فيديو السؤال: إيجاد معادلة دالة تربيعية من تمثيلها البياني الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

أي المعادلات الآتية يمكن تمثيلها بالتمثيل البياني المعطى؟ الخيار أ: ﺱ تربيع زائد ١٠ﺱ ناقص ٢٤ يساوي صفرًا. الخيار ب: سالب ﺱ تربيع ناقص ٢٤ﺱ زائد ١٠ يساوي صفرًا. الخيار ج: ﺱ تربيع ناقص ١٠ﺱ ناقص ٢٤ يساوي صفرًا. الخيار د: ﺱ تربيع زائد ١٠ﺱ زائد ٢٤ يساوي صفرًا. الخيار هـ: ﺱ تربيع ناقص ١٠ﺱ زائد ٢٤ يساوي صفرًا؟

في هذا السؤال، لدينا خمس معادلات مختلفة. وعلينا تحديد أي من هذه المعادلات يمكن تمثيله بالتمثيل البياني المعطى. لفعل ذلك، يمكننا البدء بتحليل التمثيل البياني المعطى. نلاحظ أن التمثيل البياني يتخذ شكل قطع مكافئ، وأن قيمتي الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ هما أربعة وستة.

وهنا، يتضح لنا من خلال الملاحظة أن القطع المكافئ مفتوح لأعلى. ومن ثم، يجب أن يكون المعامل الرئيسي للدالة التربيعية موجبًا. لكن، لا ينطبق هذا الأمر إلا عند رسم التمثيلات البيانية للدوال التربيعية. وفي هذا السؤال، التمثيلات البيانية تمثل معادلات. على سبيل المثال، لا يمكننا استبعاد الخيار ب؛ لأنه يمكننا ضرب طرفي المعادلة في سالب واحد لنحصل على المعادلة ﺱ تربيع زائد ٢٤ﺱ ناقص ١٠ يساوي صفرًا. وهذه معادلة مكافئة، وجميع حلولها متماثلة. لكن التمثيل البياني للدالة التربيعية الموجودة في الجانب الأيمن سينعكس حول المحور ﺱ. لذا لا يمكننا استخدام المعامل الرئيسي لاستبعاد الخيارات في هذه الحالة.

بدلًا من ذلك، يمكننا أن نتذكر أنه عند رسم التمثيل البياني لدالة، فإن الإحداثي ﺹ لنقطة ما على المنحنى يشير إلى القيمة المخرجة للدالة، والإحداثي ﺱ يشير إلى القيمة المدخلة للدالة. وذلك يعني تحديدًا أنه إذا أردنا رسم تمثيلات بيانية لهذه الدوال التربيعية، فإن النقاط على التمثيل البياني التي تكون قيمة الإحداثي ﺹ لها تساوي صفرًا، يجب أن تكون جذورًا للدالة وحلولًا للمعادلة. من ثم، لكي يمثل هذا التمثيل البياني معادلة ما، يجب أن يكون حلا هذه المعادلة هما ﺱ يساوي ستة وﺱ يساوي أربعة.

يمكننا التحقق أي المعادلات الخمس المعطاة يكون حلاها هما ﺱ يساوي أربعة وﺱ يساوي ستة باستخدام التعويض. لنبدأ بالخيار أ. يمكننا التعويض عن ﺱ بأربعة في الطرف الأيمن من المعادلة لنحصل على أربعة تربيع زائد ١٠ في أربعة ناقص ٢٤. بحساب قيمة هذا المقدار، نجد أنه يساوي ٣٢. وبما أن أربعة ليس حلًّا لهذه المعادلة، فلا يمكن تمثيلها بالتمثيل البياني المعطى.

يمكننا اتباع العملية نفسها مع الخيار ب. نعوض عن ﺱ بأربعة في الطرف الأيمن من معادلة الدالة التربيعية، ثم نوجد قيمة ذلك لنحصل على سالب ١٠٢. بما أن هذا الناتج لا يساوي صفرًا، يمكننا استنتاج أن أربعة ليس جذرًا لهذه الدالة التربيعية، ومن ثم فإن التمثيل البياني لا يمكن أن يمثل هذه المعادلة.

سنتبع الخطوات نفسها مع الخيار ج. نعوض عن ﺱ بأربعة في الطرف الأيمن من معادلة الدالة التربيعية، ثم نوجد قيمة ذلك لنحصل على سالب ٤٨. بما أن هذا الناتج لا يساوي صفرًا، نستنتج أن التمثيل البياني لا يمكن أن يمثل هذه المعادلة.

باتباع العملية نفسها مع الخيار د، نجد أن القيمة المخرجة للدالة التربيعية عند ﺱ يساوي أربعة هي ٨٠. بما أن القيمة المخرجة لا تساوي صفرًا، يمكننا استنتاج أن التمثيل البياني لا يمكن أن يمثل هذه المعادلة.

لمزيد من التحقق، يمكننا أيضًا تطبيق هذه العملية على الخيار هـ. عند التعويض عن ﺱ بأربعة في الطرف الأيمن من معادلة الدالة التربيعية، وحساب قيمة ذلك، فإننا نحصل على صفر. من ثم، ﺱ يساوي أربعة هو أحد الحلول لهذه المعادلة. بالمثل، عند التعويض عن ﺱ بستة في الطرف الأيمن من معادلة الدالة التربيعية هذه، وحساب قيمة ذلك، فإننا نحصل على صفر. إذن، ﺱ يساوي ستة هو أحد الحلول لهذه المعادلة أيضًا. من ثم، الخيار هـ فقط له الجذران المعطيان في التمثيل البياني. يمكننا أيضًا ملاحظة أن هذه المعادلة هي معادلة تربيعية بدلالة المتغير ﺱ. لذا، من المتوقع أن يتخذ تمثيلها البياني شكل قطع مكافئ.

وهكذا، يمكننا استنتاج أنه من بين الخيارات الخمسة المعطاة، المعادلة المدرجة في الخيار هـ، ﺱ تربيع ناقص ١٠ﺱ زائد ٢٤ يساوي صفرًا، هي فقط التي يمكن تمثيلها بالتمثيل البياني.