فيديو الدرس: الجذور النونية: المقادير الجبرية والمعادلات الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نبسط المقادير الجبرية، ونحل المعادلات الجبرية التي تتضمن جذورًا نونية؛ حيث ﻥ عدد صحيح موجب أكبر من أو يساوي اثنين. الجذر النوني هو عملية حسابية مهمة حقًّا. إنه يصف معكوس عملية رفع مقدار جبري ما للأس ﻥ. ونعرفه بصورة منهجية بقولنا إن الجذر النوني لعدد ما ﺱ، حيث ﻥ عدد صحيح موجب، هو عدد عند رفعه للقوة النونية يعطينا ﺱ. بعبارة أخرى، إذا حددنا أن هذا العدد هو ﺹ، يمكننا القول إن ﺱ يساوي ﺹ أس ﻥ. إذن، يكتب الجذر النوني كما هو موضح. ‏ﺹ يساوي الجذر النوني لـ ﺱ.

على الرغم من أن التطرق إلى الكثير من التفاصيل ليس ضمن نطاق هذا الدرس، فإنه من الجدير بالملاحظة أنه يمكن كتابة الجذر النوني لـ ﺱ على الصورة ﺱ أس واحد على ﻥ. وهذا مفيد جدًّا لأنه يمثل أداة ستساعدنا في فهم كيفية تطبيق قواعد الأسس التي نعرفها بالفعل على التعبيرات التي تتضمن جذورًا. الخاصية الأولى للجذور النونية توضح لنا ما يحدث عند ضربها. وتنص على أنه إذا كان الجذر النوني لـ ﺃ والجذر النوني لـ ﺏ عددين حقيقيين معرفين تمامًا، فإن الجذر النوني لـ ﺃ في ﺏ يكون معرفًا أيضًا. ويعطى بالعلاقة: الجذر النوني لـ ﺃ في الجذر النوني لـ ﺏ يساوي الجذر النوني لـ ﺃ في ﺏ.

بالمثل، يمكننا حساب خارج قسمة الجذر النوني لـ ﺃ على الجذر النوني لـ ﺏ، حيث الجذر النوني لـ ﺏ لا يساوي صفرًا، وذلك بإيجاد الجذر النوني لـ ﺃ على ﺏ. بعد ذلك، دعونا نتناول الخواص الأربع التالية بعناية. أولًا، إذا كان ﻥ عددًا صحيحًا فرديًّا، فإن الجذر النوني لـ ﺃ الكل أس ﻥ يساوي الجذر النوني لـ ﺃ أس ﻥ، وهو ما يساوي ﺃ. أما إذا كان ﻥ عددًا صحيحًا زوجيًّا أكبر من أو يساوي صفرًا، فإن الجذر النوني لـ ﺃ الكل أس ﻥ يساوي ﺃ. لكن في ظل الظروف نفسها، إذا كان ﺃ أقل من صفر، فإن الجذر النوني لـ ﺃ الكل أس ﻥ يكون غير معرف على مجموعة الأعداد الحقيقية.

توضح لنا الخاصية الأخيرة ما علينا فعله إذا كان ﻥ عددًا زوجيًّا وﺃ أي عدد حقيقي. لكن هذه المرة، توضح لنا أنه يمكننا حساب الجذر النوني لـ ﺃ أس ﻥ من خلال إيجاد القيمة المطلقة لـ ﺃ أو مقياسه. وربما بدأنا نتساءل ماذا يحدث فعليًّا عندما يكون ﻥ عددًا زوجيًّا. سنتناول هذا بمزيد من التفصيل لاحقًا في هذا الفيديو. دعونا الآن نتناول مثالًا بسيطًا للغاية سيمكننا من استخدام هذه الخواص لتبسيط تعبير يتضمن جذرًا نونيًّا.

بسط الجذر التكعيبي لـ ٦٤ في ﻡ تكعيب.

ولكي نتمكن من تبسيط تعبير يتضمن جذرًا نونيًّا، حيث ﻥ يساوي هنا ثلاثة، نسترجع إحدى الخواص التي تنطبق على الجذور النونية. تخبرنا هذه الخاصية بما يحدث عندما نضرب اثنين من الجذور النونية. للعددين الحقيقيين الموجبين ﺃ وﺏ، على وجه التحديد، الجذر النوني لـ ﺃ في الجذر النوني لـ ﺏ يكافئ الجذر النوني لـ ﺃﺏ. وسوف نطبق هذه الخاصية بطريقة عكسية. ويتيح لنا هذا فصل الجذر التكعيبي لـ ٦٤ﻡ تكعيب إلى حاصل ضرب الجذر التكعيبي لـ ٦٤ والجذر التكعيبي لـ ﻡ تكعيب.

تنص الخاصية التالية التي تعنينا على أنه إذا كان ﻥ عددًا صحيحًا فرديًّا، وهو كذلك هنا، لأنه ثلاثة، فإن الجذر النوني لـ ﺃ الكل أس ﻥ يساوي الجذر النوني لـ ﺃ أس ﻥ، وهو ما يساوي ببساطة ﺃ. وهذا رائع. هذا يتيح لنا تبسيط هذا الجزء من التعبير، الجذر التكعيبي لـ ﻡ تكعيب. بما أن الجذر عدد فردي، أي بعبارة أخرى، ﻥ يساوي ثلاثة، يمكننا القول إن الجذر التكعيبي لـ ﻡ تكعيب يساوي ﻡ. وبالطبع، نعلم قيمة الجذر التكعيبي لـ ٦٤. إنها ببساطة تساوي أربعة. إذن، يمكننا التعويض بأن الجذر التكعيبي لـ ﻡ تكعيب يساوي ﻡ، والجذر التكعيبي لـ ٦٤ يساوي أربعة مرة أخرى في المعادلة السابقة. وهذا سيسمح لنا بتبسيط التعبير الأصلي.

عندما نفعل هذا، نجد أن الجذر التكعيبي لـ ٦٤ في الجذر التكعيبي لـ ﻡ تكعيب يساوي أربعة في ﻡ، وهو ما يمكن تبسيطه تبسيطًا كاملًا إلى أربعة ﻡ. وبذلك، نكون قد بسطنا الجذر التكعيبي لـ ٦٤ﻡ تكعيب. إنه أربعة ﻡ.

في هذا المثال، تناولنا ما حدث عندما يكون الجذر النوني، أي قيمة ﻥ، عددًا صحيحًا فرديًّا. في المثال التالي، سنتناول إيجاد جذر زوجي.

بسط الجذر التربيعي لـ ١٠٠ﺱ أس ١٦.

في هذا السؤال، لم تكتب قيمة ﻥ في الجذر النوني لدينا. عندما لا تكتب، فإننا نفترض أنها تساوي اثنين؛ ولهذا نعرفه بأنه جذر تربيعي. لذا، سنبسط هذا التعبير بتطبيق بعض خواص الجذور النونية، حيث ﻥ يساوي اثنين. الخاصية الأولى التي نطبقها تتناول إيجاد حاصل ضرب اثنين من الجذور النونية. وتنص على أنه عندما يكون الجذر النوني لـ ﺃ والجذر النوني لـ ﺏ عددين حقيقيين معرفين تمامًا، فإن الجذر النوني لـ ﺃ في ﺏ يكون معرفًا أيضًا. وهو الجذر النوني لـ ﺃ في الجذر النوني لـ ﺏ. يمكننا ألا نكتب قيمة ﻥ هذه ونقول إن الجذر التربيعي لـ ﺃ في الجذر التربيعي لـ ﺏ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃﺏ.

يمكننا إذن تطبيق هذه الخاصية بطريقة عكسية. وسيسمح لنا هذا بفصل الجذر التربيعي لـ ١٠٠ﺱ أس ١٦ وكتابته على صورة الجذر التربيعي لـ ١٠٠ مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ﺱ أس ١٦. وبالطبع، إذا كنا نحفظ مربعات الأعداد عن ظهر قلب، فسيكون من السهل جدًّا حساب الجزء الأول من هذا التعبير. فالجذر التربيعي لـ ١٠٠ يساوي ١٠. لكن ماذا نفعل مع الجذر التربيعي لـ ﺱ أس ١٦ ؟ حسنًا، سنستخدم القاعدة التي تنطبق عندما يكون ﻥ عددًا صحيحًا زوجيًّا وﺃ عددًا حقيقيًّا. وهي تنص على أن الجذر النوني لـ ﺃ أس ﻥ يساوي القيمة المطلقة لـ ﺃ.

كي نتمكن من تطبيق هذه القاعدة، علينا إجراء بعض العمليات، وهذا يتضمن تطبيق أحد قوانين الأسس. ينص هذا على أن ﺱ أس ثمانية الكل تربيع يساوي ﺱ أس ١٦. ومن ثم، يمكننا كتابة الجذر التربيعي لـ ﺱ أس ١٦ على نحو مكافئ على صورة الجذر التربيعي لـ ﺱ أس ثمانية الكل تربيع. وبعد ذلك، وفقًا للخاصية السابقة، يمكننا القول إن هذا يساوي بالفعل القيمة المطلقة لـ ﺱ أس ثمانية. يمكننا الآن التعويض عن كل جزء من التعبير السابق لدينا بالقيمة ١٠ والقيمة المطلقة لـ ﺱ أس ثمانية. وسنجد أننا قد بسطنا الجذر التربيعي لـ ١٠٠ﺱ أس ١٦ إلى ١٠ في القيمة المطلقة لـ ﺱ أس ثمانية.

بعد ذلك، دعونا نفكر سريعًا فيما تخبرنا به القيمة المطلقة تحديدًا. إنها تأخذ القيمة المدخلة، وهي ﺱ أس ثمانية هنا، وتجعلها موجبة. بالطبع، إذا كان ﺱ عددًا حقيقيًّا، فإن ﺱ أس ﻥ سيكون غير سالب مع قيم ﻥ الزوجية. في هذه الحالة، القوة ثمانية زوجية؛ لذا يمكننا القول إن ﺱ أس ثمانية سيكون غير سالب. سيكون أكبر من أو يساوي صفرًا إذا كان ﺱ عددًا حقيقيًّا. هذا يعني أن رمزي القيمة المطلقة غير ضروريين هنا؛ ومن ثم يمكننا تبسيط التعبير. عندما نفعل هذا، نجد أن الجذر التربيعي لـ ١٠٠ﺱ أس ١٦ يمكن تبسيطه إلى ١٠ في ﺱ أس ثمانية.

تجدر الإشارة هنا إلى أنه يجب الانتباه عند إيجاد قوى الجذور. في المثال السابق، توصلنا إلى قوة زوجية داخل جذر زوجي. لكن ماذا سيحدث إذا كان علينا تبسيط الجذر التربيعي لـ ﺱ أس ١٤؟ يمكننا البدء بالطريقة نفسها بكتابة ﺱ أس ١٤ على صورة ﺱ أس سبعة الكل تربيع. ويعني هذا أن الجذر التربيعي لـ ﺱ أس ١٤ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ أس سبعة الكل تربيع، وهو ما يساوي إذن القيمة المطلقة لـ ﺱ أس سبعة. هذه المرة، علينا الاحتفاظ برمزي القيمة المطلقة هذين. وهذا يضمن أنه مهما كانت القيمة المدخلة لـ ﺱ، فإن الجذر سيكون موجبًا. هذا يعني أننا سنأخذ الجذر الزوجي لعدد موجب؛ ومن ثم فهو معرف تمامًا.

والآن، لقد استخدمنا خواص الجذور حتى الآن في هذا الفيديو للتعبير عن جذر نوني باعتباره حاصل ضرب اثنين من الجذور النونية المختلفة. من المهم أن نعرف أنه يمكننا تعميم هذه الخاصية لتشمل كتابة الجذر على صورة حاصل ضرب ثلاثة جذور نونية أو أكثر. ومرة أخرى، إذا كان الجذر النوني لـ ﺃ والجذر النوني لـ ﺏ والجذر النوني لـ ﺟ أعدادًا حقيقية معرفة تمامًا، فإن حاصل الضرب يساوي الجذر النوني لـ ﺃﺏﺟ؛ حيث ﻥ يلزم أن يكون عددًا صحيحًا موجبًا.

دعونا نوضح هذا في المثال التالي.

اكتب الجذر التربيعي لـ ٢٥ﺃ تربيع ﺏ أس ستة في أبسط صورة.

لتبسيط هذا التعبير، نسترجع أنه إذا كان الجذر النوني لـ ﺃ، والجذر النوني لـ ﺏ، والجذر النوني لـ ﺟ معرفين تمامًا لجميع قيم ﻥ الصحيحة الموجبة، فإن حاصل ضربهم سيكون الجذر النوني لـ ﺃﺏﺟ. سنطبق هذه الخاصية بطريقة عكسية لنتمكن من كتابة التعبير الأصلي على صورة الجذر التربيعي لـ ٢٥ في الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع في الجذر التربيعي لـ ﺏ أس ستة. والآن، نعلم أن الجذر التربيعي لـ ٢٥ يساوي خمسة. لكن ماذا نفعل مع الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع والجذر التربيعي لـ ﺏ أس ستة؟

حسنًا، بما أننا نوجد الجذر التربيعي، فسنجد أن هذا الجذر جذر نوني حيث ﻥ عدد زوجي، وهو اثنان. لذا، يمكننا استخدام الخاصية التالية. وهي تنص على أنه إذا كان ﻥ عددًا زوجيًّا وﺃ عددًا حقيقيًّا، فإن الجذر النوني لـ ﺃ أس ﻥ يساوي القيمة المطلقة لـ ﺃ. ولذا، يمكننا بالفعل إعادة كتابة الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع على صورة القيمة المطلقة لـ ﺃ. لتكرار هذه العملية مع الجذر التربيعي لـ ﺏ أس ستة، علينا إعادة كتابة ﺏ أس ستة على صورة ﺏ تكعيب تربيع، وهو ما يعني أن الجذر التربيعي لـ ﺏ تكعيب الكل تربيع يساوي القيمة المطلقة لـ ﺏ تكعيب.

يمكننا الآن التعويض عن كل جذر بالقيمة التي أوجدناها. إذن، الجذر التربيعي لـ ٢٥ في الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع في الجذر التربيعي لـ ﺏ أس ستة يساوي خمسة في القيمة المطلقة لـ ﺃ في القيمة المطلقة لـ ﺏ تكعيب. إذن بما أن العدد خمسة غير سالب بطبيعته، يمكننا استخدام قواعد ضرب القيم المطلقة لإعادة كتابة التعبير ليصبح القيمة المطلقة لخمسة ﺃﺏ تكعيب. لذا في أبسط صورة، الجذر التربيعي لـ ٢٥ﺃ تربيع ﺏ أس ستة يساوي القيمة المطلقة لخمسة ﺃﺏ تكعيب.

وبذلك نكون قد أوضحنا كيفية استخدام خواص الجذور لتبسيط التعبيرات. لكن تجدر الإشارة إلى أن علينا أن ننتبه عند التعامل مع المعادلات التي تتضمن أسسًا. لنتناول، على سبيل المثال، المعادلة ﺹ تربيع يساوي ١٦. سنحل هذه المعادلة بأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين. إذن، حل المعادلة هو ﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ ١٦، وهو ما يساوي أربعة. ولكن إذا عوضنا عن ﺹ بسالب أربعة في التعبير ﺹ تربيع، فسنحصل على سالب أربعة تربيع، وهو في الواقع موجب ١٦. لذلك يوجد حل ثان لهذه المعادلة. إنه سالب أربعة. إذن، عند حل معادلة على هذه الصورة، يجب أن تتضمن الحلول الجذر التربيعي الموجب والسالب لـ ﺱ. ومن ثم، يوجد فرق دقيق حقًّا بين العبارتين اللتين تبدوان متكافئتان، ﺹ تربيع يساوي ﺱ وﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ.

دعونا نعمم ذلك. دعونا ننظر إلى المعادلة ﺹ أس ﻥ يساوي ﺱ، حيث ﺱ وﺹ عددان حقيقيان وﻥ عدد صحيح موجب. أولًا، إذا كان ﻥ عددًا زوجيًّا، لكن ﺱ سالب، فلن توجد حلول حقيقية للمعادلة ﺹ أس ﻥ يساوي ﺱ. أما إذا كان ﻥ عددًا زوجيًّا وﺱ موجبًا، يعطى الحلان بالصيغة ﺹ يساوي موجب أو سالب الجذر النوني لـ ﺱ. وبالطبع، إذا كان ﺱ يساوي صفرًا، فالحل هو ﺹ يساوي صفرًا. ومع ذلك، إذا كان ﻥ عددًا فرديًّا، فلا تهم إشارة ﺱ. سيوجد دائمًا حل واحد للمعادلة، وهو ﺹ يساوي الجذر النوني لـ ﺱ.

والآن، بما أننا نفسر العبارتين ﺹ أس ﻥ يساوي ﺱ وﺹ يساوي الجذر النوني لـ ﺱ تفسيرًا مختلفًا، يكون لدينا تعريف آخر، وهو تعريف الجذر النوني الأساسي. باستخدام هذا التعريف، سنتمكن من التفكير في الجذر النوني كدالة عن طريق جعله بحكم التعريف دالة أحادية. نقول إن كل عدد حقيقي موجب له جذر نوني واحد موجب؛ وهو الجذر النوني لـ ﺱ. وهذا يعرف باسم الجذر النوني الأساسي. فعندما يعطى، على سبيل المثال، المقدار الجذر التربيعي لأربعة، فإننا نعرف أن ما يعنينا هو اثنان فقط وليس سالب اثنين؛ لأننا لا نحل معادلة.

دعونا نوضح تطبيقًا لخواص الجذور النونية الزوجية والفردية في المثال التالي.

أوجد قيمة، أو قيم ﺱ، إذا كان ١٢ﺱ أس خمسة يساوي ٣٨٤.

سنحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ من خلال إجراء سلسلة من العمليات العكسية. نلاحظ أن ﺱ أس خمسة مضروب في ١٢. لذا سنبدأ بقسمة كلا طرفي هذه المعادلة على ١٢. ‏٣٨٤ مقسومًا على ١٢ يساوي ٣٢. إذن، يصبح لدينا ﺱ أس خمسة يساوي ٣٢. بعد ذلك، لحل هذه المعادلة، نسترجع ما نعرفه عن الجذور الزوجية والفردية. تحديدًا، إذا كانت لدينا المعادلة ﺹ أس ﻥ تساوي ﺱ، فإذا كانت ﻥ عددًا فرديًّا، فسيوجد حل واحد فقط لهذه المعادلة، وهو ﺹ يساوي الجذر النوني لـ ﺱ.

وبما أن المعادلة لدينا بدلالة ﺱ، فسنعيد كتابة ذلك. إذا كان ﺱ أس ﻥ يساوي ﺹ، فإن ﺱ يساوي الجذر النوني لـ ﺹ. والآن، في هذه الحالة، ﻥ عدد فردي؛ فهو يساوي خمسة. ولذلك، يوجد حل واحد فقط لهذه المعادلة. إنه ﺱ يساوي الجذر الخامس لـ ٣٢. لكن بالطبع، الجذر الخامس لـ ٣٢ يساوي اثنين. وبذلك، يكون الحل هو ﺱ يساوي اثنين.

سنتناول مثالًا أخيرًا. هذه المرة، سنجمع خواص الجذور النونية ونظرية الجذور النونية الزوجية والفردية التي عرضناها للتو. وهذا سيسمح لنا بحل معادلات أكثر تعقيدًا تتضمن أسسًا.

أوجد قيمة، أو قيم ﺱ، إذا كان ﺱ زائد تسعة على خمسة الكل تربيع يساوي الجذر التربيعي لـ ١٤٤ في ثلاثة تربيع.

سنبدأ بإيجاد قيمة الطرف الأيسر من هذه المعادلة. نعلم أنه يمكننا كتابته على صورة الجذر التربيعي لـ ١٤٤ في الجذر التربيعي لثلاثة تربيع. بعد ذلك، نطبق الخاصية التي تنص على أنه إذا كان ﻥ عددًا زوجيًّا وﺃ عددًا حقيقيًّا، فإن الجذر النوني لـ ﺃ أس ﻥ يساوي القيمة المطلقة لـ ﺃ. تحديدًا، الجزء الثاني من هذا التعبير يمكن اعتباره الجذر التربيعي لثلاثة تربيع. وبذلك يمكننا إعادة كتابة ذلك على أنه القيمة المطلقة لثلاثة. وبالطبع، الجذر التربيعي لـ ١٤٤ هو ١٢، لكن ثلاثة وهو عدد غير سالب. لذا، لا نحتاج في الحقيقة إلى رمزي القيمة المطلقة. وهذا يعطينا ١٢ في ثلاثة، وهو ما يساوي ٣٦. لذا دعونا نعد كتابة المعادلة كما هو موضح.

بعد ذلك، سنفكر فيما نعرفه عن حل المعادلات التي تتضمن جذورًا فردية وزوجية. وتحديدًا، إذا كان ﻥ عددًا زوجيًّا وﺱ عددًا موجبًا، فإن حلي المعادلة ﺹ أس ﻥ يساوي ﺱ هما ﺱ يساوي موجب أو سالب الجذر النوني لـ ﺹ. هذا يعني أنه إذا أخذنا الجذر التربيعي لكلا طرفي هذه المعادلة هنا، فعلينا إيجاد الجذر التربيعي الموجب والجذر التربيعي السالب لـ ٣٦. وفي الواقع، الجذر التربيعي لـ ٣٦ يساوي ستة. إذن، يمكن كتابة المعادلة على الصورة: ﺱ زائد تسعة على خمسة يساوي موجب أو سالب ستة.

لإيجاد قيم ﺱ التي تحقق المعادلة الأصلية لدينا، سنحل معادلتين: ﺱ زائد تسعة على خمسة يساوي ستة، وﺱ زائد تسعة على خمسة يساوي سالب ستة. نبدأ بضرب كل معادلة في خمسة. إذن، يمكن كتابة المعادلة الأولى على الصورة ﺱ زائد تسعة يساوي ٣٠، والمعادلة الثانية على الصورة ﺱ زائد تسعة يساوي سالب ٣٠. ثم نطرح تسعة، فنحصل على ﺱ يساوي ٢١ أو ﺱ يساوي سالب ٣٩. وبذلك نكون قد أوجدنا قيمتي ﺱ اللتين تحققان المعادلة. وإذا عوضنا بأي من هاتين القيمتين في هذه المعادلة، ستتحقق المعادلة. إذن، الإجابة هي ﺱ يساوي ٢١ وﺱ يساوي سالب ٣٩.

دعونا نلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. في هذا الفيديو، تعلمنا أن الجذر النوني لـ ﺱ، حيث ﻥ عدد صحيح موجب، هو عدد ما ﺹ حيث ﺱ يساوي ﺹ أس ﻥ. ويكتب كما هو موضح. وتعلمنا تعريف الجذر الأساسي، وقلنا إن كل عدد حقيقي موجب له جذر نوني واحد يسمى الجذر الأساسي. تعلمنا كيفية تعميم قوانين الأسس للتعامل مع الجذور النونية. وتعلمنا كيف نوجد القوة النونية للجذور النونية والعكس، عندما يكون ﻥ عددًا فرديًّا. ورأينا أنه توجد ثلاث حالات منفصلة علينا أن نضعها في الاعتبار إذا كان ﻥ عددًا زوجيًّا. ورأينا أنه علينا الانتباه جيدًا عند حل المعادلات التي تكون على الصورة ﺹ أس ﻥ يساوي ﺱ.