نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتناول المثلثات المتطابقة. وسوف نستخدم مسلمات التطابق بثلاثة أضلاع، والتطابق بضلعين والزاوية المحصورة بينهما، والتطابق بزاويتين والضلع المحصور بينهما، لإيجاد التطابق. ثم سنرى كيف يمكننا استخدام هذا التطابق لإيجاد قياسات الزوايا أو الأضلاع المجهولة في المثلثات المتطابقة.
لنبدأ بتذكير أنفسنا بمسلمات التطابق هذه. أول مسلمة للتطابق هي مسلمة التطابق بثلاثة أضلاع، التي تعني أن لدينا تطابقًا بين ثلاثة أزواج من الأضلاع المتناظرة. إذا أخذنا هذين المثلثين كمثال، فسنبدأ بتحديد ما إذا كان لدينا زوج من الأضلاع المتطابقة، ثم زوج آخر من الأضلاع المتطابقة، وأخيرًا زوج ثالث من الأضلاع المتطابقة. ومن ثم، فإن إثبات وجود ثلاثة أزواج من الأضلاع المتطابقة في مثلثين يحقق مسلمة التطابق بثلاثة أضلاع، ويثبت أن المثلثين متطابقان.
إن الأمر المهم في أي من علاقات التطابق هذه أنه لا يهم إذا ما كان المثلثان تم تدويرهما أو قلبهما. فإنهما سيظلان متطابقين. إذ سيظلان بالشكل والقياسات نفسها بغض النظر عن وضعهما.
المسلمة الثانية هي مسلمة الضلعين والزاوية المحصورة بينهما. لدينا هذه المرة ضلعان وزاوية محصورة بينهما. إذن، في المثلثين هنا، يمكننا إثبات أن هناك تطابقًا بين ضلعين متناظرين، وكذلك الزاوية بينهما. وهذا من شأنه أن يثبت أن هذين المثلثين متطابقان.
مسلمة التطابق بزاويتين والضلع المحصور بينهما هي مسلمة زاوية - ضلع - زاوية. وهذه المرة، يكون الضلع محصورًا بين زاويتين. إذن، سنرى ضلعين متطابقين، هكذا، وزوجين من الزوايا المتطابقة، مع تذكر أن الضلع يقع بين هاتين الزاويتين أو ينحصر بينهما.
تشبهها مسلمة التطابق بزاويتين وضلع غير محصور بينهما من حيث تطابق زوجين من الزوايا المتناظرة وزوج واحد من الأضلاع. ولكن، عند استخدام مسلمة التطابق بزاويتين وضلع غير محصور بينهما، فلا يلزم أن يكون الضلع محصورًا بين الزاويتين.
مسلمة التطابق الأخيرة هي مسلمة التطابق بزاوية قائمة والوتر وأحد ضلعي القائمة، والتي تنطبق على المثلثات القائمة الزاوية. وكما يتضح من اسمها، نستخدم فيها الزاوية القائمة، والوتر، وهو الضلع الأطول في المثلث القائم الزاوية. لتوضيح التطابق باستخدام هذه المسلمة، نحتاج إلى توضيح أن كلا المثلثين يحتويان على زاوية قائمة، وأن وتري المثلثين متطابقان. ومن بين الضلعين الآخرين في كل مثلث، هناك تطابق بين زوج واحد من الأضلاع.
والآن بعد أن تعرفنا على المسلمات الخمس جميعها، سنستخدم أول ثلاث مسلمات تحديدًا في حل المسائل. قد تساعدنا معرفة أن لدينا مثلثين متطابقين في إيجاد أي أضلاع أو زوايا مجهولة. لنلق نظرة على السؤال الأول.
هل يتطابق مثلثان إذا كانت أطوال أضلاعهما متساوية؟
لنبدأ بتذكير أنفسنا بأن التطابق يعني الشكل نفسه والقياس نفسه. أي إن جميع أزواج الأضلاع المتناظرة في هذين المثلثين متساوية الطول، وجميع أزواج الزوايا المتناظرة متساوية القياس. في بعض الأحيان، عندما نكون بصدد حل مسألة كهذه، قد يكون من المفيد رسم بعض المثلثات لدراستها.
لنرسم هذا المثلث الذي أطوال أضلاعه هي أربع، وخمس، وست وحدات. كما يمكننا رسم مثلث آخر له أطوال الأضلاع نفسها أربعة، وخمسة، وستة. ويمكننا رسم مثلث آخر هكذا. إذن، على الرغم من أن كل هذه المثلثات لها اتجاهات مختلفة، فهل ستظل متطابقة؟ والإجابة هي نعم. لا يمكننا رسم مثلثات مختلفة الشكل لها أطوال الأضلاع أربعة، وخمسة، وستة.
كما يمكننا تطبيق مسلمة التطابق بثلاثة أضلاع. تنص هذه المسلمة على أن المثلثين يتطابقان إذا كانت أطوال أضلاعهما المتناظرة متطابقة. إذن، نلاحظ أن لدينا مجموعة من الأضلاع في هذه المثلثات الثلاثة طول كل منها أربعة. ولدينا أيضًا مجموعة أخرى من الأضلاع المتناظرة أطوال كل منها خمس وحدات، ومجموعة ثالثة من الأضلاع المتناظرة أطوال كل منها ست وحدات.
في هذا المثال، نستخدم أضلاعًا أطوالها أربع، وخمس، وست وحدات. لكن، تنطبق هذه المسلمة على المثلثات على اختلاف قياساتها. إذا استطعنا أن نثبت أن هناك ثلاثة أزواج من أطوال الأضلاع المتناظرة، أو بعبارة أخرى أن المثلثات لها أطوال الأضلاع نفسها، فيمكننا القول إنها متطابقة. وبذلك، تكون إجابتنا عن السؤال هي «نعم».
في السؤال التالي، نعلم أن هناك تطابقًا. وعلينا إيجاد قياس زاوية مجهولة.
إذا كان المثلث ﺃﺏﺟ مطابقًا للمثلث ﺱﺹﻉ، فأوجد قياس الزاوية ﺏ.
لأننا نعرف أن هذين المثلثين متطابقان، فهذا يعني أنه سيكون فيهما أزواج من الزوايا المتناظرة المتطابقة. ما علينا فعله هنا هو إيجاد الزوايا المتطابقة بالتحديد. في بعض الأحيان، قد يكون من السهل جدًّا معرفة هذا من الشكل، وفي أحيان أخرى قد لا يكون الأمر بهذه السهولة. لكن يمكننا استخدام ترتيب الحروف لمساعدتنا.
بما أننا نعلم أن المثلث ﺃﺏﺟ يطابق المثلث ﺱﺹﻉ، فهذا يعني أن الزاوية ﺃ تناظر الزاوية ﺱ. إذن، كل من الزاوية ﺃ والزاوية ﺱ سيكون قياسها ٥٤ درجة. وبالمثل، تناظر الزاوية ﺏ هذه في المثلث ﺃﺏﺟ الزاوية ﺹ في المثلث ﺱﺹﻉ. وقياس كل منهما يساوي ٥٢ درجة. وبما أن المطلوب هو إيجاد قياس الزاوية ﺏ، فإن الإجابة هي ٥٢ درجة.
واستكمالًا للشرح، نلاحظ أن الزاوية ﺟ تناظر الزاوية ﻉ. وقياس كل منهما يساوي ٧٤ درجة. ولكن، بما أن المطلوب هو إيجاد قياس الزاوية ﺏ، فالإجابة هي ٥٢ درجة.
في السؤال التالي، قبل إيجاد طول مجهول، علينا إثبات أن المثلثين متطابقان.
في الشكل، يتقاطع ﺏﺩ مع ﺃﻫ عند النقطة ﺟ، التي هي أيضًا نقطة منتصف ﺏﺩ. أوجد طول ﺟﻫ.
الطول المجهول الذي علينا إيجاده هو الطول ﺟﻫ. قد لا يتضح على الفور كيفية إيجاد طول ﺟﻫ هذا. ولكن، يبدو هذان المثلثان قريبين للغاية من حيث تماثلهما في الشكل والقياسات، بعبارة أخرى، متطابقان. لنر ما إذا كانت لدينا معطيات كافية عن أي أضلاع أو زوايا لإثبات التطابق.
في هذا السؤال، نعلم أن ﺏﺩ يتقاطع مع ﺃﻫ عند النقطة ﺟ هذه. وأن ﺟ هي نقطة منتصف ﺏﺩ. وبما أنها نقطة المنتصف، فسيكون طول ﺏﺟ الذي يساوي ٢٧ هو نفسه طول ﺟﺩ. بعد ذلك، إذا نظرنا إلى المثلثين ﻫﺩﺟ وﺃﺏﺟ، فيمكننا أن نكتب أن طول الضلع ﺩﺟ يساوي أو يطابق طول الضلع ﺏﺟ؛ لأن كلًّا منهما طوله ٢٧.
بعد ذلك، لنلق نظرة على بعض الزوايا. لدينا هذه الزاوية القائمة عند الزاوية ﺃﺏﺟ، لكن هل ستكون هناك زاوية قائمة في المثلث ﻫﺩﺟ؟ حسنًا، نعم. لكن دعونا نفكر في السبب. لدينا هذا الخط ﺩﺏ، وهو عمودي على الخط ﺃﺏ، ومن ثم يكونان زاوية قائمة. لكن هناك أيضًا خطًّا موازيًا للخط ﺃﺏ. وهو الخط ﻫﺩ. ولهذا السبب ستكون لدينا زاوية قائمة هنا عند ﻫﺩﺟ أيضًا.
والآن بعد أن أثبتنا أن لدينا زوجًا متطابقًا من الأضلاع وزوجًا متطابقًا من الزوايا، ماذا يمكننا أن نرى من الشكل أيضًا؟ لدينا طول ﺃﺏ هذا، وهو ٣٦. لكن لا يمكننا التأكيد على وجود أي ضلع آخر له الطول نفسه في المثلث ﻫﺩﺟ.
لكن، دعونا نفكر في هذه الزاوية ﺏﺟﺃ. في الواقع، ستكون هناك زاوية متطابقة. فقياس الزاوية ﺩﺟﻫ يساوي قياس الزاوية ﺏﺟﺃ؛ لأن هاتين الزاويتين متقابلتان بالرأس.
إذا نظرنا إلى ما أثبتناه في هذين المثلثين، فسنجد أن لدينا زوجًا من الأضلاع المتناظرة، وزوجًا من الزوايا المتطابقة، وزوجًا آخر من الزوايا المتطابقة. هذا الضلع محصور بين الزاويتين، ومن ثم يمكننا استخدام مسلمة التطابق بزاويتين والضلع المحصور بينهما لنثبت أن المثلث ﻫﺩﺟ يطابق المثلث ﺃﺏﺟ.
من المهم أن نتذكر أنه على الرغم من أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية، فإن مسلمة التطابق بزاوية قائمة والوتر وأحد ضلعي القائمة لا تنطبق عليه. لاستخدام مسلمة التطابق بزاوية قائمة والوتر وأحد ضلعي القائمة، علينا أن نثبت أن هناك تطابقًا لزاوية قائمة، وطول الوتر، وطول ضلع. وبما أننا لا نعرف طول الوتر في حالتنا هذه، فلا يمكننا استخدام هذه القاعدة. لكن، لنر ما إذا كان يمكننا إيجاد طول ﺟﻫ.
الطول الذي يناظر ﺟﻫ في المثلث ﺃﺏﺟ هو طول ﺃﺟ هذا. لم يكن طول الضلع ﺃﺟ في معطيات المسألة، ولكن هناك طريقة لحساب قيمته. تنص نظرية فيثاغورس على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين. إذا نظرنا إلى المثلث ﺃﺏﺟ، فسنجد أننا لا نعرف طول الوتر. وعلينا أن نوجد قيمته. ولذا، دعونا نسم هذا الطول ﺱ.
وبمعلومية طولي الضلعين الآخرين ٢٧ و٣٦، يمكننا التعويض بقيمتيهما باستخدام نظرية فيثاغورس لنجد أن ﺱ تربيع يساوي ٢٧ تربيع زائد ٣٦ تربيع. بحساب قيمتي مربعيهما، نحصل على ﺱ تربيع يساوي ٧٢٩ زائد ١٢٩٦. ثم بإجراء عملية الجمع، نحصل على ﺱ تربيع يساوي ٢٠٢٥. وبحساب الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة، سنحصل على ﺱ يساوي ٤٥. والآن، بعدما أوجدنا أن طول ﺟﺃ يساوي ٤٥، يمكننا أن نقول إن الضلع المناظر للضلع ﺟﺃ في المثلث ﻫﺩﺟ سيساوي ٤٥ أيضًا. وهذا هو حلنا لمسألة إيجاد طول الضلع ﺟﻫ.
في السؤال الأخير، سنرى كيف يمكننا استخدام التطابق لمساعدتنا في إيجاد مساحة المثلث.
المثلثان في الشكل التالي متطابقان. أوجد مساحة المثلث ﺃﺏﺟ.
نعلم أن المثلثين متطابقان. وذلك يعني أن أزواج الزوايا المتناظرة متساوية، وأن أزواج الأضلاع المتناظرة متساوية. علينا استخدام هذه الحقيقة لمساعدتنا في إيجاد مساحة المثلث ﺃﺏﺟ.
يمكننا أن نتذكر أنه لإيجاد مساحة المثلث، فإننا نضرب نصفًا في طول قاعدة المثلث في الارتفاع العمودي عليها. عندما ننظر إلى المثلث ﺃﺏﺟ، يمكننا أن نرى أننا لا نعرف طول قاعدة هذا المثلث، لهذا السبب علينا أن نستخدم حقيقة أنه متطابق مع المثلث ﺩﻫﻭ لمساعدتنا في إيجاد طول الضلع ﺏﺟ.
في هذا السؤال، لم نعط علاقة تطابق، ومن ثم، سيكون علينا أن نحدد أي أضلاع تناظر أي أضلاع. لنبدأ بوتر المثلث، الضلع الأطول في المثلث ﺃﺏﺟ. وهذا يناظر الضلع الأطول أو الوتر في المثلث الآخر. إذن، سيكون ﺃﺟ وﺩﻭ متطابقين.
في المثلث ﺃﺏﺟ، إذا انتقلنا من الوتر إلى الزاوية القائمة من خلال الخط ﺃﺏ، فسنجد أن هذا التحرك يناظر الانتقال أو المسار نفسه من الوتر إلى الزاوية القائمة في المثلث ﺩﻫﻭ. إذن، سيكون للضلع ﺃﺏ والضلع ﺩﻫ الطول نفسه وهو ٥٫١. وسيكون زوج الأضلاع الأخير ﺏﺟ وﻫﻭ متطابقين أيضًا، وسيكون طول كل منهما ٤٫١.
لدينا الآن ما يكفي من المعطيات لإيجاد مساحة المثلث ﺃﺏﺟ. وبالتعويض بقيم كل من طول القاعدة الذي يساوي ٤٫١، وطول الارتفاع العمودي عليهما الذي يساوي ٥٫١، سيكون لدينا نصف في ٤٫١ في ٥٫١. يمكننا حساب ٤٫١ في ٥٫١ بحساب ٤١ في ٥١. وحيث إن القيمتين تتضمنان في مجملهما رقمين يمين العلامة العشرية، فستتضمن الإجابة أيضًا رقمين يمين العلامة العشرية. نصف ٢٠٫٩١، وهو ما يساوي ١٠٫٤٥٥. ووحدة القياس هنا هي الوحدات المربعة. هذه هي الإجابة عن مساحة المثلث ﺃﺏﺟ. ولاحظ أننا إذا كنا أوجدنا مساحة المثلث ﺩﻫﻭ بدلًا منها، كنا سنحصل على الإجابة نفسها، حيث إن المثلثين متطابقان.
يمكننا الآن أن نلخص ما تعلمناه في هذا الفيديو. رأينا أن المثلثات تظل متطابقة حتى وإن عكسناها أو أدرناها، فلا يجب بالضرورة أن تكون في الاتجاه نفسه. ذكرنا أنفسنا بمسلمات التطابق: التطابق بثلاثة أضلاع، والتطابق بضلعين والزاوية المحصورة بينهما، والتطابق بزاويتين والضلع المحصور بينهما، والتطابق بزاويتين وضلع غير محصور بينهما، والتطابق بزاوية قائمة والوتر وأحد ضلعي القائمة. وأخيرًا، عند إثبات تطابق المثلثات، قد نحتاج إلى استخدام القواعد الأخرى للزوايا، على سبيل المثال، علينا أن نتذكر أن الزاويتين المتقابلتين بالرأس متساويتان في القياس.
