تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: نظرية الباقي

أحمد مدحت

يوضح الفيديو نظرية الباقي، وعملية التعويض التركيبي، وكيفية إيجاد قيمة دالة باستخدام التعويض التركيبي، وأمثلة توضيحية.

١١:٢٥

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن نظرية الباقي.

هنعرف في الفيديو ده نظرية الباقي. وكمان هنعرف التعويض التركيبي. وكمان هنعرف إزّاي نقدر نجيب قيمة دالة باستخدام التعويض التركيبي. لو عايزين نجيب باقي قسمة دالة كثيرة حدود، زيّ مثلًا الدالة د س اللي بتساوي سالب تلاتة س تربيع، زائد خمسة س، زائد أربعة، على الدالة س ناقص تلاتة. فإحنا عندنا طريقتين: الطريقة الأولى: هي القسمة المطوَّلة. والطريقة التانية: هي القسمة التركيبية. فهنستخدمهم علشان نجيب الباقي بتاع القسمة، زيّ ما هيظهر لنا. هنلاقي إن باقي القسمة اللي نتج من القسمة المطوَّلة هو سالب تمنية. وباقي القسمة اللي نتج من القسمة التركيبية برضو سالب تمنية.

بعد كده هنقارن ما بين باقي القسمة، واللي هو سالب تمنية، وقيمة الدالة د س عند س تساوي تلاتة. فهنبدأ نجيب قيمة دالة س لمّا س تساوي تلاتة. فإحنا عندنا الدالة الأصلية هي: د س تساوي سالب تلاتة س تربيع، زائد خمسة س، زائد أربعة. بعد كده هنعوّض بتلاتة بدل من س. فهيبقى عندنا دالة تلاتة تساوي سالب تلاتة في تلاتة تربيع، زائد خمسة في تلاتة، زائد أربعة. لمّا هنضرب، هنلاقي إن الدالة بتساوي سالب سبعة وعشرين، زائد خمستاشر، زائد أربعة. لمّا هنبسَّط، هنلاقي إن د تلاتة بتساوي سالب تمنية. يعني قيمة الدالة د س لمّا س تساوي تلاتة هيبقى سالب تمنية.

هنلاحظ إن القيمة بتاعة الدالة د س لمّا س تساوي تلاتة، هتساوي باقي القسمة بتاع كثيرة الحدود على س ناقص تلاتة. وده بيوضّح نظرية الباقي. فهنقلب الصفحة، ونشوف نظرية الباقي. بالنسبة لنظرية الباقي، فهي بتوضّح إن إحنا لمّا نقسم كثيرة حدود، زيّ مثلًا الدالة د س، على س ناقص أ، فباقي القسمة هيبقى ثابت. وبيساوي قيمة الدالة د س عند س تساوي أ. وبالتالي لمّا يبقى عندنا إن المقسوم هو د س، وناتج القسمة هو ر س، والمقسوم عليه هو س ناقص أ، والباقي هو د أ. فالمقسوم بيساوي ناتج القسمة في المقسوم عليه زائد الباقي. يعني د س تساوي ر س في، س ناقص أ، زائد د أ. بحيث إن ر س دي عبارة عن دالة كثيرة حدود درجتها بتقلّ بواحد عن درجة الدالة د س. وهي دي نظرية الباقي.

بعد كده هنشوف إيه هو التعويض التركيبي. لمّا نجيب قيمة دالة عند عدد، من خلال تطبيق نظرية الباقي واستخدام القسمة التركيبية، العملية دي بنسمّيها التعويض التركيبي. ودي بتبقى طريقة سهلة علشان نجيب قيم دوال كثيرات الحدود، وخصوصًا لمّا تبقى درجة كثيرة الحدود أكبر من الدرجة التانية.

هنشوف مثال نعرف بيه إزّاي نجيب قيمة دالة باستخدام التعويض التركيبي، بس في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة، هيظهر لنا المثال. عندنا في المثال: الدالة د س بتساوي تلاتة س أُس أربعة، ناقص اتنين س أُس تلاتة، زائد خمسة س، زائد اتنين. وعايزين نجيب د أربعة باستخدام التعويض التركيبي.

أول حاجة، من خلال نظرية الباقي، علشان نجيب د أربعة. يعني علشان نجيب قيمة الدالة د س لمّا س تساوي أربعة. فده هيساوي باقي قسمة كثيرة الحدود اللي عندنا على س ناقص أربعة. فهنستخدم القسمة التركيبية؛ علشان نقسم كثيرة الحدود: تلاتة س أُس أربعة، ناقص اتنين س أُس تلاتة، زائد خمسة س، زائد اتنين على س ناقص أربعة.

بالنسبة لكثيرة الحدود: تلاتة س أُس أربعة، ناقص اتنين س أُس تلاتة، زائد خمسة س، زائد اتنين، فهي مكتوبة على الصورة أو الصيغة القياسية. كمان هنلاقي إن ما فيش حدّ بيحتوي على س أُس اتنين. وبالتالي لمّا نيجي نكتب المعاملات في مكانها، هنحطّ صفر مكان المعامل بتاع س أُس اتنين. وده علشان نحافظ على مكانه. فهنكتب المعاملات. بعد كده هنكتب الثابت في الصندوق. والثابت ده هيكون أربعة. بعد كده هنكتب التلاتة تحت الخطّ الأفقي، يعني هنا.

الخطوة اللي بعد كده إن إحنا هنضرب التلاتة في أربعة. وهنكتب الناتج بتاع الضرب تحت سالب اتنين. تلاتة في أربعة يساوي اتناشر. فهنكتبها هنا. بعد كده هنجمع سالب اتنين واتناشر. فسالب اتنين زائد اتناشر هيساوي عشرة. هنكتب العشرة هنا. بعد كده هنضرب العشرة دي في الأربعة. وهنكتب الناتج تحت صفر. عشرة في أربعة يساوي أربعين. فهنكتب أربعين تحت صفر. بعد كده هنجمع صفر وأربعين، فهو بيساوي أربعين. هنكتبه هنا. بعد كده هنضرب الأربعين في أربعة، والناتج بتاع الضرب هنكتبه تحت الخمسة. أربعين في أربعة بيساوي مية وستين. هنكتبه تحت الخمسة. يعني مية وستين هنكتبها تحت الخمسة. بعد كده هنجمع خمسة ومية وستين، فهنلاقي إن الناتج هو مية خمسة وستين. وهنكتبه هنا.

بعد كده هنضرب مية خمسة وستين في أربعة. هنلاقي ناتج الضرب بيساوي ستمية وستين. فهنكتبه تحت الاتنين. وهنجمع اتنين وستمية وستين، ونكتبه في خانة الباقي. فاتنين زائد ستمية وستين بيساوي ستمية اتنين وستين. فهنكتب ستمية اتنين وستين في خانة الباقي. معنى كده إن الباقي بتاع القسمة هو ستمية اتنين وستين. ده معناه إن إحنا لمّا هنستخدم التعويض التركيبي هتبقى د أربعة، واللي هي قيمة الدالة عند س تساوي أربعة، تساوي ستمية اتنين وستين.

نقدر نتأكّد من الحلّ بتاعنا من خلال استخدام التعويض المباشر. وده هيكون من خلال إن إحنا هنعوّض عن س بالعدد أربعة في دالة كثيرة الحدود. فهنكتب الدالة الأصلية مرة كمان. بعد كده هنعوّض بأربعة مكان س. فهيبقى عندنا د أربعة تساوي تلاتة في أربعة أُس أربعة، ناقص اتنين في أربعة أُس تلاتة، زائد خمسة في أربعة، زائد اتنين. يعني د أربعة تساوي سبعمية تمنية وستين، ناقص مية تمنية وعشرين، زائد عشرين، زائد اتنين. يعني تساوي ستمية اتنين وستين. هنلاحظ إن إحنا وصلنا لنفس الإجابة من خلال التعويض المباشر. كمان نقدر نستخدم التعويض التركيبي في الحالات اللي هيكون فيها حسابات التعويض المباشر صعبة ومعقَّدة.

هنقلب الصفحة، هيظهر لنا مثال. عندنا في المثال إن فيه صاحب بقالة قدّر أرباحه السنوية بالدالة ر س. اللي بتساوي اتنين من مية س أُس أربعة، ناقص اتنين وخمسين من مية س تكعيب، زائد أربعة وتلاتة من مية س تربيع، زائد تسعة من مية س، زائد سبعة وسبعين وأربعة وخمسين من مية. بحيث إن س دي هتمثّل عدد السنوات منذ العام ألف تسعمية ستة وتسعين. وَ ر س بتمثّل قيمة الأرباح بمئات الجنيهات. عايزين نعرف قيمة الأرباح في العام ألفين وستاشر.

في المثال ده، هنلاقي إن إحنا لمّا هنستخدم طريقة التعويض المباشر؛ علشان نحسب قيمة الأرباح، حساباته هتبقى معقَّدة. وبالتالي هنستخدم التعويض التركيبي؛ علشان نوجد قيمة الأرباح بسهولة. بالنسبة لعدد السنوات من عام ألف تسعمية ستة وتسعين لحدّ عام ألفين وستاشر، هنلاقيه عشرين سنة. معنى كده إن س هتساوي عشرين. وبالتالي لمّا هنيجي نقسم كثيرة الحدود دي، هنقسمها على س ناقص عشرين. وبالتالي هنجيب ناتج قسمة كثيرة الحدود: اتنين من مية س أُس أربعة، ناقص اتنين وخمسين من مية س تكعيب، زائد أربعة وتلاتة من مية س تربيع، زائد تسعة من مية س، زائد سبعة وسبعين وأربعة وخمسين من مية. على س ناقص عشرين، باستخدام القسمة التركيبية. هيظهر لنا ناتج القسمة بعد استخدام القسمة التركيبية.

بعد ما استخدمنا القسمة التركيبية، يهمّنا العدد اللي موجود في خانة الباقي، واللي هو ده. معنى كده إن باقي القسمة تقريبًا بيساوي سبعمية واحد وتلاتين وأربعة وتلاتين من مية. معنى كده لمّا هنستخدم التعويض التركيبي هتبقى قيمة الأرباح بمئات الجنيهات هي: سبعمية واحد وتلاتين وأربعة وتلاتين من مية تقريبًا. وبكده لمّا هنقدّر الأرباح بالجنيه، هتبقى تلاتة وسبعين ألف مية أربعة وتلاتين جنيه تقريبًا.

بكده هيبقى إحنا في الفيديو ده، عرفنا نظرية الباقي. واللي بتوضّح إن إحنا لمّا بنقسم كثيرة حدود، زيّ الدالة د س، على س ناقص أ، فالباقي بتاع القسمة بيكون ثابت. وبيساوي قيمة الدالة د س لمّا س تساوي أ. كمان عرفنا إزّاي نقدر نجيب قيمة دالة عند عدد باستخدام التعويض التركيبي. وده كان من خلال تطبيق نظرية الباقي. وكنا بنستخدم القسمة التركيبية. وكان الباقي اللي بينتج من القسمة التركيبية هو ده قيمة الدالة عند العدد اللي إحنا عايزينه.