فيديو السؤال: إيجاد القيمة الصغرى المحلية لدالة بمعلومية القيمة العظمى المحلية وتعبير مشتقتها باستخدام التكامل الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد القيمة الصغرى المحلية لمنحنى ما، إذا كان ميله يعطى بالعلاقة ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ ناقص ١٨، والقيمة العظمى المحلية ٢١.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد القيمة الصغرى المحلية لمنحنى ما. ولدينا معادلة لميله، وهي: ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ ناقص ١٨. وعلمنا من المعطيات أن القيمة العظمى المحلية تساوي ٢١. للإجابة عن هذا السؤال، نبدأ بتذكر أن القيم القصوى المحلية للدالة دائمًا ما توجد عند النقاط الحرجة لها. وهذه هي النقاط التي تكون عندها قيمة مشتقة الدالة تساوي صفرًا أو تكون غير موجودة. كما أن لدينا ميل هذه الدالة. وهذا الميل يساوي ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ ناقص ١٨. ومن ذلك، نعلم أنها دالة تربيعية كثيرة الحدود. والدوال التربيعية تكون معرفة عند جميع القيم الحقيقية لـ ﺱ. ومن ثم، فإن ميل هذه الدالة معرف عند جميع قيم ﺱ. وتوجد النقاط الحرجة فقط عندما يساوي الميل صفرًا.

فلنحدد إذن قيمتي ﺱ للنقطتين الحرجتين لهذه الدالة. ولكي نفعل ذلك، علينا حل ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ ناقص ١٨ يساوي صفرًا. ويمكننا فعل ذلك بالتحليل. نلاحظ أن ستة مضروبًا في سالب ثلاثة يساوي سالب ١٨، وستة زائد سالب ثلاثة يساوي ثلاثة. ومن ثم، يمكننا تحليل هذه المعادلة التربيعية لنحصل على ﺱ زائد ستة مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة يساوي صفرًا. ولكي يساوي حاصل الضرب صفرًا، يجب أن يساوي أحد العاملين صفرًا. بعبارة أخرى، إما أن ﺱ يساوي سالب ستة، وإما أن ﺱ يساوي ثلاثة. هاتان هما قيمتا النقطتين الحرجتين للمنحنى لدينا.

لكن هذا لا يكفي لتحديد القيمة الصغرى المحلية لهذا المنحنى. فكل ما نعرفه أنها توجد إما عند ﺱ يساوي سالب ستة، وإما عند ﺱ يساوي ثلاثة. ولتحديد هذه القيمة، علينا إيجاد معادلة لهذا المنحنى. ويمكننا فعل ذلك باستخدام حقيقة أن لدينا معادلة لميل هذا المنحنى. ومن ثم، فإن ﺹ سيمثل المشتقة العكسية لميل هذا المنحنى. لذا، ﺹ يساوي التكامل غير المحدد لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وبالطبع، سنجري ذلك مع إضافة ثابت التكامل. هيا نعوض بالتعبير المعطى لدينا عن ﺩﺹ على ﺩﺱ في هذا التكامل. وبذلك، نجد أن ﺹ يساوي التكامل غير المحدد لـ ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ ناقص ١٨ بالنسبة إلى ﺱ.

بما أن هذا هو تكامل لكثيرة حدود، فإننا يمكننا إجراؤه لكل حد على حدة باستخدام قاعدة القوة للتكامل، التي تنص على أنه لأي ثابتين حقيقيين ﺃ وﻥ؛ حيث ﻥ لا يساوي سالب واحد، فإن تكامل ﺃﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃ في ﺱ أس ﻥ زائد واحد مقسومًا على ﻥ زائد واحد زائد ثابت التكامل ﺙ. يمكننا إجراء هذا التكامل لكل حد على حدة ثم إضافة ثابت التكامل في نهاية هذا التعبير. ومن ثم، نحصل على ﺱ تكعيب على ثلاثة زائد ثلاثة ﺱ تربيع على اثنين ناقص ١٨ﺱ زائد ﺙ. هذه هي معادلة المنحنى لقيمة ما لـ ﺙ.

ونظرًا لأننا لا نعرف قيمة ﺙ، فلا يمكننا إيجاد القيمة الصغرى المحلية لهذا المنحنى. وذلك لأنها ستتغير حسب قيمة ﺙ. وكذلك لا يمكننا التعويض فحسب بأي من القيمتين ﺱ يساوي سالب ستة أو ﺱ يساوي ثلاثة في معادلة هذا المنحنى؛ لأننا لا نعرف قيمتي الإحداثي ﺹ المناظرتين لهما. إذن، علينا تحديد إحداثيات نقطة تقع على هذا المنحنى. وسيسمح لنا هذا بإيجاد قيمة ﺙ. لفعل ذلك، علينا استخدام الحقيقة، المذكورة في السؤال، التي تخبرنا أن القيمة العظمى المحلية لهذا المنحنى تساوي ٢١. وبما أنها قيمة قصوى محلية، فإننا نعلم أنها ستوجد عند إحدى النقطتين الحرجتين. ويحدث ذلك إما عند ﺱ يساوي سالب ستة، وإما عند ﺱ يساوي ثلاثة. إذن، علينا تحديد أي من هاتين النقطتين الحرجتين توجد عندها القيمة العظمى المحلية.

يوجد العديد من الطرق المختلفة لفعل ذلك. على سبيل المثال، يمكننا استخدام اختبار المشتقة الأولى. ولكننا سنستخدم حقيقة أن ﺹ دالة تكعيبية كثيرة الحدود. ويمكننا ملاحظة أنها ذات معامل رئيسي موجب. كما أننا نعلم أن المنحنى له نقطتان حرجتان. بعبارة أخرى، يمكننا رسم شكل الدالة. إنها دالة تكعيبية كثيرة الحدود معاملها الرئيسي موجب ولها نقطتا تحول. قيمة الإحداثي ﺱ لنقطة التحول الأولى تساوي سالب ستة، وقيمة الإحداثي ﺱ لنقطة التحول الثانية تساوي ثلاثة. إذن، عند ﺱ يساوي سالب ستة، يكون للمنحنى قيمة عظمى محلية، وعند ﺱ يساوي ثلاثة، يكون للمنحنى قيمة صغرى محلية. ومن ثم، يسمح لنا ذلك بإيجاد إحداثيات نقطة تقع على المنحنى. لقد علمنا أن القيمة العظمى المحلية لهذا المنحنى هي ٢١. إذن، عند ﺱ يساوي سالب ستة، فإن ﺹ يساوي ٢١.

وبناء على ذلك، يمكننا التعويض بالقيمتين ﺱ يساوي سالب ستة وﺹ يساوي ٢١ في معادلة المنحنى لإيجاد قيمة ﺙ. هذا يعطينا ٢١ يساوي سالب ستة تكعيب على ثلاثة زائد ثلاثة في سالب ستة تربيع على اثنين ناقص ١٨ مضروبًا في سالب ستة زائد ﺙ. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيم الحدود وإعادة ترتيبها لإيجاد قيمة ﺙ. ومن ثم، نجد أن ﺙ يساوي سالب ٦٩. بعد ذلك، يمكننا التعويض بقيمة ﺙ هذه في معادلة المنحنى. وبهذا، نجد أن معادلة المنحنى هي ﺹ يساوي ﺱ تكعيب على ثلاثة زائد ثلاثة ﺱ تربيع على اثنين ناقص ١٨ﺱ ناقص ٦٩.

والآن يمكننا إيجاد القيمة الصغرى المحلية لهذا المنحنى. نحن نعرف أنها توجد عند قيمة النقطة الحرجة ﺱ يساوي ثلاثة. لذا، سنعوض بالقيمة ﺱ يساوي ثلاثة في معادلة المنحنى. وعليه، نحصل على ﺹ يساوي ثلاثة تكعيب على ثلاثة زائد ثلاثة في ثلاثة تربيع على اثنين ناقص ١٨ في ثلاثة ناقص ٦٩. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة هذا التعبير لنجد أن قيمة الإحداثي ﺹ لهذه النقطة هي سالب ١٠٠٫٥، وهذه هي إجابتنا النهائية.

وبذلك نكون قد أوضحنا أنه إذا كان ميل منحنى ما يعطى بالعلاقة ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ ناقص ١٨، وكانت القيمة العظمى المحلية لهذا المنحنى تساوي ٢١، فإن القيمة الصغرى المحلية تساوي سالب ١٠٠٫٥.