فيديو الدرس: العد باستخدام التوافيق

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم التوافيق لحل مسائل العد. التوافيق هي إعادة تنظيم مجموعة من العناصر. على سبيل المثال، تخيل أن لدينا الحروف ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ. يمكننا تنظيم حرفين منها على الصورة ﺃﺏ، وﺏﺟ، وﺟﺩ، وهكذا. كل تنظيم هو مثال لواحدة من التوافيق. لكن في حالة التوافيق، يكون الترتيب غير مهم. ومن ثم، فإن التنظيم ﺃﺏ يعتبر هو نفسه التنظيم ﺏﺃ. أما إذا كان الترتيب مهمًّا بالفعل، فهذا يعني أننا نتحدث عن التباديل. ومن ثم، ستكون الصيغة مختلفة. ومن المهم جدًّا أن ننتبه إلى الفرق بين التوافيق والتباديل. مهمتنا الآن هي إيجاد طريقة لحساب ذلك. ولمساعدتنا في إيجاد صيغة، سنبدأ بتناول مثال.

طلب المعلم من منى أن تختار خمسة موضوعات من بين ثمانية موضوعات قدمت إليها. ما عدد المجموعات المختلفة المكونة من خمسة موضوعات التي يمكن أن تختارها؟

في هذا السؤال، نريد إيجاد عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار خمسة عناصر مختلفة من مجموعة مكونة من ثمانية عناصر. لا بد أننا أدركنا على الفور أن الترتيب ليس مهمًّا هنا. على سبيل المثال، لنفترض أن ثلاثة من الموضوعات هي الكسور والمنازل العشرية والنسب المئوية. بإمكانها اختيارها بالترتيب الآتي: الكسور ثم المنازل العشرية ثم النسب المئوية. وبإمكانها أيضًا البدء بالكسور ثم النسب المئوية ثم المنازل العشرية. في الواقع، ثمة ست طرق مختلفة يمكنها بها اختيار هذه الموضوعات. لكننا نلاحظ أن اختيار الكسور ثم المنازل العشرية ثم النسب المئوية سيكون مماثلًا تمامًا لاختيار المنازل العشرية ثم النسب المئوية ثم الكسور. عندما نريد اختيار عدد من العناصر من مجموعة أكبر ويكون الترتيب غير مهم، فإن هذه الاختيارات تعرف بالتوافيق.

والآن، لإيجاد عدد التوافيق، سوف نبدأ بالتفكير في التباديل. تحدث التباديل عندما يكون الترتيب مهمًّا. لذا، إذا فكرنا في المثال السابق، الذي نظمنا فيه الموضوعات الثلاثة، نجد أنه لم يكن هناك سوى واحدة من التوافيق ولكن هناك ستة تباديل مختلفة. ربما نتذكر أن ﻥﻝﺭ يساوي عدد الطرق التي يمكن بها اختيار عدد ﺭ من العناصر من بين عدد ﻥ من العناصر، ويكون الترتيب مهمًّا. هذا هو عدد التباديل. ونحسبه بإيجاد قيمة مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﺭ. لذلك، دعونا نبدأ بإيجاد عدد تباديل خمسة موضوعات من إجمالي ثمانية موضوعات. هذا يساوي ثمانية ﻝ خمسة. وهذا يساوي مضروب ثمانية مقسومًا على مضروب ثمانية ناقص خمسة، وهو ما يساوي ٦٧٢٠. إذن، لدينا ٦٧٢٠ تبديلًا.

لكننا نعلم أن الترتيب ليس مهمًّا. لذا، نحتاج إلى طريقة للتخلص من التباديل الزائدة. إذا عدنا إلى مجموعة الموضوعات الثلاثة السابقة لدينا، نلاحظ أن التباديل كانت ستة ﻝ ثلاثة. كانت هناك ستة تباديل. وللتخلص من التباديل الزائدة، نقسم على مضروب ثلاثة. مضروب ثلاثة يساوي ستة، وبذلك نحصل على ستة مقسومًا على ستة، وهو ما يساوي واحدًا. أما إذا اخترنا خمسة موضوعات من ثمانية، فيتعين علينا القسمة على مضروب خمسة. ولذلك، فإن العملية الحسابية التي يمكننا إجراؤها لإيجاد عدد التوافيق هي مضروب ثمانية مقسومًا على مضروب خمسة في مضروب ثمانية ناقص خمسة. وهذا يساوي ٥٦. وهذا يعطينا صيغة.

عند إيجاد التوافيق، نلاحظ أن عدد التوافيق أقل من عدد التباديل. للتخلص من عدد المرات الزائدة التي حسبنا فيها المجموعة نفسها من العناصر، فإننا نحتاج إلى قسمة عدد التباديل على مضروب ﺭ. عدد توافيق ﺭ من العناصر، المأخوذ من مجموعة ﻥ من العناصر يساوي ﻥﻕﺭ. وهذا يساوي ﻥﻝﺭ مقسومًا على مضروب ﺭ، وهو ما يمكن كتابته على صورة مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ.

الترميز ﻥﻕﺭ يمكن قراءته أحيانًا على الصورة ﻥ توافيق ﺭ، ويشار إليه أيضًا بمعامل ذات الحدين. وقد تراه مكتوبًا بأي من هذه الأشكال. شكل الترميز الذي ستختاره على تفضيلك الشخصي ومكان تواجدك في العالم أيضًا. في هذا الفيديو، سوف نستخدم بصفة أساسية هذا الشكل. دعونا الآن نتناول مثالًا يبين كيف يمكننا تطبيق هذه الصيغة.

كتب اسم كل طالب من أربعة طلاب على قطعة من الورق ووضعت في قبعة. إذا اختير اسمان اثنان عشوائيًّا من القبعة، فأوجد عدد جميع الاختيارات الممكنة للطالبين.

في هذا السؤال، نريد اختيار اسمين من مجموعة مكونة من أربعة أسماء. لذا، علينا أن نبدأ بالتفكير في التوافيق والتباديل. التوافيق هي طريقة يمكن من خلالها اختيار طرق تنظيم العناصر، ويكون فيها الترتيب غير مهم. على سبيل المثال، إذا كنا نختار من بين الحروف ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ، فإن الترتيب ﺃ وﺏ سيكون مماثلًا للترتيب ﺏ وﺃ. أما في حالة التباديل، فيكون الترتيب مهمًّا. وعليه، فإن الترتيب ﺃ وﺏ سيكون مختلفًا عن ﺏ وﺃ. دعونا نفكر في اختيار اسمين من قبعة. إذا اخترنا شريف ونادر، على سبيل المثال، يكون هذا مماثلًا تمامًا لاختيار نادر وشريف. فالترتيب ليس مهمًّا إذن. لذا، يمكننا ملاحظة أن هذا يشير إلى عدد التوافيق.

عدد توافيق ﺭ من العناصر، المأخوذ من مجموعة ﻥ من العناصر يساوي ﻥﻕﺭ. والصيغة هي مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ. إننا نختار اسمين من مجموعة مكونة من أربعة أسماء. لذلك، فإن عدد التوافيق يساوي أربعة ﻕ اثنين. وهذا يساوي مضروب أربعة مقسومًا على مضروب اثنين في مضروب أربعة ناقص اثنين. والآن، لاحظ أنه يمكننا استخدام الزر ‪nCr‬‏ في الآلة الحاسبة. ولكن في الواقع، هناك طريقة مختصرة بسيطة يمكنها مساعدتنا على حساب ذلك دون استخدام الآلة الحاسبة. نبدأ بإعادة كتابة مضروب أربعة ناقص اثنين على الصورة مضروب اثنين. بالطبع، مضروب أربعة يساوي أربعة في ثلاثة في اثنين في واحد، ويمكن إعادة كتابة هذا على الصورة أربعة في ثلاثة في مضروب اثنين.

والآن، نلاحظ أنه يمكننا قسمة كل من البسط والمقام على عامل مشترك وهو مضروب اثنين. في الواقع، مضروب اثنين يساوي اثنين، ولذلك يمكننا القسمة مرة أخرى على اثنين. وكما نلاحظ، أربعة توافيق اثنين يساوي اثنين في ثلاثة مقسومًا على واحد، وهو ما يساوي ستة. إذن، هناك ست طرق لاختيار اسمين من بين أربعة.

سنفكر الآن في كيف يمكننا تطبيق هذه الصيغة على مسألة تتضمن مجموعات.

افترض أن ﺱ مجموعة تحتوي على ﺱ، حيث ﺱ يساوي عددًا صحيحًا أكبر من أو يساوي ١٠، وأصغر من أو يساوي ١٦، وﺹ مجموعة تحتوي على العنصرين ﺃ وﺏ، حيث ﺃ وﺏ عنصران ينتميان إلى المجموعة ﺱ، وﺃ لا يساوي ﺏ. أوجد قيمة ﻥﺹ؛ حيث ﻥﺹ هو عدد العناصر في ‎ﺹ.

دعونا نبدأ بالنظر فيما يعنيه ترميز المجموعة هذا. المجموعة ﺱ تحتوي على العدد ﺱ، وهو عدد صحيح أكبر من أو يساوي ١٠ وأصغر من أو يساوي ١٦. وبذلك، يمكن إعادة كتابة ﺱ على صورة مجموعة تحتوي على العناصر ١٠ و١١ و١٢ و١٣ و١٤ و١٥ و١٦. بعد ذلك، لدينا المجموعة ﺹ. تحتوي المجموعة ﺹ على جميع توافيق العددين الصحيحين ﺃ وﺏ، حيث ﺃ لا يساوي ﺏ، لكن ﺃ وﺏ هما عنصران ينتميان إلى المجموعة ﺱ. لذلك، فالأمر أشبه بقائمة مكونة من أزواج من الأعداد، ونحتاج إلى إيجاد عدد الأزواج في تلك القائمة. ومن ثم، فإن ﻥﺹ هو عدد الطرق التي يمكن بها اختيار عنصرين من بين إجمالي سبعة عناصر. وذلك نظرًا لوجود سبعة عناصر في المجموعة ﺱ. وبما أن ﺃ لا يمكن أن يساوي ﺏ، فليس هناك تكرار.

وبالطبع اختيار ١٠ ثم ١١ سيكون مماثلًا لاختيار ١١ ثم ١٠. إذن، ما يعنينا هنا هو التوافيق. ‏ﻥﺹ يساوي سبعة توافيق اثنين. صيغة ﻥ توافيق ﺭ، أي عدد طرق اختيار عدد ﺭ من العناصر من مجموعة بها عدد ﻥ من العناصر، تساوي مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ. إذن، سبعة توافيق اثنين يساوي مضروب سبعة مقسومًا على مضروب اثنين في مضروب سبعة ناقص اثنين. الآن يمكننا كتابة مضروب سبعة ناقص اثنين على صورة مضروب خمسة. ويمكننا أيضًا كتابة البسط وهو مضروب سبعة على صورة سبعة في ستة في مضروب خمسة. ثم نقسم كلًّا من البسط والمقام على مضروب خمسة.

بما أن مضروب اثنين يساوي اثنين، يمكننا أيضًا أن نقسم كلًّا من البسط والمقام على اثنين. وبذلك يبسط سبعة توافيق اثنين إلى سبعة في ثلاثة مقسومًا على واحد وهو ما يساوي ٢١. إذن، ﻥﺹ، أي عدد الطرق لاختيار عنصرين غير متكررين من بين إجمالي سبعة عناصر حيث يكون الترتيب غير مهم، يساوي ٢١. يمكننا أيضًا تطبيق هذه الصيغة أكثر من مرة لمساعدتنا في حل مسائل العد.

فصل به ١٤ ولدًا و١٣ بنتًا. ما عدد الطرق التي يمكن بها اختيار فريق مكون من ثمانية أشخاص من الفصل؛ بحيث يكون كل أعضاء الفريق من نفس الجنس؟

يطلب منا السؤال اختيار فريق مكون من ثمانية أشخاص. ولكن لا بد أن يكون كل عضو في ذلك الفريق من الجنس نفسه. لذا، إما سنختار ثمانية أولاد من بين ١٤ ولدًا أو ثماني بنات من بين ١٣ بنتًا. علينا أن نسأل أنفسنا: هل الترتيب مهم؟ لا، فاختيار الولد ﺃ والولد ﺏ، على سبيل المثال، سيكون مماثلًا لاختيار الولد ﺏ والولد ﺃ. وعندما يكون الترتيب غير مهم، فهذا يعني أننا بصدد حساب التوافيق. ونقول إن عدد طرق اختيار عدد ﺭ من العناصر من مجموعة بها عدد ﻥ من العناصر يساوي ﻥ توافيق ﺭ. وهذا يساوي مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ.

لذا، سنبدأ بإجراء عمليتين حسابيتين مختلفتين. نريد إيجاد عدد طرق اختيار ثمانية أولاد من إجمالي ١٤ ولدًا. هذا يساوي ١٤ توافيق ثمانية. وبعد ذلك، سوف نوجد بصورة منفصلة عدد طرق اختيار ثماني بنات من إجمالي ١٣ بنتًا. هذا يساوي ١٣ توافيق ثمانية. ‏١٤ توافيق ثمانية يساوي مضروب ١٤ مقسومًا على مضروب ثمانية في مضروب ١٤ ناقص ثمانية. وإذا كتبنا هذا على الآلة الحاسبة أو استخدمنا زر التوافيق، نلاحظ أن ١٤ توافيق ثمانية يساوي ٣٠٠٣. بعد ذلك، نجد أن ١٣ توافيق ثمانية يساوي مضروب ١٣ مقسومًا على مضروب ثمانية في مضروب ١٣ ناقص ثمانية، وهو ما يساوي ١٢٨٧.

نحاول إيجاد عدد طرق اختيار ثمانية أولاد أو ثماني بنات. إذن، هذا يساوي مجموع الناتجين اللذين حصلنا عليهما من العمليتين الحسابيتين. وهذا يساوي ٣٠٠٣ زائد ١٢٨٧، وهو ما يساوي ٤٢٩٠. إذن، هناك ٤٢٩٠ طريقة يمكن بها اختيار فريق مكون من ثمانية أشخاص من الفصل بحيث يكون كل عضو في الفريق من الجنس نفسه.

في المثال الأخير، سنتناول مسألة علينا فيها إيجاد قيمة ﻥ عندما يكون لدينا إجمالي عدد التوافيق وقيمة ﺭ.

في إحدى الجامعات، كانت هناك ١٢٠ طريقة لاختيار ١١٩ طالبًا لحضور ندوة. أوجد عدد الطلاب في الجامعة.

دعونا نبدأ بافتراض أن ﻥ يمثل إجمالي عدد الطلاب في الجامعة. وﺭ يساوي ١١٩؛ نريد اختيار ١١٩ طالبًا من إجمالي العدد ﻥ. ونعلم من المعطيات أن هناك ١٢٠ طريقة للقيام بذلك. في هذه الحالة، الترتيب ليس مهمًّا. لذا، فإننا نتحدث عن التوافيق. هناك عدد ١٢٠ من التوافيق. والصيغة التي نستخدمها لحساب عدد التوافيق هي ﻥﻕﺭ يساوي مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ، حيث ﺭ هو عدد العناصر التي نريد اختيارها وﻥ هو إجمالي عدد العناصر التي يمكننا الاختيار من بينها. في هذا السؤال، نريد إيجاد عدد طرق اختيار ١١٩ طالبًا من بين مجموعة عدد عناصرها ﻥ. إذن، هذا يساوي ﻥ توافيق ١١٩. ووفقًا للصيغة لدينا، هذا يساوي مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ١١٩ في مضروب ﻥ ناقص ١١٩.

لكننا نعلم من المعطيات بالفعل أن هناك ١٢٠ طريقة لاختيار هؤلاء الطلاب. إذن، نحصل على ١٢٠ يساوي مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ١١٩ في مضروب ﻥ ناقص ١١٩. والآن، سنضرب طرفي المعادلة في مضروب ١١٩. إذن، يصبح الطرف الأيمن لدينا ١٢٠ في مضروب ١١٩. يمكننا أيضًا اعتبار أن ذلك يساوي مضروب ١٢٠. وفي الطرف الأيسر، يكون لدينا مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ١١٩. ولكن في الواقع، يمكننا تبسيط التعبير الذي في الطرف الأيسر قليلًا. إذا اعتبرنا أن مضروب ﻥ يساوي ﻥ في ﻥ ناقص واحد في ﻥ ناقص اثنين، وهكذا وصولًا إلى واحد، يمكننا إذن تبسيط هذا الكسر بقسمة كل من البسط والمقام على مضروب ﻥ ناقص ١١٩. وبهذا، يتبقى لدينا ﻥ في ﻥ ناقص واحد في ﻥ ناقص اثنين، وهكذا وصولًا إلى ﻥ ناقص ١١٧ في ﻥ ناقص ١١٨.

لقد قسمنا كلًّا من البسط والمقام على مضروب ﻥ ناقص ١١٩. ومن ثم، فإن أي حد يلي هذا الحد يختفي ببساطة. سنستخدم هذا الآن للمقارنة بين طرفي المعادلة السابقة. يمكننا القول إن ﻥ في ﻥ ناقص واحد في ﻥ ناقص اثنين، وهكذا وصولًا إلى ﻥ ناقص ١١٨، لا بد أن يساوي الطرف الأيمن هذا، أي ١٢٠ في مضروب ١١٩. والآن، يمكننا كتابة ذلك على صورة ١٢٠ في ١١٩ في ١١٨، وهكذا. علينا أن ننتبه هنا. في الطرف العددي من المعادلة، لدينا ١٢٠ حدًّا. وفي الطرف الجبري، أي الطرف الذي به حدود ﻥ، لدينا ١١٩ حدًّا. ولكن بالطبع، هذا يماثل ضرب ﻥ في ﻥ ناقص واحد في ﻥ ناقص اثنين، وهكذا وصولًا إلى ﻥ ناقص ١١٨، ثم ضرب ذلك في واحد.

والآن لدينا مقداران متساويان، ويحتوي كل منهما على حاصل ضرب ١٢٠ حدًّا. في كل طرف، لدينا ١١٩ حدًّا تتبع النمط نفسه، وهو عدد مضروب في عدد أقل منه بمقدار واحد مضروب في آخر أقل بمقدار واحد، وهكذا. وكل عدد مضروب في واحد. يمكننا الآن مساواة طرفي المعادلة. إذا تناولنا أكبر حد من كل طرف، يمكننا القول إن ﻥ يساوي حتمًا ١٢٠. لكن ليس من الضروري أن نختار هذا الحد تحديدًا. يمكننا اختيار أي حدين من طرفي المعادلة. فالحدان الأصغران التاليان من كل طرف هما ﻥ ناقص واحد و١١٩. عندما نساوي هذين الحدين، نحصل على ﻥ ناقص واحد يساوي ١١٩. وإذا أضفنا واحدًا إلى كلا الطرفين، نحصل على ﻥ يساوي ١٢٠. وحتى إذا تحركنا تنازليًّا وصولًا إلى الحدين ﻥ ناقص ١١٨ واثنين، فمن خلال مساواة الحدين، نحصل على ﻥ ناقص ١١٨ يساوي اثنين. ونضيف ١١٨ إلى كلا الطرفين لنحصل على ﻥ يساوي ١٢٠. وبذلك، يمكننا القول إن عدد الطلاب في الجامعة يساوي ١٢٠.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الدرس. في هذا الفيديو، تعلمنا أن التوافيق هي عدد طرق تنظيم عدد ﺭ من العناصر من مجموعة مكونة من ﻥ من العناصر. ويكون الترتيب غير مهم. وبالطبع، لا يكون هناك أي تكرار. يمكننا حساب عدد التوافيق، وهي عدد الطرق التي يمكن بها اختيار عدد ﺭ من العناصر من مجموعة بها عدد ﻥ من العناصر، من خلال حساب مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ. ولكن بالطبع، يختلف هذا الترميز باختلاف مكان تواجدك في العالم.