تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: إيجاد قوة الأعداد المركبة على الصورة الأسية الرياضيات

إذا كان ﻉ = (الجذر التربيعي لـ (٣)‏/‏٢) − (٣‏/‏٢)ﺕ، فأوجد ﻉ^٥ على الصورة الأسية.

٠٥:٢٩

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﻉ يساوي الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين ناقص ثلاثة على اثنين ﺕ، فأوجد ﻉ أس خمسة على الصورة الأسية.

في هذا السؤال، لدينا عدد مركب ﻉ على الصورة الجبرية. وعلينا أن نوجد ﻉ أس خمسة، بحيث تكون الإجابة على الصورة الأسية. لفعل ذلك، دعونا نبدأ بتذكر ما نعنيه بالصورة الأسية لعدد مركب. هي الصورة ﻝ في ﻫ أس ﺕ𝜃؛ حيث ﻝ هو مقياس العدد المركب، و𝜃 هي سعته. علينا أن نكتب ﻉ أس خمسة بهذه الصورة. ولفعل ذلك، يمكننا تذكر أي نتيجة تتضمن قوى أسس صحيحة للأعداد المركبة على الصورة الأسية. نعلم أنه لأي قيمة صحيحة لـ ﻥ، فإن ﻝ في ﻫ أس ﺕ𝜃 الكل مرفوع للقوة ﻥ يساوي ﻝ أس ﻥ في ﻫ أس ﺕﻥ𝜃. هذا تطبيق لنظرية ديموافر؛ حيث ﻝﻫ أس ﺕ𝜃 عدد مركب معطى على الصورة الأسية.

وبما أن الأس خمسة عدد صحيح، فيمكننا استخدام ذلك للإجابة عن السؤال. كل ما علينا فعله هو كتابة ﻉ على الصورة الأسية. لكتابة عدد مركب على الصورة الأسية، علينا إيجاد مقياسه وسعته. دعونا نبدأ بإيجاد مقياس ﻉ. نتذكر أن مقياس العدد المركب هو الجذر التربيعي لمجموع مربعي جزأيه الحقيقي والتخيلي. ويمكننا إيجاد هاتين القيمتين من السؤال. الجزء الحقيقي من ﻉ يساوي جذر ثلاثة على اثنين، والجزء التخيلي من ﻉ يساوي سالب ثلاثة على اثنين. وعليه، فإن مقياس ﻉ يساوي الجذر التربيعي لجذر ثلاثة على اثنين الكل تربيع زائد سالب ثلاثة على اثنين الكل تربيع. يمكننا بعد ذلك تبسيط هذه القيمة. جذر ثلاثة على اثنين الكل تربيع يساوي ثلاثة أرباع، وسالب ثلاثة على اثنين الكل تربيع يساوي تسعة على أربعة. بعد ذلك، يمكننا إيجاد قيمة هذا التعبير. ثلاثة أرباع زائد تسعة أرباع يساوي ١٢ على أربعة، وهو ما يمكن تبسيطه ليصبح ثلاثة. إذن، مقياس ﻉ يساوي الجذر التربيعي لثلاثة.

وعليه، الجذر التربيعي لثلاثة هو قيمة ﻝ في الصورة الأسية لـ ﻉ. لكننا ما زلنا بحاجة إلى إيجاد سعة ﻉ. ولكي نوجد سعة ﻉ، علينا أولًا ملاحظة أن الجزء الحقيقي من ﻉ موجب، والجزء التخيلي من ﻉ سالب، وهو ما يوضح لنا أن ﻉ يقع في الربع الرابع في مخطط أرجاند. يتيح لنا ذلك إيجاد قيمة 𝜃، أو سعة ﻉ. فإننا نتذكر أنه بالنسبة لأي عدد مركب في الربع الأول أو الرابع، فإن قيمة السعة 𝜃 تساوي الدالة العكسية للظل للجزء التخيلي له على الجزء الحقيقي له. إذن، في هذه الحالة، فإن 𝜃 هي الدالة العكسية لـ ظا لسالب ثلاثة على اثنين مقسومًا على جذر ثلاثة على اثنين.

نريد إيجاد قيمة هذا التعبير. أولًا، يمكننا حذف العامل المشترك نصف في البسط والمقام. هذا يعطينا الدالة العكسية لـ ظا لـسالب ثلاثة على جذر ثلاثة. يمكننا تبسيط ذلك عن طريق إنطاق المقام. نحصل على الدالة العكسية لـ ظا لـسالب ثلاثة جذر ثلاثة على ثلاثة. بعد ذلك، نحذف العامل المشترك ثلاثة في البسط والمقام. فنحصل على الدالة العكسية لـ ظا لسالب جذر ثلاثة، التي يمكننا حسابها لتساوي سالب 𝜋 على ثلاثة. بذلك، نكون قد أوجدنا مقياس ﻉ وسعته. إذن، يمكننا استخدام ذلك لكتابة ﻉ على الصورة الأسية. ‏ﻉ يساوي جذر ثلاثة في ﻫ أس سالب ﺕ 𝜋 على ثلاثة.

الآن، نحن جاهزون لاستخدام النتيجة لإيجاد ﻉ أس خمسة. أولًا: نرفع طرفي هذا التعبير للقوة خمسة. بعد ذلك، بما أن قيمة الأس خمسة عدد صحيح، فيمكننا استخدام النتيجة لتوزيع الأس على القوسين. نحصل على جذر ثلاثة أس خمسة مضروبًا في ﻫ أس سالب ﺕ في خمسة 𝜋 على ثلاثة. يمكننا إيجاد قيمة هذا التعبير. أولًا: جذر ثلاثة أس خمسة يساوي جذر ثلاثة أس أربعة مضروبًا في جذر ثلاثة، ما يمكننا حسابه ليساوي تسعة جذر ثلاثة. وهذا يكفي للإجابة عن السؤال. لكن يمكننا تبسيط ذلك قليلًا. إذا أطلقنا على سعة هذا العدد 𝜃 واحد، فسنجد أنها معامل ﺕ في الصورة الأسية. وهي تساوي سالب خمسة 𝜋 على ثلاثة. لكن تذكر أنه يمكننا إضافة المضاعفات الصحيحة لاثنين 𝜋 وطرحها من السعة. وسنحصل على سعة مكافئة للعدد. هذا يعطينا 𝜋 على ثلاثة.

وبهذا نكون قد أوجدنا الصورة الأسية لـ ﻉ أس خمسة. فهي تساوي تسعة جذر ثلاثة مضروبًا في ﻫ أس 𝜋 على ثلاثة في ﺕ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.