نسخة الفيديو النصية
أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين للمقدار ﺱ تربيع ناقص أربعة على ﺱ تربيع ناقص تسعة مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة على ﺱ ناقص اثنين.
حسنًا، قد نرغب في الإجابة عن هذا السؤال بالتعويض عن ﺱ باثنين في هذا المقدار. دعونا نر ما سيحدث إذا فعلنا ذلك. سيصبح لدينا المقدار اثنان تربيع ناقص أربعة على اثنين تربيع ناقص تسعة مضروبًا في اثنين ناقص ثلاثة على اثنين ناقص اثنين. بالطبع، اثنان تربيع يساوي أربعة. إذن الكسر الأول هو أربعة ناقص أربعة؛ وهذا يساوي صفرًا، على أربعة ناقص تسعة؛ وهذا يساوي سالب خمسة. ولا توجد مشكلة في ذلك حتى الآن.
بالنسبة إلى الكسر الثاني، فسيكون سالب واحد على صفر. نحن نعلم أنه لا يمكننا حساب سالب واحد مقسومًا على صفر. وذلك لأن هذه قيمة غير معرفة. لذا، علينا إيجاد طريقة بديلة لحل هذه المسألة. بدلًا من التعويض المباشر، سنحاول أن نبسط المقدار بتحليله حيثما أمكن ذلك.
سنبدأ بتحليل المقدار ﺱ تربيع ناقص أربعة. هذا مثال خاص على الفرق بين مربعين. لدينا عددان مربعان تفصل بينهما علامة طرح. ومن ثم، يمكننا إيجاد الجذر التربيعي لكل جزء. الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع هو ﺱ. إذن، سنضيف ﺱ في بداية كل قوسين. الجذر التربيعي لأربعة هو اثنان. لذا، سنضيف اثنين باعتباره الجزء العددي في كل قوسين. وباستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، نجعل واحدًا من هذين موجب اثنين والآخر سالب اثنين. وسنعرف السبب عند التحقق من الإجابة.
يمكننا التحقق من إجابتنا بضرب الأقواس مرة أخرى. سنضرب الحدين الأولين بالقوسين لدينا. ﺱ مضروبًا في ﺱ يساوي ﺱ تربيع. وبعد ذلك، نضرب الحدين الخارجيين. ﺱ مضروبًا في سالب اثنين يساوي سالب اثنين ﺱ. ثم ننتقل إلى الحدين الداخليين؛ اثنان مضروبًا في ﺱ يساوي اثنين ﺱ. والحدان الأخيران؛ اثنان في سالب اثنين، يساوي سالب أربعة. نلاحظ هنا أن سالب اثنين ﺱ زائد اثنين ﺱ يساوي صفرًا. وعليه، نجد أن مفكوك ﺱ زائد اثنين في ﺱ ناقص اثنين يعطينا ﺱ تربيع ناقص أربعة كما هو مطلوب.
سنكرر هذه العملية مع ﺱ تربيع ناقص تسعة. مرة أخرى، لدينا ﺱ في بداية كل قوسين. والجذر التربيعي لتسعة هو ثلاثة. لذا، يمكننا التحليل ليصبح لدينا ﺱ زائد ثلاثة مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة. والآن، سنوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺱ زائد اثنين مضروبًا في ﺱ ناقص اثنين على ﺱ زائد ثلاثة مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة على ﺱ ناقص اثنين.
والآن يمكننا التبسيط. سنقسم كلا الطرفين على ﺱ ناقص اثنين. ثم نقسم كلا الطرفين على ﺱ ناقص ثلاثة. ويمكننا هنا ملاحظة أننا نضرب ﺱ زائد اثنين على ﺱ زائد ثلاثة في واحد. ولدينا النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺱ زائد اثنين على ﺱ زائد ثلاثة. والآن، يمكننا حساب قيمة هذه النهاية. سنعوض باثنين في هذا المقدار. ومن ثم، نحصل على اثنين زائد اثنين على اثنين زائد ثلاثة، وهو ما يساوي أربعة على خمسة.
إذن، نجد أن النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺱ تربيع ناقص أربعة على ﺱ تربيع ناقص تسعة مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة على ﺱ ناقص اثنين تساوي أربعة أخماس.
