نسخة الفيديو النصية
تدور الأقمار الصناعية المتزامنة أرضيًّا على ارتفاع 35786 كيلومترًا فوق خط الاستواء. كتلة الأرض 5.97 في 10 أس 24 كيلوجرام، ونصف قطرها 6370 كيلومترًا. ما نسبة عجلة الجاذبية عند الارتفاع الذي توجد عنده الأقمار الصناعية إلى عجلة الجاذبية على سطح الأرض؟ قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.
من المفيد هنا رسم شكل لتوضيح المسألة. لدينا هنا الأرض وقمر صناعي متزامن أرضيًّا يدور فوق خط الاستواء. نعلم من المعطيات أن القمر الصناعي يدور على ارتفاع 35786 كيلومترًا، إذن يمكننا كتابة ذلك على الشكل. ونعلم أن كتلة الأرض تساوي 5.97 في 10 أس 24 كيلوجرام، ونصف قطرها يساوي 6370 كيلومترًا. والمطلوب منا هو إيجاد نسبة عجلة الجاذبية عند الارتفاع الذي يوجد عنده القمر الصناعي إلى عجلة الجاذبية على سطح الأرض.
إذا تخيلنا شخصًا يقف على سطح الأرض، فإننا نريد إيجاد نسبة عجلة الجاذبية التي يتعرض لها هذا القمر الصناعي إلى تلك التي يتعرض لها هذا الشخص. لذلك علينا تذكر معادلة عجلة الجاذبية. تنص هذه المعادلة على أن 𝑎 تساوي 𝐺𝑀 على 𝑟 تربيع؛ حيث 𝑎 هي عجلة الجاذبية، و𝐺 هو ثابت الجذب العام، و𝑀 هي كتلة الجسم الكبير الذي تحدث الحركة بعجلة في اتجاهه، و𝑟 هي المسافة إلى مركز كتلة الجسم الكبير، وهو الأرض في هذه الحالة.
بالتركيز أولًا على القمر الصناعي، دعونا نطلق على عجلة الجاذبية عند الارتفاع الذي يوجد عنده القمر الصناعي 𝑎g. وهي تساوي ثابت الجذب العام، 𝐺، في 𝑀، وهي كتلة الأرض، مقسومًا على المسافة بين مركز الأرض وارتفاع القمر الصناعي، وسنسميها 𝑟g تربيع. الآن دعونا نقارن هذا بعجلة الجاذبية على سطح الأرض. وسنطلق عليها 𝑎e. وهي تساوي ثابت الجذب العام 𝐺 في كتلة الأرض مقسومًا على المسافة بين سطح الأرض ومركز الأرض، وهي نفسها نصف قطر الأرض. لذا دعونا نطلق عليها 𝑟e تربيع.
والآن نسبة عجلة الجاذبية عند ارتفاع القمر الصناعي إلى عجلة الجاذبية على سطح الأرض تساوي 𝑎g مقسومًا على 𝑎e. وهذا يساوي 𝑎g، الذي يساوي 𝐺𝑀 على 𝑟g تربيع، مقسومًا على 𝑎e، الذي يساوي 𝐺𝑀 على 𝑟e تربيع. وأبسط طريقة لقسمة كسر على آخر هي قلب هذا الحد الموجود هنا، وهو ما سيغير علامة القسمة هذه إلى علامة ضرب. بعبارة أخرى، 𝑎g مقسومًا على 𝑎e يساوي 𝑎g في واحد على 𝑎e. وواحد على 𝑎e يساوي 𝑟e تربيع مقسومًا على 𝐺𝑀. نلاحظ هنا أن لدينا 𝐺 في 𝑀 في كل من البسط والمقام. إذن يحذفان معًا، ويتبقى لدينا النسبة 𝑎g إلى 𝑎e تساوي 𝑟e تربيع مقسومًا على 𝑟g تربيع.
𝑟e هو نصف قطر الأرض، والذي نعلم أنه يساوي 6370 كيلومترًا. ولكن 𝑟g هي المسافة بين القمر الصناعي ومركز الأرض. لذلك علينا جمع ارتفاع القمر الصناعي فوق خط الاستواء ونصف قطر الأرض. بذلك يكون لدينا 6370 كيلومترًا تربيع مقسومًا على 35786 كيلومترًا زائد 6370 كيلومترًا الكل تربيع. عادة عندما تكون لدينا وحدة الكيلومتر، قد نرغب في تحويلها إلى وحدة المتر. لكننا هنا نحسب نسبة بها وحدة الكيلومتر في كل من البسط والمقام. لذلك ستحذف الوحدات معًا. وفي هذه الحالة يمكننا تركها كما هي.
يمكننا حساب قيمة هذا لنحصل على 0.0228. ومطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية، وبذلك تصبح القيمة الناتجة 0.023. لاحظ أن هذه القيمة ليست لها وحدة؛ لأنها نسبة بين كميتين لهما الوحدة نفسها. إذن إجابة السؤال: «ما نسبة عجلة الجاذبية عند الارتفاع الذي توجد عنده الأقمار الصناعية إلى عجلة الجاذبية على سطح الأرض؟» هي 0.023.
