نسخة الفيديو النصية
ﺱ متغير عشوائي طبيعي؛ حيث احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي 𝜇 ناقص ﻙ𝜎 وأقل من أو يساوي 𝜇 زائد ﻙ𝜎 يساوي ٠٫٨٥٥٨. أوجد قيمة ﻙ.
حسنًا، تذكر أن التمثيل البياني لمنحنى يمثل توزيعًا طبيعيًّا بمتوسط 𝜇 وانحراف معياري 𝜎 يكون متماثلًا حول المتوسط، والمساحة الكلية أسفل المنحنى تساوي ١٠٠ بالمائة أو واحدًا. دعونا الآن نكتب ما نعرفه عن المتغير العشوائي. تتمثل خطوتنا التالية عادة في إيجاد قيمة ﻱ عند 𝜇 زائد ﻙ𝜎 وعند 𝜇 ناقص ﻙ𝜎. وهذه فعليًّا طريقة لمعايرة البيانات لكي تتبع التوزيع الطبيعي المعياري.
بمجرد أن ننتهي من هذه الخطوة، يمكننا استخدام جدول واحد للتوزيع الطبيعي المعياري. ولا داعي أن نقلق كثيرًا لأننا لا نعلم حاليًّا قيمتي 𝜇 و𝜎. دعونا نعوض بقيمتي ﺱ في الصيغة لدينا ونر ما سيحدث. بالنسبة إلى قيمة ﺱ التي تساوي 𝜇 زائد ﻙ، نجد أن ﻱ يساوي 𝜇 زائد ﻙ𝜎 ناقص 𝜇 الكل على 𝜎. 𝜇 ناقص 𝜇 يساوي صفرًا. ومن ثم، يحذف هذان الحدان. ويتبقى لدينا ﻙ𝜎 الكل على 𝜎. يحذف الحدان 𝜎 بعد ذلك ويتبقى لدينا قيمة ﻱ التي تساوي ﻙ.
بالتعويض بالقيمة التالية، 𝜇 ناقص ﻙ𝜎، نحصل على التعبير الموضح. مرة أخرى، يحذف الحدان 𝜇 والحدان 𝜎 ويتبقى لدينا قيمة ﻱ التي تساوي سالب ﻙ. إذن نحن الآن نعلم أن احتمال أن يكون ﺹ أكبر من أو يساوي سالب ﻙ وأقل من أو يساوي ﻙ هو ٠٫٨٥٥٨. لكن علينا الانتباه هنا قليلًا؛ لأننا لا يمكننا إيجاد هذه القيمة في جدول التوزيع الطبيعي المعياري. عندما ننظر إلى قيمة ﻱ في الجدول، فسنجد أنها تشير إلى احتمال أن يكون ﺹ أقل من هذه القيمة. لكن في هذه الحالة، علينا إيجاد الاحتمال بين قيمتين لـ ﺹ.
وهنا، علينا بدلًا من ذلك تذكر أن المنحنى متماثل حول المتوسط. وبما أن ﻙ ثابت، فسنجد أن لدينا تماثلًا تامًّا هنا. ما سنفعله بدلًا من ذلك هو طرح الاحتمال المعطى من واحد صحيح. وهذا سيعطينا احتمال أن يكون ﺹ أكبر من ﻙ أو أصغر من سالب ﻙ. إذن المساحة التي تمثلها المنطقتان المظللتان باللون الوردي في المنحنى تساوي ٠٫١٤٤٢. بقسمة ذلك على اثنين، نجد أن احتمال أن يكون ﺹ أكبر من ﻙ هو ٠٫٠٧٢١.
إننا لا يمكننا إيجاد هذه القيمة في الجدول أيضًا. لكن إذا طرحنا ٠٫٠٧٢١ من واحد، فسنحصل على احتمال أن يكون ﺹ أصغر من أو يساوي ﻙ. وهذا يساوي ٠٫٩٢٧٩. هذا هو الاحتمال الذي سنبحث عنه في جدول التوزيع الطبيعي المعياري. وفي الواقع، القيمة ١٫٤٦ تعطينا هذا الاحتمال. هذا بدوره يعني أن احتمال أن يكون ﺹ أقل من أو يساوي ١٫٤٦ هو ٠٫٩٢٧٩. وقد أوضحنا أن ﻙ يساوي ١٫٤٦.
تذكر أنه عندما نتعامل عادة مع متغير عشوائي طبيعي، فإننا نقول على سبيل المثال احتمال أن يكون ﺹ أقل من ﻙ، وليس أقل من أو يساوي. لكن بما أن التوزيع الطبيعي هو توزيع متصل، فإن الفرق بينهما يكون ضئيلًا. إذن، يمكننا استخدام أقل من، أو أقل من أو يساوي، بالتبادل.
