نسخة الفيديو النصية
رسمت عدة متجهات بنفس مقياس المسطرة الموضح في الشكل. طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي سنتيمترًا واحدًا. يمثل المتجه الأحمر محصلة المتجهين الأزرق والأخضر. ما طول المتجه المحصل، مقيسًا لأقرب سنتيمتر؟
حسنًا، في هذا السؤال، لدينا تمثيل بياني مرسوم بمقياس رسم وبه ثلاثة متجهات. ونعلم من المعطيات أن المتجه الأحمر هو محصلة المتجهين الأزرق والأخضر. كما نعلم أن طول ضلع كل مربع في هذا التمثيل البياني يساوي سنتيمترًا واحدًا، والمطلوب منا هو إيجاد طول المتجه المحصل. دعونا نتذكر أن المتجه المحصل لمتجهين هو المتجه الذي نوجده عن طريق جمع هذين المتجهين معًا، وأنه يمكن جمع متجهين من خلال رسمهما بطريقة الرأس للذيل. تذكر أن ذيل المتجه هو نقطة بدايته، ورأسه هو النقطة التي يمتد أو يشير إليها. إذن فرسم متجهين بطريقة الرأس للذيل يعني رسم المتجه الثاني بحيث يكون ذيله عند رأس المتجه الأول هكذا.
بعد ذلك، يمكننا إيجاد مجموع هذين المتجهين، أي المتجه المحصل، عن طريق رسم سهم يبدأ من ذيل المتجه الأول ويمتد إلى رأس المتجه الثاني. إذن في هذا المثال، هذا السهم الأزرق الذي رسمناه للتو على الشكل هو المتجه المحصل. والآن بعد أن عرفنا المقصود بالمتجه المحصل، فلنعد إلى السؤال. نعلم من المعطيات أن المتجه الأحمر هو محصلة المتجهين الأزرق والأخضر. وإذا نظرنا إلى الشكل، فسنجد أن المتجهين الأزرق والأخضر مرسومان بطريقة الرأس للذيل، وهذا يعني أن المتجه الأخضر مرسوم بحيث يبدأ ذيله عند رأس المتجه الأزرق.
وبالنظر إلى المتجه الأحمر، سنجد أنه مرسوم بحيث يوجد ذيله عند ذيل المتجه الأول، وهو المتجه الأزرق، ورأسه عند رأس المتجه الثاني، وهو المتجه الأخضر. هذا يعني أن المتجه الأحمر هو بالفعل محصلة المتجهين الأزرق والأخضر. في هذا السؤال، المتجه الأزرق هو متجه أفقي تمامًا، والمتجه الأخضر هو متجه رأسي تمامًا. وهذا يعني أننا نعرف أن قياس الزاوية المحصورة بين هذين المتجهين يساوي 90 درجة. بعبارة أخرى، يمكننا القول إن المتجهات الثلاثة في الشكل تكون مثلثًا قائم الزاوية يمثل فيه المتجه المحصل الأحمر الوتر. وبما أن المطلوب منا في السؤال هو إيجاد طول المتجه المحصل، فهذا يعني أن علينا إيجاد طول وتر هذا المثلث.
بما أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية، دعونا نتذكر نظرية فيثاغورس. إذا رمزنا إلى أطوال أضلاع المثلث بالرموز 𝑎، و𝑏، و𝑐، حيث 𝑐 هو الوتر، فإن نظرية فيثاغورس تنص على أن 𝑐 تربيع يساوي 𝑎 تربيع زائد 𝑏 تربيع. للإجابة عن هذا السؤال، سنحاول إيجاد طول الوتر أو قيمة 𝑐. لذا، دعونا نأخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة لجعل 𝑐 في طرف بمفرده. بأخذ الجذر التربيعي، نجد أن 𝑐 يساوي الجذر التربيعي لـ 𝑎 تربيع زائد 𝑏 تربيع. وهذا يعني أنه لإيجاد قيمة 𝑐، علينا معرفة قيمتي 𝑎 و𝑏. تذكر أن 𝑎 هو طول المتجه الأزرق في الشكل، و𝑏 هو طول المتجه الأخضر.
لحسن الحظ لدينا مقياس في الشكل، والمتجهان 𝑎 و𝑏 يمتدان على طول خطوط الشبكة. وتشير المعطيات إلى أن طول ضلع كل مربع في الشبكة يساوي سنتيمترًا واحدًا. في الشكل نفسه، لدينا مسطرة توضح هذه الأجزاء التي تساوي سنتيمترًا واحدًا في الاتجاه الرأسي. وبالطبع، بما أننا نعلم من المعطيات أن لدينا شبكة رسم، فإذا كان كل مربع يحتل مسافة سنتيمتر واحد في الاتجاه الرأسي، فلا بد أن يحتل كل مربع أيضًا مسافة سنتيمتر واحد في الاتجاه الأفقي. إذن فقيمة المسافة التي يحتلها المربع الواحد في الاتجاه الأفقي أو الرأسي تساوي سنتيمترًا واحدًا.
هذا يعني أنه لإيجاد قيمتي 𝑎 و𝑏، كل ما علينا فعله هو البدء من ذيل كلا المتجهين ثم عد المربعات حتى نصل إلى رأس هذا المتجه. وهذا العدد من المربعات يعطينا طول المتجه مقيسًا بالسنتيمتر. لنبدأ بالمتجه الأزرق. نبدأ من ذيل هذا المتجه ونعد المربعات حتى نصل إلى رأسه. وفي هذه الحالة، نجد أن عدد المربعات يساوي ثمانية. إذن يمكننا القول إن طول المتجه الأزرق أو قيمة 𝑎 تساوي ثمانية سنتيمترات.
والآن، بالنظر إلى المتجه الأخضر، سنبدأ من ذيله، الذي يوجد عند رأس المتجه الأزرق، ونحسب عدد المربعات حتى نصل إلى الرأس. في هذه الحالة، نجد أن عدد المربعات يساوي 10. وبذلك، يمكننا القول إن طول المتجه الأخضر أو قيمة 𝑏 تساوي 10 سنتيمترات. والآن بما أن لدينا قيمتي 𝑎 و𝑏، يمكننا التعويض بهما في هذه المعادلة لحساب قيمة 𝑐. إذا عوضنا عن 𝑎 بثمانية سنتيمترات، وعن 𝑏 بـ 10 سنتيمترات، فسنجد أن 𝑐 يساوي الجذر التربيعي لثمانية سنتيمترات مربعة زائد 10 سنتيمترات مربعة.
والآن علينا الانتباه جيدًا إلى الوحدات. فعندما نحسب مربع كمية بوحدة السنتيمتر، نحصل على كمية بوحدة السنتيمتر المربع. في هذه الحالة، إذا حسبنا مربع ثمانية سنتيمترات، نحصل على 64 سنتيمترًا مربعًا. وإذا حسبنا مربع 10 سنتيمترات، نحصل على 100 سنتيمتر مربع. وبجمع 64 سنتيمترًا مربعًا و100 سنتيمتر مربع، نحصل على 164 سنتيمترًا مربعًا. إذن، كل ما تبقى لنا فعله لإيجاد قيمة 𝑐 هو إيجاد قيمة الجذر التربيعي.
إذا أخذنا الجذر التربيعي لكمية بوحدة السنتيمتر المربع، فسنحصل على ناتج بوحدة السنتيمتر. وهذا منطقي بالطبع؛ لأن 𝑐 لا بد أن تقاس بوحدة مسافة. فهي تعبر عن طول ما. وهو طول وتر هذا المثلث، أو طول هذا المتجه الأحمر في الشكل. إذا أخذنا الجذر التربيعي لـ 164، فسنحصل على 12.806 وهكذا مع توالي الأرقام العشرية. هذا الناتج الذي يعبر عن قيمة 𝑐 هو طول المتجه المحصل المطلوب منا إيجاد قيمته. لكن إذا نظرنا مرة أخرى إلى السؤال، فسنجد أنه يطلب منا تقريب الإجابة لأقرب سنتيمتر. وبتقريب 12.806، نحصل على 13. وهكذا فإن 𝑐 يساوي 13 سنتيمترًا.
إذن إجابة هذا السؤال هي أن طول المتجه المحصل، مقيسًا لأقرب سنتيمتر، يساوي 13 سنتيمترًا.
