فيديو السؤال: تحديد المتتابعة التي ليست حسابية ولا هندسية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أي المتتابعات الآتية لا تصنف متتابعة حسابية ولا متتابعة هندسية؟ أ: واحد على ثلاثة، سالب واحد على ثلاثة، سالب واحد، سالب خمسة على ثلاثة، وهكذا. ب: واحد على اثنين، واحد على أربعة، واحد على ثمانية، واحد على ١٦، وهكذا. ج: واحد على اثنين، واحد، ثلاثة على اثنين، اثنان، وهكذا. د: واحد، واحد على اثنين، صفر، سالب واحد على اثنين، وهكذا. هـ: واحد على اثنين، واحد على ثلاثة، واحد على أربعة، واحد على خمسة، وهكذا.

في البداية، علينا أن نذكر أنفسنا بالمقصود بكل من المتتابعة الحسابية والمتتابعة الهندسية. المتتابعة الحسابية هي متتابعة يمكن الحصول على كل حد فيها بإضافة فرق مشترك، أو ما يسمى بأساس المتتابعة الحسابية، إلى الحد الذي يسبقه. بعبارة أخرى، إذا طرحنا الحد رقم ﻥ في المتتابعة من الحد رقم ﻥ زائد واحد؛ حيث ﻥ عدد طبيعي، فسنحصل دائمًا على الثابت ﺩ. أما المتتابعة الهندسية، فهي متتابعة يمكن الحصول على كل حد فيها بضرب الحد الذي يسبقه في نسبة مشتركة أو ما يسمى بأساس المتتابعة الهندسية. وللتعبير عن هذا رياضيًّا، يمكننا قول إنه إذا قسمنا الحد رقم ﻥ زائد واحد على الحد رقم ﻥ، لأي عدد طبيعي ﻥ، فسنحصل دائمًا على الثابت ﺭ.

في كل خيار من الخيارات المعطاة، لدينا أربعة حدود في المتتابعة، ويمكننا افتراض أن باقي الحدود تتبع نفس النمط. وأسهل طريقة لتصنيف الخيارات هي التحقق مما إذا كانت الحدود المعطاة في كل حالة تتوافق مع أي من القاعدتين الموضحتين على اليسار. لذا دعونا نبدأ بتناول الخيار أ.

لتسهيل الأمور، سنبدأ بتسمية هذه الحدود، ولتكن ﺡ واحدًا وﺡ اثنين وﺡ ثلاثة وﺡ أربعة. بعد ذلك، يمكننا التحقق مما إذا كانت المتتابعة حسابية أم لا بطرح كل حد من الحد الذي يليه ومعرفة هل الفرق متساو أم لا. ‏ﺡ اثنان ناقص ﺡ واحد يساوي سالب واحد على ثلاثة ناقص واحد على ثلاثة، أي سالب اثنين على ثلاثة. ‏ﺡ ثلاثة ناقص ﺡ اثنين يساوي سالب واحد ناقص سالب واحد على ثلاثة، أي سالب واحد زائد واحد على ثلاثة، وهذا يساوي سالب اثنين على ثلاثة أيضًا. وأخيرًا، نطرح ﺡ ثلاثة من ﺡ أربعة لكي نتأكد، وهذا يساوي سالب خمسة على ثلاثة ناقص سالب واحد؛ أي سالب اثنين على ثلاثة. نلاحظ هنا أن الفرق بين كل حدين متساو. وهذا يعني أن الحدود تحقق الشروط المطلوبة لتكون متتابعة حسابية. ومن ثم يمكننا استبعاد الخيار أ.

ننتقل بعد ذلك إلى الخيار ب. يمكننا تسمية الحدود ﺡ واحد وﺡ اثنين وﺡ ثلاثة وﺡ أربعة. وبنفس الطريقة التي استخدمناها من قبل، يمكننا التفكير في الفروق بين الحدود المتتالية لمعرفة هل المتتابعة حسابية أم لا. لكن بمجرد النظر إلى أول فرقين، سنلاحظ أنهما غير متساويين. في الواقع، القيمة المطلقة للفروق تتناقص. لذا دعونا نتحقق مما إذا كانت هذه متتابعة هندسية. وهذا يكون بحساب النسب المتتالية بين الحدود والمقارنة بينها، وأولها ﺡ اثنان على ﺡ واحد، وتساوي واحدًا على أربعة مقسومًا على واحد على اثنين. ولحساب ذلك، نضع العدد أربعة في المقام والعدد اثنين في البسط، وهذا يعطينا اثنين على أربعة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى واحد على اثنين.

لدينا بعد ذلك ﺡ ثلاثة على ﺡ اثنين، وهذا يساوي واحدًا على ثمانية مقسومًا على واحد على أربعة. وباتباع نفس الطريقة التي استخدمناها سابقًا، سنجد أن لدينا أربعة على ثمانية، وهو ما يساوي واحدًا على اثنين أيضًا. يمكننا المتابعة للتأكد من أننا سنحصل أيضًا على النسبة واحد على اثنين عند قسمة ﺡ أربعة على ﺡ ثلاثة. وبما أن النسبة بين الحدود المتتالية متساوية، فهذا يعني أن المتتابعة التي لدينا متتابعة هندسية. إذن، يمكننا استبعاد الخيار ب أيضًا.

والآن بعد أن تعرفنا على الخطوات العامة التي علينا اتباعها، دعونا نفكر في طريقة مختصرة للتعامل مع الخيارات المتبقية. في الخيار ج، لدينا الحدود واحد على اثنين، وواحد، وثلاثة على اثنين، واثنان. وبمجرد النظر، يمكننا ملاحظة أنه يمكننا الحصول على كل حد عن طريق الحد السابق له، وذلك بإضافة واحد على اثنين. وبما أن هناك فرقًا مشتركًا بين الحدود، فهذا يعني أن المتتابعة التي لدينا متتابعة حسابية. ويمكننا التحقق من ذلك أيضًا باستخدام الطريقة السابقة، وهي طرح كل حد من الحد الذي يليه في المتتابعة. وبناء على ذلك، يمكننا استبعاد الخيار ج.

والآن، دعونا نتناول الخيار د. إذا نظرنا إلى الحدود واحد وواحد على اثنين وصفر وسالب واحد على اثنين، فربما نلاحظ أن هذه المتتابعة تشبه المتتابعة السابقة بالفعل. الفرق أننا سنطرح في كل مرة واحدًا على اثنين بدلًا من إضافة واحد على اثنين. لكن يظل بإمكاننا قول إن هذه متتابعة حسابية؛ لأن الفرق بين الحدود المتتالية فيها متساو. ومن ثم يمكننا استبعاد هذا الخيار.

والآن، يمكننا توقع ألا تكون المتتابعة في الخيار الأخير متتابعة حسابية ولا هندسية، لكن دعونا نتحقق من ذلك للتأكيد. سنشير إلى الحدود بـ ﺡ واحد وحتى ﺡ أربعة. ولإيجاد الفرق المشترك، سنطبق الخطوات على الحدود الأربعة الأولى من الحدود المتتالية، بما أننا لا نتوقع أن تكون المتتابعة حسابية. ‏ﺡ اثنان ناقص ﺡ واحد يساوي واحدًا على ثلاثة ناقص واحد على اثنين. ويمكننا طرح هذين الكسرين بتوحيد مقاميهما. وبهذا يصبح لدينا اثنان على ستة ناقص ثلاثة على ستة، وهذا يساوي سالب واحد على ستة. بعد ذلك، لدينا ﺡ ثلاثة ناقص ﺡ اثنين، وهذا يعطينا واحدًا على أربعة ناقص واحد على ثلاثة، وهو ما يساوي ثلاثة على ١٢ ناقص أربعة على ١٢، أي سالب واحد على ١٢. حسنًا، نحن لسنا بحاجة إلى التحقق من الفرق الثالث، فمن الواضح هنا عدم وجود فرق مشترك بين الحدود المتتالية.

دعونا الآن نر إذا ما كانت الحدود لها خواص المتتابعة الهندسية أم لا. لدينا ﺡ اثنان على ﺡ واحد، وهذا يساوي واحدًا على ثلاثة مقسومًا على واحد على اثنين. وبنقل ثلاثة إلى المقام واثنين إلى البسط، يصبح لدينا اثنان على ثلاثة. أما النسبة الثانية فهي تساوي واحدًا على أربعة مقسومًا على واحد على ثلاثة، وهذا يعطينا ثلاثة على أربعة. وبما أن النسبة غير ثابتة بين الحدود المتتالية، فلا يمكن أن تكون المتتابعة التي لدينا متتابعة هندسية. إذن، بما أن هذه المتتابعة هي الوحيدة التي ليست حسابية ولا هندسية، يمكننا قول إن الإجابة هي الخيار هـ.