنلاحظ أنه لدينا هنا نصف قطر. وفي الواقع، يوجد نصف قطر في الدائرة الموجودة بالأعلى أيضًا. تذكر أن نصف القطر هو الخط المستقيم الذي يصل بين النقطة الموجودة في المركز وأي نقطة على المحيط. ولهذا السبب، يمكننا رسم عدد لا نهائي من أنصاف الأقطار في الدائرتين لدينا.

ننتقل بعد ذلك إلى القطر. يرتبط القطر ارتباطًا وثيقًا بنصف القطر. ولكن يمكن تحديد القطر من خلال توصيل النقاط الموجودة على الجوانب المتقابلة للدائرة باستخدام خط مستقيم. ويجب أن يمر هذا المستقيم عبر المركز. ومن ثم، إذا نظرنا إلى الدائرة الأولى، فسنلاحظ أن لدينا قطرًا. ننتقل بعد ذلك إلى محيط الدائرة. المحيط هو الحد الخارجي الذي يحيط بالدائرة. إنه الجزء الخارجي منها. وعليه، فإننا نسمي خط المنحنى الذي يحيط بالدائرة في الشكل العلوي بالمحيط.

ننتقل بعد ذلك إلى الوتر. الوتر هو أي خط مستقيم يصل بين نقطتين على محيط الدائرة. لاحظ أننا قد حددنا الوتر في الدائرة الأولى على أنه قطر. لكن في الدائرة الثانية، لدينا وتر. ماذا عن المماس؟ مماس الدائرة هو خط مستقيم يمس الدائرة عند نقطة واحدة فقط. لدينا هنا خط مستقيم واحد فقط. إنه هذا الخط الذي يقع خارج الدائرة. إذن، هذا هو المماس. المصطلح التالي هو القوس. يمثل قوس الدائرة في الأساس جزءًا من محيطها. وهو هذا الجزء هنا.

لدينا بعد ذلك القطاع. وهو جزء من الدائرة يشبه قليلًا قطعة من الكعك. يمثل القطاع هذا الجزء هنا، أي هذا الشكل المحدد بالكامل. وأخيرًا، لدينا القطعة الصغرى والقطعة الكبرى. القطعة الصغرى هي جزء من الدائرة يشبه قليلًا قطعة من البرتقالة. وهي هذا الجزء هنا. لدينا الشكل بالكامل، ونحصل على القطعة الصغرى عن طريق تقسيم الدائرة باستخدام وتر. يترتب على ذلك أن القطعة الكبرى هي الجزء المتبقي من الدائرة. أي هذا الجزء.

يجب أن نعرف كل جزء من أجزاء الدائرة جيدًا. سنعرف بعد ذلك كيف يمكننا استخدام بعض خصائص أجزاء الدوائر لحل المسائل.

هل جميع أنصاف أقطار الدائرة متساوية في الطول؟

أنصاف الأقطار هي صيغة الجمع لنصف القطر. نصف قطر الدائرة هو أي خط مستقيم يصل بين مركز الدائرة وأي نقطة على محيطها. لذا، إذا كان لدينا دائرة مركزها ﻡ، فيكون لدينا نصف قطر هنا. وهو يصل مركز الدائرة بنقطة على محيطها. ويمكن أن يكون لدينا نصف قطر هنا أو هنا. لاحظ أنه بما أن الخط يبدأ في كل مرة من مركز الدائرة وينتهي عند المحيط، يجب أن يكون طول هذا الخط مساويًا لطول هذا الخط وهذا الخط أيضًا. وبذلك، يمكننا الإجابة بنعم؛ جميع أنصاف أقطار الدائرة متساوية في الطول.

في الواقع، هذه حقيقة مفيدة جدًّا. فهي تعني أنه يمكننا حل المسائل التي تتضمن زوايا في دائرة من خلال تكوين مثلثات متساوية الساقين باستخدام أي نصفي قطر.

هل القطر أطول وتر في الدائرة؟

تذكر أن الوتر هو خط مستقيم يصل بين نقطة على محيط الدائرة ونقطة أخرى. لذا، إذا كان لدينا دائرة مركزها ﻡ، فيكون لدينا وتر هنا أو هنا أو هنا. يمكننا رسم عدد لا نهائي من الأوتار. لاحظ أنه لرسم الوتر الأطول، وهو أطول خط مستقيم يصل بين نقطتين على المحيط، علينا إيجاد الجزء الأكبر من الدائرة.

يجب أن يمر هذا المستقيم عبر مركز الدائرة. لكننا نعلم بالطبع أن القطر هو الخط المستقيم الذي يمر عبر مركز الدائرة ويصل بين نقطتين على محيطها. وهذا يعني أنه يمكننا الإجابة بنعم؛ القطر هو أطول وتر في الدائرة.

نتناول بعد ذلك العلاقة بين نصف قطر الدائرة وقطر الدائرة.

يعتبر طول نصف قطر الدائرة (فراغ) طول قطرها.

تذكر أن نصف قطر الدائرة هو الخط المستقيم الذي يصل بين النقطة الموجودة في مركز الدائرة وأي نقطة على محيط الدائرة. لذا، إذا كان لدينا دائرة مركزها ﻡ، فيكون لدينا نصف قطر هنا. ماذا عن القطر؟ يمر القطر أيضًا عبر مركز الدائرة. لكنه خط مستقيم يصل بين نقطتين على المحيط. إذن، قطر هذه الدائرة هو هذا المستقيم.

لكن إذا نظرنا جيدًا إلى القطر، فسنلاحظ أنه يمكننا تكوين نصف قطر ثم نصف قطر آخر. وهذا يعني أن طول قطر الدائرة لا بد أن يساوي ضعف طول نصف القطر. إذن، يمكننا القول إن طول نصف قطر الدائرة يساوي نصف طول قطرها.

سنتناول الآن كيفية استخدام هذه الخصائص في حل المسائل المتعلقة بالدوائر.

إذا كان طولا قطري الدائرتين ﻡ وﻥ هما: سنتيمتران وستة سنتيمترات على الترتيب، فأوجد طول القطعة المستقيمة ﻡﻥ.

موضحة أمامنا القطعة المستقيمة ﻡﻥ. وهي خط مستقيم واحد. إذا نظرنا جيدًا، فسنلاحظ أن كل جزء من الخط المستقيم يتكون من خلال توصيل النقطة الموجودة في مركز كل دائرة بنقطة أخرى على محيط الدائرة. وهذا يعني أن هذا الجزء الأول من القطعة المستقيمة هو نصف القطر ﻡ. نصف قطر الدائرة هو القطعة المستقيمة التي تصل نقطة على محيط الدائرة بمركزها. وبالمثل، الجزء الثاني من القطعة المستقيمة هو نصف القطر ﻥ للدائرة. يعني هذا أن طول القطعة المستقيمة ﻡﻥ يساوي مجموع هاتين القطعتين المستقيمتين. أي إنه يساوي طول نصف القطر ﻡ زائد طول نصف القطر ﻥ.

تتمثل المشكلة في أنه ليس لدينا أي معلومات عن نصفي قطر الدائرتين. ولكننا نعلم أن طولي قطري الدائرتين هما: سنتيمتران وستة سنتيمترات؛ على الترتيب. نحن نعرف أن طول قطر الدائرة لا بد أن يساوي ضعف طول نصف القطر. إذن، يمكننا القول إن هذا يعني أن طول نصف القطر لا بد أن يساوي نصف طول القطر. وبالطبع، لإيجاد نصف أي عدد، فإننا نقسمه على اثنين. وهو ما يعني أن نصف القطر ﻡ يساوي اثنين مقسومًا على اثنين، وهو ما يساوي سنتيمترًا واحدًا.

وبالمثل، نقسم طول قطر الدائرة ﻥ على اثنين. هذا يساوي ستة على اثنين، وهو ما يعطينا ثلاثة سنتيمترات. طول ﻡﻥ يساوي مجموع هذين الطولين. أي واحدًا زائد ثلاثة، وهو ما يساوي أربعة، أو أربعة سنتيمترات. وعليه، فإن طول القطعة المستقيمة ﻡﻥ يساوي أربعة سنتيمترات.

هيا نحل مسألة أخرى.

في الشكل، ﻡﺃ يساوي ٣٤ سنتيمترًا. أوجد طول ﺟﻫ.

لدينا جزء من دائرة وبعض المعلومات عن طول الخط ﻡﺃ. الخط ﻡﺃ هو هذا الخط. لنفترض أن لدينا دائرة كاملة. وعندئذ، نجد أن ﻡﺃ هو نصف القطر. فهو الخط الذي يصل بين المركز ونقطة على محيط الدائرة. وفي الواقع، لدينا نصف قطر هنا. وهذا الخط هو نصف قطر أيضًا. علمنا أن ﻡﺃ، أي نصف قطر الدائرة، يساوي ٣٤ سنتيمترًا. إذن، كل خط من هذه الخطوط التي أضفناها يجب أن يساوي ٣٤ سنتيمترًا.

إذا وصلنا ﻡ بـ ﺩ لرسم القطعة المستقيمة ﻡﺩ، فسنلاحظ أن هذه القطعة هي أيضًا نصف قطر الدائرة. إذن، فإن ﻡﺩ يجب أن يساوي ٣٤ سنتيمترًا. قد تعتقد أنه عليك استخدام شيء ما مثل نظرية فيثاغورس. ولكن ليس عليك ذلك، فإذا نظرنا جيدًا، فسنجد أن الشكل ﻡﺟﺩﻫ هو مستطيل. ونحن نعلم أن أقطار المستطيل متساوية في الطول. هذا يعني أن طول ﺟﻫ، وهو قطر أيضًا، يجب أن يساوي طول ﻡﺩ. ولقد توصلنا إلى أن طول ﻡﺩ يساوي ٣٤ سنتيمترًا. وهو ما يعني أن طول ﺟﻫ يساوي ٣٤ سنتيمترًا أيضًا.

في هذا الفيديو، عرفنا أن الأجزاء الأساسية في الدائرة هي: نصف القطر، والقطر، والمحيط، والوتر، والمماس، والقوس، والقطعة الصغرى، والقطعة الكبرى، والقطاع الدائري. عرفنا أن جميع أنصاف أقطار الدائرة متساوية في الطول، وطول نصف القطر يساوي نصف طول القطر، والقطر هو أطول وتر في الدائرة. كما عرفنا أيضًا أن هذه الخصائص يمكن أن تساعدنا في حل المسائل المتعلقة بالدوائر.