تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو الدرس: الفائدة المركبة الرياضيات

سوف نتعلم الآن كيف نحل مسائل الفائدة المركبة التي يكون فيها معدل الفائدة السنوي مركبًا أكثر من مرة سنويًّا، لذا سنستخدم الصيغة ﺟ = [المبلغ الابتدائي] ∗ [١ + (ﺭ‏/‏١٠٠)‏/‏ﻥ]^(ﺱ ∗ ﻥ)، حيث ﺱ هو عدد السنين، وﺭ هو معدل الفائدة السنوي.

٢٠:٣٢

‏نسخة الفيديو النصية

قبل أن تشاهد هذا الفيديو، لا بد أن تكون على دراية بالفعل بالنمو الأسي والمسائل التي تكون فيها الفائدة مركبة مرة واحدة سنويًّا. سنلقي نظرة على الحالات التي تكون فيها الفائدة مركبة عدة مرات في عام واحد. حسنًا، تذكر أولًا أنه يمكننا حساب قيمة استثمار ما، تكون فائدته مركبة مرة واحدة فقط سنويًّا، من خلال تطبيق معرفتنا بالنمو الأسي.

على سبيل المثال، أنا أستثمر ٥٠٠٠ دولار في حساب استثماري بنسبة فائدة ثلاثة بالمائة، مركبة سنويًّا. إذا تركنا المبلغ لمدة سبعة أعوام، فماذا ستكون قيمته؟

حسنًا، إننا نبدأ بمبلغ ٥٠٠٠ دولار. ونضيف فائدة بنسبة ثلاثة بالمائة كل عام. سنفعل ذلك لمدة سبعة أعوام. ولكي نضيف ثلاثة بالمائة إلى قيمة ما، فإننا نبدأ بـ ١٠٠ بالمائة ثم نضيف ثلاثة بالمائة. إننا نحاول إذن في كل سنة إيجاد ١٠٣ بالمائة من المبلغ الذي كان لدينا في بداية تلك السنة. ولإجراء ذلك، فإننا نضرب الرصيد في ١٠٣ على ١٠٠. ١٠٣ على ١٠٠ يساوي ١٫٠٣. إذن، المضاعف لدينا هو ١٫٠٣.

دعونا الآن نعرف بعض المتغيرات. إذا افترضنا أن ﺟ هو قيمة المبلغ المستثمر، وﻥ هو عدد السنين التي استثمرنا خلالها، فإن ﺟ في هذه المسألة يساوي، بصفة عامة، ٥٠٠٠ في ١٫٠٣ أس ﻥ. إذن، ٥٠٠٠ هو المبلغ الابتدائي المستثمر. ١٫٠٣ هو المضاعف الذي سنضيف من خلاله ثلاثة بالمائة كل عام. وﻥ هو عدد السنين. وﺟ هو قيمة الاستثمار.

حسنًا، نحن نبحث عن الحالة الخاصة التي نستثمر فيها لمدة سبعة أعوام، إذن ﻥ يساوي سبعة. وبإدخال هذه القيم إلى الآلة الحاسبة، ثم تقريب الإجابة إلى أقرب منزلتين عشريتين، لأنها قيمة نقدية، نحصل على ٦١٤٩ دولارًا و٣٧ سنتًا.

والآن، سنلقي نظرة أكثر تدقيقًا على كيفية حسابنا هذا المضاعف عندما أضفنا ثلاثة بالمائة. عند إضافة ثلاثة بالمائة، فإننا نبدأ بـ ١٠٠ بالمائة ونضيف ثلاثة بالمائة، وهو ما يعني أننا نحسب نسبة ١٠٣ بالمائة من المبلغ. وقلنا إن هذا يعني أن المضاعف يساوي ١٠٣ على ١٠٠، وهو ما يساوي ١٫٠٣.

حسنًا، لنفترض أن ﺭ هو معدل الفائدة، أي إننا نفكر في الحالة العامة بدلًا من الحالة الخاصة لدينا؛ أي معدل الفائدة ثلاثة بالمائة. والآن، سنبدأ بنسبة ١٠٠ بالمائة ونضيف ﺭ بالمائة. وعليه، سنوجد ١٠٠ زائد ﺭ بالمائة. إذن، المضاعف يساوي ١٠٠ زائد ﺭ على ١٠٠. ويمكننا تقسيم هذه العملية الحسابية بحيث يصبح لدينا كسران منفصلان. إذن، ١٠٠ زائد ﺭ الكل على ١٠٠ يساوي ١٠٠ على ١٠٠ زائد ﺭ على ١٠٠. وبالطبع، ١٠٠ على ١٠٠ يساوي واحدًا. إذن، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة واحد زائد ﺭ على ١٠٠.

حسنًا، أصبحت لدينا الآن صيغة عامة للمضاعف، وذلك إذا كان لدينا معدل فائدة سنوي هو ﺭ بالمائة، وكنا نحسب فائدة مركبة مرة واحدة في السنة. إذن لدينا الآن صيغة عامة. قيمة أي استثمار تساوي المبلغ الابتدائي المستثمر مضروبًا في واحد زائد معدل الفائدة على ١٠٠ الكل أس ﻥ.

حسنًا، هذا رائع! لكن في عالم المال، عادة ما تقدم الشركات استثمارات بفائدة مركبة أكثر من مرة واحدة سنويًّا؛ فقد تكون ربع سنوية على سبيل المثال. أي كل ثلاثة أشهر أو أربع مرات في السنة، ويمكن أن تكون الفائدة مركبة شهريًّا أو حتى يوميًّا. في الواقع، يمكن حتى للبعض أن يقدم معدلات فائدة مركبة مستمرة؛ أي بعدد لا نهائي من المرات في السنة. ولكننا سنتحدث عن هذا في فيديو آخر. دعونا الآن نلق نظرة على الحالات التي يكون فيها معدل الفائدة سنويًّا، ولكنه يتراكب عدد ﺱ من المرات في العام.

سنوضح الآن ما تشير إليه الحروف التي سنستخدمها لتمثيل أشياء مختلفة. حسنًا، لدينا ﺃ، وهو المبلغ الأصلي المستثمر. ذلك هو المبلغ الابتدائي المستثمر. ويطلق عليه البعض اسم المبلغ الأصلي أو المبلغ الأصلي المستثمر. ‏ﺭ هو معدل الفائدة السنوية. ويكون في صورة نسبة مئوية. لدينا بعد ذلك ﺱ، وهو عدد الفترات المركبة في السنة. على سبيل المثال، إذا كان لدينا معدل فائدة مركبة أسبوعي، فسيكون لدينا ٥٢ فترة؛ إذن ﺱ سيساوي ٥٢. إذا كنا نفعل ذلك شهريًّا، فهذا يعني ١٢ شهرًا في السنة؛ إذن ﺱ سيساوي ١٢، وهكذا.

‏ﻥ هو عدد السنين التي سنستثمر فيها هذا المبلغ. وﺟ هو قيمة الاستثمار. لدينا الآن صيغة عامة لقيمة الاستثمار الموجود لدينا؛ حيث يتم تراكب فائدة هذه القيمة عدد ﺱ من المرات خلال العام. والصيغة هي ﺟ يساوي ﺃ مضروبًا في واحد زائد ﺭ على ١٠٠ الكل على ﺱ الكل أس ﻥ في ﺱ. سنرى ذلك الآن بشكل عملي.

يوفر حساب استثمار معدلًا سنويًّا للفائدة بنسبة خمسة بالمائة مركبة شهريًّا. استثمرت سارة ٦٠٠٠ دولار في هذا الحساب. ما المبلغ الذي سيكون لديها في الحساب بعد سبع سنوات؟ قارن هذا بالمبلغ الذي كانت ستحصل عليه لو كانت الفائدة مركبة مرة واحدة فقط في السنة.

حسنًا، دعونا نحدد المعلومات المهمة هنا. معدل الفائدة السنوية هو خمسة بالمائة. والفائدة مركبة شهريًّا، إذن هذا يعني أن ﺱ يساوي ١٢. سيكون لدينا قيمة مركبة ١٢ مرة لكل عام. لقد استثمرت ٦٠٠٠ دولار في الحساب. ومدة الاستثمار هي سبع سنوات. إذن، صيغة القيمة النهائية هي ﺟ يساوي ﺃ في واحد زائد ﺭ على ١٠٠ الكل على ﺱ الكل أس ﻥ في ﺱ.

لنفكر إذن في ذلك. ‏ﺱ يساوي ١٢؛ أي إن الفائدة كانت مركبة شهريًّا. إذن، هذا يعني ١٢ مرة في السنة. ‏ﺭ يساوي خمسة؛ أي إن معدل الفائدة هو خمسة بالمائة سنويًّا. وﻥ يساوي سبعة؛ لأننا نتحدث عن سبعة أعوام. والمبلغ الأصلي، أو الابتدائي، المستثمر هو ٦٠٠٠ دولار.

حسنًا، سنعوض عن كل تلك المتغيرات في الصيغة بالأعداد التي كتبناها للتو، لدينا إذن ﺟ؛ القيمة النهائية، يساوي ٦٠٠٠ مضروبًا في واحد زائد خمسة على ١٠٠ الكل مقسوم على ١٢ الكل أس سبعة في ١٢. بإدخال كل ذلك على الآلة الحاسبة، ثم تقريب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين لأننا نتحدث عن نقود، نحصل على ٨٥٠٨ دولارات و٢٢ سنتًا. إذن، مع مبلغ الفائدة المركبة شهريًّا، نحصل على ٨٥٠٨ دولارات و٢٢ سنتًا في الحساب. الآن، علينا المقارنة بين ذلك والمبلغ الذي سنحصل عليه إذا كانت الفائدة مركبة سنويًّا.

باستخدام صيغة الفائدة المركبة سنويًّا، يظل لدينا المبلغ الأصلي وهو ٦٠٠٠ دولار. والمضاعف واحد زائد خمسة على ١٠٠ يساوي ١٫٠٥؛ حيث نضيف خمسة بالمائة عن كل عام. وسنفعل ذلك في نهاية العام. وهو ما نفعله هنا سبع مرات، إذن الأس هنا هو سبعة. إذا أدخلنا ذلك على الآلة الحاسبة، فسنحصل على ٨٤٤٢ دولارًا و٦٠ سنتًا تقريبًا، لأقرب منزلتين عشريتين.

إذن، بمقارنة هذا المبلغ بالمبلغ الذي كانت ستحصل عليه لو كانت الفائدة مركبة شهريًّا، فسنجد أنها ستحصل على ٦٥ دولارًا و٦٢ سنتًا أكثر مما كانت ستحصل عليه مقابل فائدة مركبة مرة واحدة فقط في السنة. هذا هو الفرق بين هذين المبلغين. تجدر الإشارة هنا إلى أن عدد مرات تراكب الفائدة يمكن أن يحدث فرقًا كبيرًا في المبلغ الذي تحصل عليه من مدخراتك. إذن، الأمر يستحق التحقق بالتأكيد.

حسنًا، دعونا نتناول سؤالًا أخيرًا صعبًا نوعًا ما.

مع سارة ١٠٠٠٠٠ دولار تريد استثمارها لمدة خمس سنوات. تحتاج إلى أن يكون المبلغ بعد الاستثمار ١٢٠٠٠٠ دولار. إذا كان الحساب الذي تريد أن تستثمر فيه ذا فائدة مركبة سنويًّا فقط، فما أقل معدل فائدة تحتاج إليه لكي تصل إلى المبلغ الذي تريد ادخاره؟ أيضًا، إذا كانت الفائدة مركبة أسبوعيًّا، بدلًا من سنويًّا، فما معدل الفائدة المطلوب عندئذ؟ قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

حسنًا. هيا نحدد بعض المعلومات المهمة. لدينا مبلغ ١٠٠٠٠٠ دولار. سنستثمره لمدة خمس سنوات. والقيمة المطلوبة هي ١٢٠٠٠٠ دولار. والآن، علينا إيجاد معدل الفائدة الذي سيحقق ذلك. لكن في الواقع علينا أن نفعل ذلك مرتين. أولًا، علينا فعل ذلك عندما تكون الفائدة مركبة مرة واحدة فقط سنويًّا. وثانيًا، سنفعل ذلك عندما تكون الفائدة مركبة أسبوعيًّا. سنطلق على هذين الجزأين (أ) و(ب). سنستخدم (أ) عندما تكون الفائدة مركبة سنويًّا. و(ب) عندما تكون الفائدة مركبة أسبوعيًّا.

حسنًا، الصيغة التي سنستخدمها في الحالة الأولى هي؛ القيمة النهائية تساوي المبلغ الأصلي الذي نستثمره مضروبًا في المضاعف أس ﻥ، وتذكر أن المضاعف هو معدل الفائدة مقسومًا على ١٠٠ ومضافًا إليه واحد، وﻥ هو عدد الأعوام التي نستثمر خلالها المبلغ. نحن نعرف قيم ﺟ وﺃ وﻥ، ونريد إيجاد قيمة ﺭ. إذن، سنعوض عن ﺟ؛ وهو المبلغ النهائي، بـ ١٢٠٠٠٠، وعن ﺃ؛ المبلغ الأساسي، بـ ١٠٠٠٠٠، وعن ﻥ؛ عدد الأعوام، بخمسة. ثم نعيد ترتيب ذلك لإيجاد قيمة ﺭ.

هذه هي المعادلة التي وضعت فيها تلك القيم. إذا قسمنا طرفي المعادلة على ١٠٠٠٠٠، فسيصبح لدينا في الطرف الأيمن ١٢٠٠٠٠ على ١٠٠٠٠٠، وهو ما يساوي ١٫٢. وفي الطرف الأيسر، لدينا ١٠٠٠٠٠ مضروبًا في واحد زائد ﺭ على ١٠٠ الكل أس خمسة مقسومًا على ١٠٠٠٠٠. إذن تحذف الـ ١٠٠٠٠٠، ليتبقى لدينا واحد زائد ﺭ على ١٠٠ أس خمسة. والآن، إذا أخذنا الجذر الخامس لكلا الطرفين، فسيكون لدينا واحد زائد ﺭ على ١٠٠ في الطرف الأيسر، وهو ما سيمكننا من إعادة ترتيب ذلك وجعل ﺭ المتغير التابع.

هذا هو ما سنفعله. لدينا في الطرف الأيمن من المعادلة الجذر الخامس لـ ١٫٢. لن أحسب قيمة ذلك الآن. سنحتفظ بذلك حتى النهاية ونضعه على الآلة الحاسبة. وفي الطرف الأيسر، لدينا الجذر الخامس لقيمة ما أس خمسة. هذا سيعطينا تلك القيمة وحدها. وهي واحد زائد ﺭ على ١٠٠. والآن، إذا طرحنا واحدًا من طرفي هذه المعادلة، فسنجد أن لدينا في الطرف الأيمن الجذر الخامس لـ ١٫٢ ناقص واحد. وفي الطرف الأيسر، واحد زائد ﺭ على ١٠٠ ناقص واحد يساوي ﺭ على ١٠٠.

حسنًا، لقد أوشكنا على الانتهاء. كل ما علينا فعله الآن هو ضرب طرفي المعادلة في ١٠٠، وبذلك نحصل على تعبير لقيمة ﺭ. ‏ﺭ يساوي ١٠٠ في الجذر الخامس لـ ١٫٢ ناقص واحد. وعندما نضع ذلك على الآلة الحاسبة، ونقربه لأقرب منزلتين عشريتين، كما هو موضح في السؤال، نجد أن ﺭ يساوي ٣٫٧١. حسنًا، تذكر أن ﺭ هو معدل الفائدة بالنسبة المئوية. إذن، إجابة الجزء (أ) هي أنه إذا كان لديها حساب فائدته مركبة سنويًّا، فإنها ستحتاج إلى الحصول على معدل فائدة ٣٫٧١ بالمائة أو أكثر لكي تصل مدخراتها إلى ١٢٠٠٠٠ دولار.

حسنًا، علينا إجراء العملية الحسابية مرة أخرى، ولكن باستخدام صيغة مختلفة لحساب الفائدة المركبة أسبوعيًّا. عدد مرات التراكب التي تحدث سنويًّا هو ٥٢، إذن ﺱ يساوي ٥٢. وتظل القيمة الابتدائية كما هي، والقيمة المطلوبة عند نهاية المدة كما هي، ولدينا نفس عدد السنين، وهو خمسة. إذن، بالتعويض بهذه القيم في المعادلة، نجد لدينا القيمة المطلوبة؛ وهي ١٢٠٠٠٠ دولار، تساوي المبلغ الابتدائي؛ ١٠٠٠٠٠ دولار، مضروبًا في واحد زائد ﺭ — وهو القيمة المجهولة التي نحاول إيجادها — على ١٠٠ مقسومًا على عدد الفترات في السنة؛ وهو ٥٢، الكل أس خمس سنوات في ٥٢ فترة.

حسنًا، مرة أخرى، سنقسم طرفي المعادلة على ١٠٠٠٠٠ وسنحل ذلك تدريجيًّا حتى يصبح لدينا تعبير لـ ﺭ. الطرف الأيمن مقسومًا على ١٠٠٠٠٠ يعطينا ١٫٢ مرة أخرى. ويمكن حذف ١٠٠٠٠٠ من الطرف الأيسر، وهو بالطبع، الهدف من قسمة الطرفين على ١٠٠٠٠٠. وأس القوس هنا خمسة في ٥٢، ما يساوي ٢٦٠. وعليه، يصبح الأس في الطرف الأيسر ٢٦٠. سنأخذ إذن الجذر ٢٦٠ لطرفي المعادلة. مرة أخرى، لن نفعل ذلك على الآلة الحاسبة الآن. سنتركه بهذه الصورة ثم نجري العملية الحسابية في النهاية.

إذن في الطرف الأيمن، يصبح لدينا الجذر ٢٦٠ لـ ١٫٢. وفي الطرف الأيسر، الجذر ٢٦٠ لمقدار ما أس ٢٦٠، وهو ما يساوي ذلك المقدار وحده. ومن ثم، يصبح لدينا واحد زائد ﺭ على ١٠٠ مقسوم على ٥٢. والآن، يمكننا طرح واحد من كلا الطرفين، ما يعني أن لدينا الآن الجذر ٢٦٠ لـ ١٫٢ ناقص واحد في الطرف الأيمن. وفي الطرف الأيسر، لدينا ﺭ على ١٠٠ الكل على ٥٢. والآن، سنضرب كلا الطرفين في ٥٢ لتبسيط الطرف الأيسر. لقد اقتربنا من الانتهاء. كل ما علينا فعله هو ضرب كلا الطرفين في ١٠٠ لنحصل على تعبير لـ ﺭ.

ما علينا فعله الآن هو كتابة هذا السطر القصير على الآلة الحاسبة وتقريبه لأقرب منزلتين عشريتين، وهو ما يعطينا ٣٫٦٥ بالمائة. إذن، إذا حصلت سارة على حساب بفائدة مركبة سنويًّا، وتريد أن تحصل في النهاية على ١٢٠٠٠٠ دولار، فيجب أن يكون معدل الفائدة ٣٫٧١ بالمائة. لكن إذا تمكنت من إيجاد حساب بفائدة مركبة أسبوعيًّا، فسيكون معدل الفائدة ٣٫٦٥ بالمائة فقط. وذلك أقل قليلًا.

الشيء الذي علينا ملاحظته هنا هو أن النظر إلى معدل الفائدة الرئيسي ليس كافيًا بالضرورة لمعرفة كيفية عمل هذا الحساب. لا بد أن تعرف إذا ما كانت الفائدة مركبة أسبوعيًّا أو يوميًّا أو كل ساعة أو شهريًّا أو سنويًّا. فهذا سيحدث فارقًا في مقدار الفائدة التي يتم احتسابها على نقودك.

حسنًا، تلخيصًا لما تناولناه هنا، لقد استخدمنا هذه الصيغة لإيجاد قيمة الاستثمار عندما تكون الفائدة مركبة أكثر من مرة سنويًّا. ‏ﺱ هو عدد مرات تراكب الفائدة في العام. وعليه، إذا كانت الفائدة مركبة شهريًّا، فإن ﺱ يساوي ١٢. وإذا كانت مركبة أسبوعيًّا، فسنجد أن ﺱ يساوي ٥٢. وإذا كانت مركبة يوميًّا، فسيساوي ٣٦٥. وعرفنا أيضًا أنه في بعض الأحيان يتعين عليك إعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد المجهول الناقص. وفي المثال الأخير، كان علينا إيجاد معدل الفائدة السنوية، وتطلب ذلك الكثير من عمليات إعادة الترتيب لإيجاد قيمة ﺭ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.