فيديو الدرس: إيجاد قواعد الدوال الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

لنستكشف كيف نوجد قواعد الدوال. الدالة هي علاقة تخصص قيمة مخرجة واحدة فقط لكل قيمة مدخلة. هيا نلق نظرة فاحصة على ما يعنيه ذلك.

لنأخذ المثال السابق. ندخل العدد اثنين، ثم يحدث أمر ما داخل الآلة فيخرج العدد أربعة من الجهة الأخرى. ندخل ثلاثة فيخرج ستة. ندخل أربعة فيخرج ثمانية. ما يحدث في الداخل يسمى «قاعدة الدالة». قبل المتابعة، هناك بعض المصطلحات الأخرى التي تحتاج إلى معرفتها. نستخدم تعبير «القيمة المدخلة» للحديث عما نبدأ به في الدالة. لكننا أيضًا نسميها القيمة ﺱ، ويمكن ببساطة أن نسميها ﺱ. وتسمى أيضًا مجال الدالة. إذن فهذه التعبيرات الأربعة تشير إلى الأمر نفسه: القيمة المدخلة، والقيمة ﺱ، وﺱ، والمجال. وهو القيمة التي نبدأ بها في الدالة. ربما تتساءل الآن: «هل للقيمة المخرجة أسماء أخرى؟» نعم، لها أسماء أخرى: القيمة ﺹ، أو ﺹ، أو المدى.

حسنًا، نعود إلى المثال الذي بدأنا به. لنأخذ البيانات التي لدينا ونحولها إلى جدول دالة. تذكر أن القيمة المدخلة ستكون هي القيمة ﺱ والقيمة المخرجة ستكون هي القيمة ﺹ. جدول الدالة سيكون بهذا الشكل. لنحاول الآن الإجابة عن السؤال: «ما قاعدة الدالة الممثلة بهذا الجدول؟» ماذا يحدث للاثنين لنحصل على أربعة؟ يمكنك القول: إن اثنين زائد اثنين يساوي أربعة؛ اثنان زائد اثنين يساوي أربعة. قاعدة الدالة يجب أن تنطبق على جميع قيم ﺱ وﺹ التي في الجدول. لنتأكد ونر إذا كانت كذلك. ثلاثة زائد اثنين يساوي خمسة. لكن في الجدول، القيمة المخرجة لثلاثة هي ستة. هذا يعني أن قاعدة الدالة ليست زائد اثنين. علينا التفكير في شيء آخر. نحتاج إلى عملية حسابية أخرى. ماذا عن اثنين في اثنين؟ اثنان في اثنين يعطينا أربعة، ثلاثة في اثنين يعطينا ستة، أربعة في اثنين يعطينا ثمانية، وخمسة في اثنين يعطينا ١٠. القيمة المدخلة أو القيمة ﺱ مضروبة في اثنين تساوي القيمة المخرجة؛ القيمة ﺹ. اثنان ﺱ هي قاعدة الدالة.

لننظر إلى هذا السؤال: هل العلاقة التالية تمثل دالة؟

علينا أن نتذكر تعريف الدالة: الدالة هي علاقة تخصص قيمة مخرجة واحدة فقط لكل قيمة مدخلة؛ قيمة مخرجة واحدة فقط لكل قيمة مدخلة. لنستخدم جدول دالة لنرى ما إذا كانت هذه العلاقة تخصص قيمة مخرجة واحدة فقط لكل قيمة مدخلة. عندما تكون القيمة المدخلة أربعة، تكون القيمة المخرجة سبعة. عندما تكون القيمة المدخلة خمسة، تكون القيمة المخرجة اثنين. المشكلة أن هذه ليست القيمة المخرجة الوحيدة. لذا يمكننا التوقف هنا. هذه العلاقة خصصت قيمتين مخرجتين للخمسة. ولذلك لا يمكننا تسمية العلاقة بالدالة. إجابة السؤال «هل هذه العلاقة تمثل دالة؟» هي: لا. نعرف صحة ذلك من خلال تعريف الدالة.

إليك مثالًا آخر، نحتاج فيه إلى إيجاد قاعدة دالة. لدينا جدول الدالة، والمطلوب هو إيجاد قاعدتها. علينا معرفة ما يحدث داخل الآلة. ماذا يحدث للقيم ﺱ، القيم المدخلة، لتعطينا هذه القيم المخرجة كل مرة؟

إذا نظرنا إلى القيم المخرجة المعطاة، يمكننا أن نرى أنه للانتقال من ١٠ إلى ١٤، أضفنا أربعة. ومن ١٤ إلى ١٨ أضفنا أربعة. وأيضًا ١٨ زائد أربعة يساوي ٢٢. و٢٢ زائد أربعة يساوي ٢٦. هذا هو مدخلنا إلى فهم ما يحدث هنا. والآن نتساءل: «كم ستكون القيمة المخرجة إذا كانت القيمة المدخلة صفرًا؟» بالنسبة لكل القيم المخرجة الأخرى، كنا نضيف أربعة. إذا طرحنا أربعة من ١٠، فسنعرف كم تساوي قيمة الدالة عند الصفر، إذ تساوي ستة. هذا سيساعدنا كثيرًا في الحقيقة. ما العملية التي يمكن أن تأخذ الصفر وتعطينا ستة؟ زائد ستة، أليس كذلك؟ هذا سيعني أننا نأخذ ﺱ، ونضيف ستة، وذلك يعطينا ﺹ. حسنًا، صفر زائد ستة يساوي ﺹ. الآن، هل واحد زائد ستة يساوي ١٠؟ لا. إذن لدينا مشكلة. توجد مشكلة هنا. ما الذي نضيفه إلى ستة ليعطينا ١٠؟ أربعة بالطبع. لكن القيمة ﺱ هي واحد وليست أربعة.

ماذا عن التالي: ماذا إذا حولنا القيمة ﺱ، وهي واحد، إلى أربعة عن طريق ضرب ﺱ في أربعة؟ واحد في أربعة زائد ستة يساوي ١٠. لنعد ونتحقق من الصفر: صفر في أربعة زائد ستة يساوي ستة. باختبار القيمة ﺱ التي تساوي اثنين، اثنان في أربعة يساوي ثمانية زائد ستة يساوي ١٤. هذا ينطبق أيضًا على القيمتين ثلاثة و١٨، والقيمتين أربعة و٢٢. وأخيرًا، خمسة في أربعة يساوي ٢٠ زائد ستة يساوي ٢٦. حصلنا على قاعدة الدالة: قاعدة الدالة هي أربعة ﺱ زائد ستة.

الصورة التي نستخدمها لكتابة الدوال هي ﺹ يساوي، أيًا كان ما تساويه، قاعدة الدالة. لدينا هنا ﺹ يساوي أربعة ﺱ زائد ستة؛ لأن هذه هي قاعدة الدالة حسب هذا الجدول. لنتوقف وننظر إلى هذين التعبيرين: المجال والمدى.

المجال هو مجموعة جميع القيم المدخلة، والمدى هو مجموعة جميع القيم المخرجة. ما معنى ذلك؟ هكذا يبدو المجال، وهكذا يبدو المدى. نقول: إن اثنين جزء من المجال، لكنه ليس المجال كله. ‏‏١٨ جزء من المدى أو داخل في المدى، لكنه ليس المدى كله. المجال هو جميع القيم المدخلة، والمدى هو جميع القيم المخرجة. هكذا يمكنك بنفسك.