نسخة الفيديو النصية
أوجد التكامل غير المحدد لستة في جا اثنين ﺱ ناقص اثنين في ظا اثنين ﺱ مرفوعًا للقوة خمسة مضروبًا في ١٢ جتا اثنين ﺱ ناقص أربعة قا تربيع اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
يعطينا السؤال تكاملًا معقدًا جدًّا. قد نرغب في محاولة توزيع الأسس لتبسيط الدالة قبل التكامل. ولكن تبسيط الدالة قبل التكامل في هذه الحالة سيكون معقدًا جدًّا. لدينا مقدار ذو حدين مرفوع للقوة خمسة مضروب في مقدار ذي حدين آخر. إذن، علينا البحث عن طريقة مختلفة أسهل. ولإيجاد هذه الطريقة الأسهل، علينا ملاحظة أمر حول الدالة قبل التكامل. علينا ملاحظة أن العامل الثاني، ١٢ في جتا اثنين ﺱ ناقص أربعة في قا تربيع اثنين ﺱ، هو مشتقة الجزء الداخلي للدالة المركبة التي لدينا. إنه مشتقة ستة جا اثنين ﺱ ناقص اثنين ظا اثنين ﺱ.
وهذا يدفعنا لمحاولة إجراء تكامل هذا بالتعويض. سنجعل ﻉ يساوي ستة جا اثنين ﺱ ناقص اثنين ظا اثنين ﺱ. بعد ذلك، نشتق كلا طرفي هذا التعبير بالنسبة إلى ﺱ باستخدام قواعد المشتقات للدوال المثلثية. لأي ثابت ﺃ، تكون مشتقة جا ﺃﺱ تساوي ﺃ في جتا ﺃﺱ. ولأي ثابت ﺃ، تكون مشتقة ظا ﺃﺱ تساوي ﺃ في قا تربيع ﺃﺱ. وهذا يعطينا ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي ١٢ في جتا اثنين ﺱ ناقص أربعة في قا تربيع اثنين ﺱ.
الآن، علينا أن نتذكر أن ﺩﻉ على ﺩﺱ ليس كسرًا. لكن، عندما نستخدم التكامل بالتعويض، فيمكننا التعامل معه كما لو كان كسرًا. وهذا يعطينا التعبير المكافئ بدلالة المعادلات التفاضلية. ﺩﻉ يساوي ١٢ في جتا اثنين ﺱ ناقص أربعة قا تربيع اثنين ﺱ ﺩﺱ. ويمكننا ملاحظة أن هذا التعبير موجود في التكامل لدينا. هذا يعني أننا الآن جاهزون لحساب التكامل باستخدام التكامل بالتعويض. أولًا، نقول إن ﻉ هو الجزء الداخلي للدالة المركبة المعطاة. وهذا يخبرنا بأن ١٢ جتا اثنين ﺱ ناقص أربعة قا تربيع اثنين ﺱ ﺩﺱ يساوي بالفعل ﺩﻉ. إذن، باستخدام التعويض بـ ﻉ، يمكننا إعادة كتابة التكامل على صورة تكامل ﻉ أس خمسة بالنسبة إلى ﻉ.
ويمكننا حساب هذا التكامل باستخدام قاعدة القوة للتكامل، التي تنص على أنه إذا كان ﻥ لا يساوي سالب واحد، فإن تكامل ﻉ أس ﻥ بالنسبة إلى ﻉ يساوي ﻉ أس ﻥ زائد واحد مقسومًا على ﻥ زائد واحد زائد ثابت التكامل ﺙ. نضيف واحدًا إلى أس ﻉ، ثم نقسم على هذا الأس الجديد. في هذه الحالة، أس ﻉ هو خمسة. ومن ثم، نحصل على واحد على ستة مضروبًا في ﻉ أس ستة زائد ﺙ. لكن تذكر أن التكامل الأصلي كان بدلالة ﺱ. إذن، علينا كتابة الإجابة بدلالة ﺱ. سنفعل ذلك باستخدام التعويض بـ ﻉ يساوي ستة جا اثنين ﺱ ناقص اثنين ظا اثنين ﺱ. وهذا يعطينا واحدًا على ستة في ستة جا اثنين ﺱ ناقص اثنين ظا اثنين ﺱ أس ستة زائد ﺙ. وهذه هي الإجابة النهائية.
وبذلك، نكون قد أوضحنا باستخدام التكامل بالتعويض تكامل ستة في جا اثنين ﺱ ناقص اثنين ظا اثنين ﺱ أس خمسة مضروبًا في ١٢ في جتا اثنين ﺱ ناقص أربعة قا تربيع اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. إنه يساوي واحدًا على ستة في ستة جا اثنين ﺱ ناقص اثنين في ظا اثنين ﺱ مرفوعًا للقوة ستة زائد ثابت التكامل ﺙ.
