نسخة الفيديو النصية
تحركت سيارة لأسفل تل يميل على الأفقي بزاوية 𝜃؛ حيث جا 𝜃 يساوي أربعة على ٧٥. عندما توقف محركها، تحركت بسرعة ثابتة. إذا تحركت السيارة نفسها لأعلى الميل نفسه بسرعة ٢٫٨ متر لكل ثانية وتوقف محركها، فكم تبلغ المسافة التي ستتحركها قبل أن تتوقف؟ افترض أن مقدار المقاومة لحركتها كما هو خلال صعود التل ونزوله. اعتبر أن ﺩ يساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.
لنفترض أن هذا هو التل الذي يميل على الأفقي بزاوية 𝜃. ونعلم من المعطيات أن جيب هذه الزاوية يساوي أربعة على ٧٥. توجد سيارة تتحرك على هذا التل. وورد في السؤال معلومتان عن السيارة. في الحالة الأولى، علمنا أنه عندما توقف تشغيل محرك السيارة وتحركت لأسفل التل، فإنها تحركت بسرعة ثابتة. ثم تخيلنا حالة مختلفة تتحرك فيها السيارة نفسها لأعلى الميل نفسه بسرعة ٢٫٨ متر لكل ثانية. إذا توقف محركها بحيث لم يعد هناك مصدر لتحريك السيارة، فإننا نريد أن نعرف المسافة التي ستقطعها السيارة لأعلى التل قبل أن تصل إلى السكون، ويمكننا أن نسمي هذه المسافة ﻑ.
لكي نبدأ الحل، دعونا نفرغ بعض المساحة لنستعرض الحل. سنبدأ بالنظر في حالة هذه السيارة وهي تتحرك لأعلى التل. بعد التحرك بهذه السرعة الابتدائية المعلومة، علمنا أن محرك السيارة توقف. وعليه، فإنها تتحرك الآن تحت تأثير كمية حركتها فقط. إذا رسمنا القوى المؤثرة على السيارة وهي لا تزال تتحرك لأعلى التل، فسيكون بإمكاننا القول إنها تخضع لقوة وزن، تساوي كتلتها في عجلة الجاذبية، وقوة رد الفعل العمودي التي سنسميها ﺭ المؤثرة عموديًّا على المستوى، وأخيرًا هناك قوة احتكاك. ولأن السيارة لا تزال تتحرك صعودًا لأعلى في هذه الصورة، وتأثير الاحتكاك دائمًا يكون عكس اتجاه الحركة، فإن هذه القوة ستؤثر لأسفل المنحدر.
إذا ركزنا فقط على القوى المؤثرة في اتجاه يوازي اتجاه المستوى المائل، فستشتمل هذه القوى على قوة الاحتكاك وكذلك مركبة قوة الوزن هذه. ووفقًا لقانون نيوتن الثاني للحركة، فإن مجموع هذه القوى يساوي كتلة الجسم مضروبة في عجلته في اتجاه هذه القوى. لنفترض أننا أنشأنا نظامًا إحداثيًّا يشير فيه اتجاه ﺱ الموجب لأسفل المستوى المائل، ويشير فيه اتجاه ﺹ الموجب لأعلى في اتجاه عمودي على المستوى. وفقًا لنظام تحديد الإشارات الذي افترضناه، فإن قوة الاحتكاك ﺡﻙ لها قيمة موجبة وكذلك مركبة قوة الوزن التي تؤثر في الاتجاه الذي أطلقنا عليه ﺱ.
لإيجاد قيمة هذه المركبة، يمكننا أن نلاحظ أن هذه الزاوية هنا في المثلث القائم الزاوية الناتج عن مركبتي قوة الوزن تتطابق مع هذه الزاوية في المستوى. وهو ما يعني أنها تساوي 𝜃. ومن ثم، فإن هذه المركبة في اتجاه ﺱ تساوي ﻙ في ﺩ في جا 𝜃. وبما أن هاتين هما القوتان الوحيدتان اللتان تؤثران على السيارة في الاتجاه الذي أطلقنا عليه ﺱ، فإن مجموعهما يساوي كتلة السيارة مضروبة في عجلتها في هذا البعد. علمنا أن جا 𝜃 يساوي أربعة على ٧٥. بالإضافة إلى ذلك، يمكننا القول إن قوة الاحتكاك المؤثرة على جسم متحرك بوجه عام تساوي معامل الاحتكاك في قوة رد الفعل العمودي المؤثرة على هذا الجسم. ومن الشكل الموجود لدينا، نرى أن مقدار قوة رد الفعل العمودي المؤثرة على السيارة يساوي مقدار مركبة قوة الوزن هذه.
هذه المركبة تساوي ﻙ في ﺩ في جتا 𝜃. إذن، بضرب ذلك في ﻡﻙ، نحصل على تعبير لقوة الاحتكاك المؤثرة على السيارة. إن مقدار هذه القوة زائد ﻙ في ﺩ في أربعة على ٧٥، أي قيمة جا 𝜃 كما ذكرنا، يساوي ﻙ في عجلة السيارة في الاتجاه ﺱ. لاحظ أن كتلة السيارة تظهر في هذه الحدود الثلاثة كلها. إذن، يمكننا حذفها. بعد ذلك، يمكننا التركيز على إيجاد قيمة جتا 𝜃. وبما أن جا 𝜃 يساوي أربعة على ٧٥، فيمكننا القول إن هذين هما طولا الضلعين المؤثرين في هذا المثلث القائم الزاوية. ووفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن طول هذا الضلع الثالث يساوي الجذر التربيعي لـ ٧٥ تربيع ناقص أربعة تربيع، أو تحديدًا الجذر التربيعي لـ ٥٦٠٩.
نعلم أن جتا 𝜃 يساوي هذه القيمة مقسومة على طول الوتر. بالتعويض بذلك عن جتا 𝜃، ومع التحليل بإخراج عجلة الجاذبية، التي تظهر في كلا حدي الطرف الأيمن من المعادلة، نحصل على هذا الناتج لعجلة السيارة في اتجاه المحور ﺱ. تذكر أن ذلك يكون عند تباطؤ السيارة، وهي تصعد التل ثم تتوقف. نحن نعلم عجلة الجاذبية، لكننا لا نعرف قيمة ﻡﻙ. وهي معامل الاحتكاك بين إطارات السيارة والمستوى المائل.
لكن، في هذه المرحلة، يمكننا أن نتذكر معلومة مهمة للغاية وردت في نص المسألة. علمنا أنه عندما كانت السيارة على هذا المستوى المائل وتوقف المحرك وبدأت الحركة من السكون، تحركت لأسفل التل بسرعة ثابتة. وهذا يعني أن عجلتها تساوي صفرًا. في هذه الحالة، عندما تتحرك السيارة لأسفل التل، فإن القوى المؤثرة عليها ستبدو بهذا الشكل. لاحظ أن اتجاهي قوة الوزن ﻙﺩ وقوة رد الفعل العمودي ﺭ لم يتغيرا، لكن قوة الاحتكاك، التي أطلقنا عليها ﺡﻙ اثنين، تؤثر الآن لأعلى المنحدر؛ لأن اتجاهها يكون دائمًا عكس اتجاه حركة الجسم. ولأن السيارة تتحرك بسرعة ثابتة أثناء الهبوط لأسفل التل، يمكننا القول إن المركبة ﺱ لقوة الوزن وقوة الاحتكاك توازن إحداهما الأخرى.
بعبارة أخرى، ﻙ في ﺩ في جا 𝜃، وهي مركبة قوة الوزن التي تسحب السيارة لأسفل، تساوي ﻡﻙ في ﻙ في ﺩ في جتا 𝜃، وهي قوة الاحتكاك المؤثرة في اتجاه مضاد لاتجاه هذه الحركة. لاحظ أن كلًّا من كتلة هذه السيارة وعجلة الجاذبية يظهران في كلا طرفي هذه المعادلة، ومن ثم يحذفان معًا. ثم، إذا قسمنا طرفي المعادلة على جتا 𝜃 وحذفنا هذا العامل الموجود على اليسار، فيمكننا الاستفادة من المتطابقة المثلثية، التي تفيد أن جيب زاوية ما مقسومًا على جيب تمام هذه الزاوية نفسها يساوي ظل الزاوية. ومن ثم، بالتعويض، نجد أن معامل الاحتكاك ﻡﻙ يساوي ظا 𝜃. ومن الرسم الموجود في أسفل يمين الشاشة، نعرف أن هذا يساوي أربعة مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ٥٦٠٩.
إذن لدينا الآن تعبير لمعامل الاحتكاك يمكننا التعويض به في معادلة عجلة السيارة وهي تتحرك لأعلى التل. بإجراء هذا التعويض، نلاحظ أنه يمكننا حذف عاملي الجذر التربيعي لـ ٥٦٠٩ في البسط والمقام معًا. وبذلك، نجد أن عجلة السيارة في الاتجاه ﺱ أثناء حركتها أعلى التل تساوي ثمانية على ٧٥ في عجلة الجاذبية. لقد أحرزنا تقدمًا كبيرًا، لكننا ما زلنا نريد إيجاد المسافة التي تقطعها السيارة قبل أن تصل إلى حالة السكون. لمعرفة ذلك، يمكننا ملاحظة أنه نظرًا لأن السيارة تتحرك بعجلة ثابتة، يمكن وصف حركتها بما يسمى معادلات الحركة.
توضح لنا إحدى هذه المعادلات الأربع أن مربع السرعة المتجهة النهائية للجسم يساوي مربع سرعته المتجهة الأصلية زائد اثنين مضروبًا في عجلته في إزاحته. في هذه الحالة، نظرًا لأن السيارة ستصبح في وضع السكون في النهاية، فإننا نعلم أن ﻉ تساوي صفرًا. ومن ثم، يمكننا كتابة أن صفرًا يساوي ﻉ صفر تربيع زائد اثنين في ﺟ في ﻑ؛ وبهذا فإن ﻑ يساوي سالب ﻉ صفر تربيع على اثنين في ﺟ. لاحظ وجود إشارة سالب أمام هذه القيمة. هذا لأننا فعليًّا نحسب الإزاحة وليس المسافة. لحساب المسافة بدلًا من ذلك، كل ما علينا فعله هو أخذ القيمة المطلقة لهذا الكسر.
بالتعويض عن ﻉ صفر وﺟ، مع استبعاد وحدتيهما، نحصل على هذا التعبير. وباعتبار أن ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة، يمكننا المضي قدمًا في حساب المسافة ﻑ التي تتحركها هذه السيارة قبل أن تتوقف. بكتابة هذا المقدار على الآلة الحاسبة، نجد أن الناتج يساوي ٣٫٧٥. وهذه المسافة بوحدة المتر. إذن، على هذا التل بالتحديد، إذا تحركت السيارة لأعلى التل بسرعة ٢٫٨ متر لكل ثانية، ثم توقف محركها، فستتحرك مسافة ٣٫٧٥ أمتار لأعلى التل قبل أن تتوقف.
