فيديو السؤال: إيجاد المشتقة العكسية العامة لدالة تتضمن أسسًا كسرية باستخدام قاعدة القوة للتكامل الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة تكامل سبعة في الجذر التربيعي لـ ﺱ تكعيب بالنسبة إلى ﺱ.

يطلب منا السؤال أن نوجد قيمة تكامل سبعة مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ﺱ تكعيب بالنسبة إلى ﺱ، لكننا لا نعرف كيفية إيجاد ذلك التكامل مباشرة. هذا يعني أن علينا إعادة كتابة أو وضع ما سيجرى تكامله في صورة يمكننا أن نكاملها. لحسن الحظ، يمكننا فعل ذلك باستخدام قوانين الأسس. أولًا، نتذكر أن الجذر التربيعي لـ ﺃ هو نفسه ﺃ أس نصف. باستخدام هذه الطريقة، يمكننا إعادة كتابة التكامل على صورة التكامل سبعة في ﺱ تكعيب أس نصف بالنسبة إلى ﺱ.

لكننا لم ننته بعد. لكننا لا نستطيع إيجاد هذا التكامل مباشرة. علينا استخدام قانون آخر من قوانين الأسس. نتذكر أن ﺃ أس ﺏ الكل مرفوعًا للقوة ﺟ يساوي ﺃ أس ﺏ في ﺟ. باستخدام هذه الطريقة، يمكننا أن نثبت أن ﺱ تكعيب الكل مرفوعًا للقوة نصف يساوي ﺱ أس ثلاثة على اثنين. إذن، علينا الآن إيجاد تكامل سبعة في ﺱ أس ثلاثة على اثنين بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة القوة للتكامل.

نتذكر أن قاعدة القوة للتكامل تنص على أنه لثابتين ﺃ وﻥ، حيث ﻥ لا يساوي سالب واحد، فإن تكامل ﺃﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃ في ﺱ أس ﻥ زائد واحد مقسومًا على ﻥ زائد واحد زائد ثابت التكامل ﺙ. نضيف واحدًا إلى أس ﺱ ثم نقسم على أس ﺱ الجديد. في هذه الحالة، أس ﺱ يساوي ثلاثة على اثنين؛ لذا سنجعل ﻥ يساوي ثلاثة على اثنين. بتطبيق قاعدة القوة للتكامل، حيث ﺃ يساوي سبعة وﻥ يساوي ثلاثة على اثنين، نحصل على سبعة في ﺱ أس ثلاثة على اثنين زائد واحد مقسومًا على ثلاثة على اثنين زائد واحد زائد ثابت التكامل ﺙ.

ويمكننا تبسيط ذلك لأن ثلاثة على اثنين زائد واحد يساوي خمسة على اثنين. إذن، هذا يعطينا سبعة في ﺱ أس خمسة على اثنين مقسومًا على خمسة على اثنين زائد ﺙ. ولتسهيل ذلك، سنضرب في المقلوب بدلًا من أن نقسم على الكسر خمسة على اثنين. ومقلوب خمسة على اثنين يساوي خمسين. هذا يعطينا سبعة في خمسين في ﺱ أس خمسة على اثنين زائد ﺙ. وأخيرًا، يمكننا تبسيط سبعة في خمسين ليصبح ١٤ على خمسة. إذن، نكون قد أوجدنا أن تكامل سبعة في الجذر التربيعي لـ ﺱ تكعيب بالنسبة إلى ﺱ يساوي ١٤ﺱ أس خمسة على اثنين مقسومًا على خمسة زائد ثابت التكامل ﺙ.