فيديو الدرس: المشتقات الثانية للمعادلات البارامترية الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

المشتقات الثانية للمعادلات البارامترية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد المشتقات الثانية للمنحنيات المعرفة بارامتريًّا عن طريق تطبيق قاعدة السلسلة. لكي نفعل هذا هيا نبدأ بمعادلتين من المعادلات البارامترية؛ ﺱ يساوي الدالة د في المتغير ﻥ، وﺹ يساوي الدالة ر في المتغير ﻥ. نريد إيجاد مقدار يعبر عن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. لا يمكننا أن نفعل هذا مباشرة لأن ﺹ ليس معطى على صورة دالة في المتغير ﺱ. لو كان الأمر كذلك، لكنا ببساطة سنشتق ﺹ بالنسبة إلى ﺱ مرتين. لذا بدلًا من ذلك، لأن ﺹ معطى على صورة دالة في المتغير ﻥ وﺱ معطى على صورة دالة في المتغير ﻥ، يمكننا تطبيق قاعدة السلسلة لإيجاد مقدار يعبر عن دﺹ على دﺱ.

نتذكر أنه إذا كانت د دالة قابلة للاشتقاق في المتغير ﻥ ور دالة قابلة للاشتقاق في المتغير ﻥ، فإنه بتطبيق قاعدة السلسلة ونظرية الدالة العكسية، يمكننا أن نوضح أن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي دﺹ على دﻥ مقسومًا على دﺱ على دﻥ، بشرط أن يكون دﺱ على دﻥ لا يساوي صفرًا. نريد استخدام هذا لإيجاد مقدار يعبر عن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. تذكر أنه يمكننا إيجاد هذا باشتقاق دﺹ على دﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ومرة أخرى، لدينا نفس المشكلة. يمكننا ملاحظة أن دﺹ على دﺱ هي دالة في المتغير ﻥ؛ حيث دﺹ على دﻥ دالة في المتغير ﻥ، وهي تحديدًا ر شرطة ﻥ، ودﺱ على دﻥ هي أيضًا دالة في المتغير ﻥ، وهي د شرطة ﻥ. لذا لا يمكننا ببساطة أن نشتق هذا مباشرة بالنسبة إلى ﺱ. سنحتاج مرة أخرى إلى استخدام قاعدة السلسلة.

لمساعدتنا على تطبيق قاعدة السلسلة في هذا المثال، يمكننا أن نبدأ بتذكر أن قاعدة السلسلة تنص على أنه إذا كانت ﻕ دالة في المتغير ﻥ، وﻥ بدوره دالة في المتغير ﺱ؛ فإن مشتقة ﻕ بالنسبة إلى ﺱ تساوي مشتقة ﻕ بالنسبة إلى ﻥ مضروبة في مشتقة ﻥ بالنسبة إلى ﺱ. في هذه الحالة، سنجعل الدالة ﻕ تساوي دﺹ على دﺱ. وهي دالة في المتغير ﻥ. ونشتق هذا بالنسبة إلى ﺱ. ومن ثم، فتطبيق قاعدة السلسلة على هذا يعطينا مشتقة دﺹ على دﺱ بالنسبة إلى ﻥ مضروبة في دﻥ على دﺱ.

والآن يمكننا أن نرى أننا قد بسطنا هذا المقدار قليلًا. ‏دﺹ على دﺱ هي دالة في المتغير ﻥ، والآن نشتق هذا بالنسبة إلى ﻥ. لذا يمكننا أن نحاول فعل هذا باستخدام نتائج المشتقات. يمكننا ملاحظة أننا نحاول اشتقاق ﻥ بالنسبة إلى ﺱ، ولكن ﻥ ليس معطى لنا على صورة دالة في المتغير ﺱ. بدلًا من ذلك، ﺱ معطى لنا على صورة دالة في المتغير ﻥ. وقد رأينا من قبل كيف نتجاوز هذه المشكلة عندما حاولنا أن نوجد دﺹ على دﺱ باستخدام قاعدة السلسلة ونظرية الدالة العكسية. بتطبيق نظرية الدالة العكسية على دﻥ على دﺱ، يمكننا أن نوضح أنه يساوي واحدًا مقسومًا على دﺱ على دﻥ، بشرط ألا يساوي المقام صفرًا.

يمكننا الآن إعادة كتابة دﻥ على دﺱ باستخدام نظرية الدالة العكسية لإيجاد مقدار يعبر عن د اثنين ﺹ على دﺱ تربيع. يعطينا هذا أن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي مشتقة دﺹ على دﺱ بالنسبة إلى ﻥ مقسومة على دﺱ على دﻥ، بشرط ألا يساوي دﺱ على دﻥ صفرًا. وهذه نتيجة مفيدة جدًّا. إذا كان ﺹ وﺱ معرفين بارامتريًّا، إذن يمكننا إيجاد مقدار يعبر عن د اثنين ﺹ على دﺱ تربيع باشتقاق دﺹ على دﺱ بالنسبة إلى ﻥ وقسمة هذا على مشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﻥ. ومن ثم، تجدر ملاحظة أنه لاستخدام هذه الصيغة، علينا إيجاد مقدار يعبر عن دﺹ على دﺱ. ولفعل هذا، علينا استخدام الصيغة الأخرى التي لدينا. هيا نتناول الآن بعض الأمثلة على تطبيق هذه الصيغة لإيجاد المشتقات الثانية للمعادلات البارامترية.

إذا كان ﺱ يساوي ثلاثة ﻥ تربيع زائد واحد وﺹ يساوي ثلاثة ﻥ تربيع زائد خمسة ﻥ، فأوجد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ.

في هذا السؤال، المطلوب منا هو إيجاد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا ملاحظة أمر مثير للاهتمام. وهو أن ﺹ ليس معطى على صورة دالة في المتغير ﺱ. بدلًا من ذلك، معطى لنا معادلتان بارامتريتان بدلالة المتغير ﻥ. هذا يعني أننا سنحتاج إلى اشتقاق هذا باستخدام الاشتقاق البارامتري.

قبل أن نسترجع صيغة إيجاد المشتقة الثانية للمعادلات البارامترية، يمكننا ملاحظة أننا نعرف أن ﺱ دالة قابلة للاشتقاق في المتغير ﻥ، وأن ﺹ دالة قابلة للاشتقاق في المتغير ﻥ لأنهما كثيرتا حدود. وهذا يساعد على تبرير أنه يمكننا استخدام هذه الصيغة لإيجاد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، التي نتذكر أنها تساوي مشتقة دﺹ على دﺱ بالنسبة إلى ﻥ مقسومة على دﺱ على دﻥ. ولن يكون هذا صحيحًا إلا إذا كان دﺱ على دﻥ قيمة غير صفرية.

لاستخدام هذا لإيجاد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، علينا أولًا إيجاد مقدار يعبر عن دﺹ على دﺱ. ويمكننا أن نسترجع أنه إذا كان ﺱ وﺹ معطيين على صورة معادلتين بارامتريتين بدلالة المتغير ﻥ، فإن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﻥ مقسومة على مشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﻥ. ومجددًا، هذا بشرط أن تكونا ﺹ وﺱ دالتين قابلتين للاشتقاق في المتغير ﻥ، وأن تكون دﺱ على دﻥ قيمة غير صفرية.

نحن الآن مستعدون للبدء في إيجاد مقدار يعبر عن د اثنين ﺹ على دﺱ تربيع. نلاحظ أن علينا أولًا إيجاد مقدارين يعبران عن دﺹ على دﻥ ودﺱ على دﻥ. دعونا نبدأ بإيجاد دﺹ على دﻥ. هذا يساوي مشتقة ثلاثة ﻥ تربيع زائد خمسة ﻥ بالنسبة إلى ﻥ. وبما أن هذه كثيرة حدود، فإنه يمكننا فعل هذا حدًّا تلو الآخر باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. نضرب في أس ﻥ ثم نطرح واحدًا من الأس. نحصل على ستة ﻥ زائد خمسة. يمكننا اتباع الخطوات نفسها لإيجاد دﺱ على دﻥ. تلك هي مشتقة ثلاثة ﻥ تربيع زائد واحد بالنسبة إلى ﻥ. ومجددًا، نطبق قاعدة القوة للاشتقاق حدًّا تلو الآخر. وهذه المرة نحصل على ستة ﻥ.

يمكننا الآن أن نعوض بهذين المقدارين في صيغة دﺹ على دﺱ. ومن ثم، هذا يعطينا أن دﺹ على دﺱ يساوي ستة ﻥ زائد خمسة مقسومًا على ستة ﻥ. ويمكننا ترك هذا المقدار هكذا. ومع ذلك، نعرف أنه في صيغة د اثنين على دﺱ تربيع التي لدينا سنحتاج إلى اشتقاق هذا بالنسبة إلى ﻥ. وعلى الرغم من أنه يمكننا إيجاد هذه المشتقة باستخدام قاعدة القسمة، فإنه من الأسهل أن نقسم كلا حدي البسط على ستة ﻥ. وبما أن ستة ﻥ مقسومًا على ستة ﻥ يساوي واحدًا، ويمكن إعادة كتابة خمسة مقسومًا على ستة ﻥ على صورة خمسة أسداس ﻥ أس سالب واحد؛ فإننا قد أوجدنا أن دﺹ على دﺱ يساوي واحدًا زائد خمسة أسداس ﻥ أس سالب واحد.

بعد ذلك، يمكننا اشتقاق هذا باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. واشتقاق هذا أسهل بكثير لأنه يمكننا فعل هذا ببساطة باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. يمكننا الآن أن نبدأ بالتعويض في هذه الصيغة. ومع ذلك، من الأسهل أن نوجد بسط الكسر في الطرف الأيسر من المعادلة على نحو منفصل. نريد إيجاد مشتقة دﺹ على دﺱ بالنسبة إلى ﻥ. وتلك هي مشتقة خمسة أسداس ﻥ أس سالب واحد بالنسبة إلى ﻥ. ويمكننا أن نوجد هذا حدًّا تلو الآخر باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. نحصل على خمسة أسداس أس سالب اثنين.

يمكننا تبسيط هذا قليلًا باستخدام قوانين الأسس. الضرب في ﻥ أس سالب اثنين هو نفسه القسمة على ﻥ تربيع. لذا يمكننا إعادة كتابة هذا على صورة سالب خمسة على ستة ﻥ تربيع. نحن الآن مستعدون للتعويض بهذا وبالمقدار الذي لدينا، ويعبر عن دﺱ على دﻥ، في صيغة د اثنين ﺹ على دﺱ تربيع التي لدينا. يعطينا هذا أن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب خمسة على ستة ﻥ تربيع الكل مقسوم على ستة ﻥ. ويمكننا تبسيط هذا. القسمة على ستة ﻥ هي نفسها الضرب في واحد على ستة ﻥ. ومن ثم، يمكننا إيجاد هذا. ستة ﻥ تربيع في ستة ﻥ يساوي ٣٦ﻥ تكعيب. إذن هذا يعطينا سالب خمسة على ٣٦ﻥ تكعيب، وهي إجابتنا النهائية.

ومن ثم، تمكنا من توضيح أنه إذا كان ﺱ يساوي ثلاثة ﻥ تربيع زائد واحد، وﺹ يساوي ثلاثة ﻥ تربيع زائد خمسة ﻥ؛ فإن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب خمسة مقسومًا على ٣٦ﻥ تكعيب.

هيا نتناول الآن مثالًا علينا فيه إيجاد المشتقة الثانية لمعادلتين بارامتريتين عند نقطة معطاة.

إذا كان ﺹ يساوي سالب خمسة ﺱ تكعيب ناقص سبعة وﻉ يساوي ثلاثة ﺱ تربيع زائد ١٦، فأوجد المشتقة الثانية لـ ﻉ بالنسبة إلى ﺹ عندما يكون ﺱ يساوي واحدًا.

في هذا السؤال، المطلوب منا هو إيجاد المشتقة الثانية لـ ﻉ بالنسبة إلى ﺹ. ومطلوب منا أن نفعل هذا عند ﺱ يساوي واحدًا لأن ﻉ ليس معطى لنا على صورة دالة في المتغير ﺹ. بدلًا من ذلك، معطى لنا ﻉ وﺹ على صورة معادلتين بارامتريتين. لذا نريد أن نفعل هذا باستخدام الاشتقاق البارامتري. ولكي نفعل هذا، علينا أولًا ملاحظة أن ﺹ وﻉ كثيرتا حدود، ولذلك فهما دالتان قابلتان للاشتقاق في المتغير ﺱ. بعد ذلك يمكننا استرجاع أنه إذا كان ﻉ دالة قابلة للاشتقاق في المتغير ﺱ، وكان ﺹ دالة قابلة للاشتقاق في المتغير ﺱ؛ فإن المشتقة الثانية لـ ﻉ بالنسبة إلى ﺹ تساوي مشتقة دﻉ على دﺹ بالنسبة إلى ﺱ مقسومة على دﺹ على دﺱ.

ومع ذلك، لا يمكننا ببساطة أن نستخدم مباشرة هذه الصيغة للإجابة عن هذا السؤال، لأنه لا يمكننا اشتقاق ﻉ بالنسبة إلى ﺹ مباشرة. بدلًا من ذلك، سنحتاج إلى استخدام قاعدة السلسلة، التي إذا استخدمناها جنبًا إلى جنب مع نظرية الدالة العكسية، فستخبرنا بأن دﻉ على دﺹ يساوي دﻉ على دﺱ مقسومًا على دﺹ على دﺱ. وهذا سيتيح لنا الآن أن نجيب عن هذا السؤال. علينا إيجاد مقدارين يعبران عن دﺹ على دﺱ ودﻉ على دﺱ. دعونا نبدأ بإيجاد مقدار يعبر عن دﺹ على دﺱ. تلك هي مشتقة سالب خمسة ﺱ تكعيب ناقص سبعة بالنسبة إلى ﺱ. هذا مقدار كثير الحدود في ﺱ، لذا يمكننا أن نفعل هذا حدًّا تلو الآخر باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. نضرب في أس ﺱ ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. وهذا يعطينا أن دﺹ على دﺱ يساوي سالب ١٥ﺱ تربيع.

يمكننا اتباع الخطوات نفسها لإيجاد دﻉ على دﺱ. تلك هي مشتقة ثلاثة ﺱ تربيع زائد ١٦ بالنسبة إلى ﺱ. ونطبق قاعدة القوة للاشتقاق على حد تلو الآخر لنحصل على ستة ﺱ. والآن بعد أن أصبح لدينا مقداران يعبران عن دﻉ على دﺱ ودﺹ على دﺱ، يمكننا أن نعوض بهذين المقدارين في الصيغة التي لدينا لإيجاد دﻉ على دﺹ. عندما نفعل هذا، نجد أن دﻉ على دﺹ يساوي ستة ﺱ مقسومًا على سالب ١٥ﺱ تربيع، ويمكننا تبسيط هذا. أولًا، يمكننا حذف العامل المشترك ﺱ من البسط والمقام. بعد ذلك، يمكننا حذف العامل المشترك ثلاثة من البسط والمقام. فيصبح لدينا سالب اثنين مقسومًا على خمسة ﺱ.

الآن يمكننا التعويض بهذين المقدارين في الصيغة: د اثنان ﺹ على دﺱ تربيع. ومع ذلك، من الأسهل أن نحسب البسط في الطرف الأيسر من المعادلة على حدة. يعطينا هذا أن مشتقة دﻉ على دﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي مشتقة سالب اثنين على خمسة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا إيجاد هذه المشتقة بإعادة كتابة سالب اثنين على خمسة ﺱ على صورة سالب خمسي ﺱ أس سالب واحد. بعد ذلك، يمكننا اشتقاق هذا باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. نضرب في أس ﺱ ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. هذا يعطينا خمسي ﺱ أس سالب اثنين، وهو ما يمكننا إعادة كتابته على صورة اثنين على خمسة ﺱ تربيع.

الآن يمكننا التعويض بهذين المقدارين في الصيغة: د اثنان ﻉ على دﺹ تربيع. يعطينا هذا أن المشتقة الثانية لـ ﻉ بالنسبة إلى ﺹ تساوي اثنين مقسومًا على خمسة ﺱ تربيع الكل مقسوم على سالب ١٥ﺱ تربيع. ويمكننا تبسيط هذا. القسمة على سالب ١٥ﺱ تربيع هي نفسها الضرب في مقلوب سالب ١٥ﺱ تربيع. وحيث إن خمسة ﺱ تربيع مضروبًا في ١٥ﺱ تربيع يساوي ٧٥ﺱ أس أربعة، يبسط هذا ليعطينا سالب اثنين مقسومًا على ٧٥ﺱ أس أربعة.

ولكننا لم ننته بعد. تذكر أنه في هذا السؤال، المطلوب منا هو إيجاد قيمة المشتقة الثانية لـ ﻉ بالنسبة إلى ﺹ عند ﺱ يساوي واحدًا. ويمكننا إيجاد قيمة هذا بالتعويض بـ ﺱ يساوي واحدًا في المقدار المعبر عن د اثنين ﻉ على دﺹ تربيع. نحصل على سالب اثنين مقسومًا على ٧٥ في واحد أس أربعة، وهو ما يمكننا حساب أنه يساوي سالب اثنين مقسومًا على ٧٥. إذن، تمكنا من توضيح أنه إذا كان ﺹ يساوي سالب خمسة ﺱ تكعيب ناقص سبعة وﻉ يساوي ثلاثة ﺱ تربيع زائد ١٦، فإن قيمة المشتقة الثانية لـ ﻉ بالنسبة إلى ﺹ عند ﺱ يساوي واحدًا تساوي سالب اثنين على ٧٥.

في المثال التالي، سيكون علينا استخدام الاشتقاق البارامتري لإيجاد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. ومع ذلك، إحدى المعادلتين البارامتريتين ستكون معرفة ضمنيًّا.

إذا كان ﺱ يساوي اثنين قا خمسة ﻉ والجذر التربيعي لثلاثة ﺹ يساوي ظا خمسة ﻉ، فأوجد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ.

في هذا السؤال، المطلوب منا هو إيجاد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. ولكن يمكننا أن نلاحظ أن ﺹ ليس معطى على صورة دالة في المتغير ﺱ. بدلًا من ذلك، ﺱ معطى على صورة دالة في المتغير ﻉ. وكذلك ﺹ معرف ضمنيًّا بدلالة ﻉ. هذا يعني أنه لإيجاد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، سيكون علينا استخدام نتيجتين. سيكون علينا استخدام الاشتقاق البارامتري لإيجاد مقدار يعبر عن د اثنين ﺹ على دﺱ تربيع.

توجد طريقتان يمكننا استخدامهما لإيجاد مقدار يعبر عن دﺹ على دﻉ. يمكننا إما تربيع كلا طرفي المعادلة وإعادة الترتيب لإيجاد معادلة لـ ﺹ بدلالة ﻉ، أو استخدام الاشتقاق الضمني. كلتا الطريقتين تمكننا من حل المسألة. يمكننا أن نبدأ باسترجاع الصيغة الآتية للمشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. إنها تساوي مشتقة دﺹ على دﺱ بالنسبة إلى ﻉ مقسومة على دﺱ على دﻉ؛ حيث إن ﺱ وﺹ معرفان بارامتريًّا بدلالة ﻉ. ولاستخدام هذه النتيجة، علينا أولًا إيجاد مقدار يعبر عن دﺹ على دﺱ بدلالة ﻉ. ويمكننا إيجاد هذا باستخدام قاعدة السلسلة ونظرية الدالة العكسية، التي تخبرنا أن دﺹ على دﺱ سيساوي دﺹ على دﻉ مقسومًا على دﺱ على دﻉ.

ومن ثم، يمكننا إيجاد مقدار يعبر عن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ بإيجاد مقدار يعبر عن دﺹ على دﻉ ودﺱ على دﻉ. هيا نبدأ بإيجاد مقدار يعبر عن دﺱ على دﻉ. تلك هي مشتقة اثنين قا خمسة ﻉ بالنسبة إلى ﻉ. يمكننا أن نفعل هذا باسترجاع أن مشتقة قا ﻙ𝜃، لأي عدد ثابت حقيقي ﻙ، تساوي ﻙ في قا ﻙ𝜃 مضروبًا في ظا ﻙ𝜃. لذا، دﺱ على دﻉ يساوي ١٠ قا خمسة ﻉ ظا خمسة ﻉ.

علينا الآن إيجاد مقدار يعبر عن دﺹ على دﻉ. وكما ذكرنا سابقًا، توجد طريقتان يمكننا فعل هذا بهما. وترجع مسألة اختيار أي من الطريقتين إلى التفضيل الشخصي. سنشتق كلا طرفي هذه المعادلة بالنسبة إلى ﻉ. لاشتقاق جذر ثلاثة ﺹ بالنسبة إلى ﻉ، سيكون علينا استخدام الاشتقاق الضمني. لجعل هذا أسهل، لنبدأ بإعادة كتابة جذر ثلاثة ﺹ على صورة جذر ثلاثة مضروبًا في ﺹ أس نصف. يمكننا الآن اشتقاق هذا بالنسبة إلى ﻉ باستخدام قاعدة السلسلة.

أولًا، ﺹ هي دالة في المتغير ﻉ، لذا علينا أن نشتق ﺹ بالنسبة إلى ﻉ. ثم نضرب هذا في مشتقة هذا المقدار بالنسبة إلى ﺹ. سنوجد هذا باستخدام قاعدة السلسلة. نضرب في أس ﺹ، وهو نصف، ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. هذا يعطينا: دﺹ على دﻉ مضروبًا في جذر ثلاثة على اثنين في ﺹ أس سالب نصف. ثم علينا أن نشتق الطرف الأيسر من هذه المعادلة بالنسبة إلى ﻉ. تلك هي مشتقة ظا خمسة ﻉ بالنسبة إلى ﻉ. ويمكننا إيجاد هذا. إنه خمسة في قا تربيع خمسة ﻉ.

تذكر أننا نريد إيجاد مقدار يعبر عن دﺹ على دﻉ. لذا، سيكون علينا أن نعيد ترتيب هذه المعادلة لنجعل دﺹ على دﻉ في طرف بمفرده. يمكننا ببساطة أن نضرب كلا طرفي المعادلة في جذر ﺹ. يمكننا أن نضرب كلا طرفي المعادلة في اثنين ونقسم كلا طرفيها على جذر ثلاثة. هذا يعطينا: دﺹ على دﻉ يساوي ١٠ على جذر ثلاثة مضروبًا في جذر ﺹ في قا تربيع خمسة ﻉ. لكن، تذكر أنه سيكون علينا اشتقاق المقدار الذي يعبر عن دﺹ على دﺱ بالنسبة إلى ﻉ. لذا، لا نريد أي حدود بدلالة ﺹ في المقدار الذي لدينا. ويمكننا أن نتفادى هذا بملاحظة أنه يمكننا إيجاد مقدار يعبر عن جذر ﺹ بدلالة ﻉ. نعرف من المعطيات أن جذر ثلاثة ﺹ يساوي ظا خمسة ﻉ. إذا قسمنا كلا طرفي هذه المعادلة على جذر ثلاثة، نجد أن جذر ﺹ يساوي واحدًا على جذر ثلاثة في ظا خمسة ﻉ.

يمكننا التعويض بهذا في المقدار الذي يعبر عن دﺹ على دﻉ. هذا يعطينا ١٠ على جذر ثلاثة مضروبًا في واحد على جذر ثلاثة في ظا خمسة ﻉ مضروبًا في قا تربيع خمسة ﻉ. ويمكننا تبسيط هذا قليلًا. جذر ثلاثة مضروبًا في جذر ثلاثة يساوي ثلاثة. لذا دﺹ على دﻉ يساوي ١٠ على ثلاثة ظا خمسة ﻉ مضروبًا في قا تربيع خمسة ﻉ. يمكننا التعويض بهذا المقدار والمقدار المعبر عن دﺱ على دﻉ لإيجاد مقدار يعبر عن دﺹ على دﺱ. إذن، يعطينا هذا أن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ١٠ على ثلاثة ظا خمسة ﻉ في قا تربيع خمسة ﻉ مقسومًا على ١٠ قا خمسة ﻉ ظا خمسة ﻉ. ويمكننا تبسيط هذا. يمكننا حذف العامل المشترك قا خمسة ﻉ من البسط والمقام. ويمكننا حذف العامل المشترك ظا خمسة ﻉ من البسط والمقام. ويمكننا أيضًا حذف العامل المشترك ١٠ من البسط والمقام. فيتبقى لدينا ثلث في قا خمسة ﻉ.

نحن الآن جاهزون تقريبًا لإيجاد مقدار يعبر عن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. لنبدأ بإيجاد بسط الطرف الأيسر من الصيغة. لنبدأ أولًا بإفراغ بعض المساحة. نريد اشتقاق المقدار المعبر عن دﺹ على دﺱ بالنسبة إلى ﻉ. تلك هي مشتقة ثلث قا خمسة ﻉ بالنسبة إلى ﻉ. ويمكننا إيجاد هذا. إنه يساوي خمسة أثلاث في قا خمسة ﻉ مضروبًا في ظا خمسة ﻉ.

يمكننا الآن التعويض بهذا في الصيغة: د اثنان ﺹ على دﺱ تربيع. إذن يعطينا هذا أن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي خمسة على ثلاثة في قا خمسة ﻉ ظا خمسة ﻉ الكل مقسوم على ١٠ قا خمسة ﻉ مضروبًا في ظا خمسة ﻉ. ويمكننا إيجاد هذا. يمكننا حذف العامل المشترك قا خمسة ﻉ في ظا خمسة ﻉ من البسط والمقام. ويمكننا أيضًا حذف العامل المشترك خمسة من البسط والمقام. هذا يعطينا ثلثًا مقسومًا على اثنين، وهو ما يمكن إيجاد أنه يساوي سدسًا، وتلك هي إجابتنا النهائية. إذن، تمكنا من إيجاد أنه إذا كان ﺱ يساوي اثنين في قا خمسة ﻉ والجذر التربيعي لثلاثة ﺹ يساوي ظا خمسة ﻉ، فإن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سدسًا.

دعونا الآن نلخص بعض النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. تمكنا من توضيح أنه إذا كان ﺹ دالة قابلة للاشتقاق د في المتغير ﻥ وﺱ دالة قابلة للاشتقاق ر في المتغير ﻥ، فإنه يمكننا إيجاد مقدار يعبر عن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ بتطبيق قاعدة السلسلة ونظرية الدالة العكسية. أوضحنا أن د اثنين ﺹ على دﺱ تربيع يساوي مشتقة دﺹ على دﺱ بالنسبة إلى ﻥ مقسومة على دﺱ على دﻥ. وهذا بشرط أن يكون دﺱ على دﻥ قيمة غير صفرية، ويمكننا إيجاد دﺹ على دﺱ بقسمة دﺹ على دﻥ على دﺱ على دﻥ.