فيديو السؤال: إيجاد المسافة العمودية بين نقطة معطاة وخط مستقيم الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد طول الخط العمودي المرسوم من النقطة ﺃ التي إحداثياتها سالب واحد، سالب سبعة إلى الخط المستقيم المار بالنقطتين: ﺏ التي إحداثياتها ستة، سالب أربعة؛ وﺟ التي إحداثياتها تسعة، سالب خمسة.

قد يبدو هذا السؤال معقدًا للغاية، لكن إيجاد المسافة العمودية من نقطة إلى خط مستقيم هو أمر ممكن. في الواقع، لدينا صيغة. وتنص على أن المسافة العمودية من نقطة إحداثياتها ﺱ واحد، ﺹ واحد إلى الخط المستقيم الذي معادلته ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا تساوي القيمة المطلقة لـ ﺃ في ﺱ واحد زائد ﺏ في ﺹ واحد زائد ﺟ الكل على الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. إننا نحاول إيجاد طول الخط العمودي المرسوم من النقطة ﺃ التي إحداثياتها سالب واحد، سالب سبعة. إذن، سنجعل ﺱ واحد يساوي سالب واحد وﺹ واحد يساوي سالب سبعة.

والآن، ما يعنينا هو الخط المستقيم المار بالنقطتين ﺏ وﺟ. لذلك، سنحتاج إلى إجراء بعض الحسابات لإيجاد معادلته. يمكننا إيجاد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين ﺏ وﺟ باستخدام إحدى هاتين الصيغتين. الصيغة الأولى هي ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد؛ حيث ﺱ واحد، ﺹ واحد إحداثيات النقطة التي يمر بها هذا الخط المستقيم، وﻡ هو ميله. وبالمثل، يمكننا استخدام المعادلة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ. هذه المرة أيضًا ﻡ هو الميل، وﺟ هو الجزء المقطوع من المحور ﺹ.

في هذا الفيديو، سنستخدم الصيغة الأولى. يتضح تمامًا الآن أننا سنحتاج إلى حساب ميل الخط المستقيم الذي يمر بكل من ﺏ وﺟ قبل فعل أي شيء آخر. لذا، سنستخدم الصيغة ﻡ يساوي ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد. تمثل ﺱ واحد، ﺹ واحد وﺱ اثنان، ﺹ اثنان إحداثيات نقطتين يمر بهما الخط المستقيم. في الواقع، لا يهم أي نقطة نختارها لتكون ﺱ واحدًا، ﺹ واحدًا، وأي نقطة نختارها لتكون ﺱ اثنين، ﺹ اثنين. لكن ما علينا التأكد منه هو أن إحدى النقطتين ستكون إحداثياتها ﺱ واحدًا، ﺹ واحدًا، وليست ﺱ واحدًا، ﺹ اثنين مثلًا.

وبالتعويض، نجد أن ميل الخط المستقيم المار بالنقطتين ﺏ وﺟ يساوي سالب خمسة ناقص سالب أربعة على تسعة ناقص ستة. سالب خمسة ناقص سالب أربعة يساوي سالب خمسة زائد أربعة، وهو ما يساوي سالب واحد. إذن، ميل الخط المستقيم الذي يعنينا هو سالب ثلث. وباستخدام النقطة ﺏ، تصبح معادلة الخط المستقيم هي ﺹ ناقص سالب أربعة يساوي سالب ثلث في ﺱ ناقص ستة. والآن، علينا كتابة معادلة الخط المستقيم على الصورة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا.

نبدأ بفك الأقواس بالتوزيع. ‏ﺹ ناقص سالب أربعة يساوي ﺹ زائد أربعة. بعد ذلك، لدينا سالب ثلث في ﺱ ناقص ستة يساوي سالب ثلث ﺱ زائد اثنين. سنبدأ بإضافة ثلث ﺱ إلى كلا طرفي المعادلة. نحصل إذن على ثلث ﺱ زائد ﺹ زائد أربعة يساوي اثنين. لا تزال هذه المعادلة في غير الصورة الصحيحة؛ لذا سنطرح اثنين من طرفي المعادلة لكي تصبح على الصورة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا. ومن ثم، نجد أن معادلة الخط المستقيم هي ثلث ﺱ زائد ﺹ زائد اثنين يساوي صفرًا. الآن، سنفرغ بعض المساحة لكتابة الخطوة التالية.

عند مقارنة معادلة الخط المستقيم ﺏﺟ بالمعادلة في الصيغة لدينا، نجد أن ﺃ يساوي ثلثًا. ‏ﺏ هو معامل ﺹ، إذن فهو يساوي واحدًا. وﺟ هو الثابت، إذن فهو يساوي اثنين. لقد حددنا من قبل أن ﺱ واحد يساوي سالب واحد وﺹ واحد يساوي سالب سبعة. إذن، المسافة تساوي القيمة المطلقة لـ ﺃ في ﺱ واحد؛ أي ثلث في سالب واحد، زائد ﺏ في ﺹ واحد؛ أي واحد في سالب سبعة، زائد ﺟ؛ وهو اثنين. نقسم هذا كله على الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. أي نقسم على الجذر التربيعي لثلث تربيع زائد واحد تربيع.

هيا نبسط ذلك قليلًا. ومن ثم، نلاحظ أن البسط يصبح القيمة المطلقة لسالب ثلث ناقص سبعة زائد اثنين. ويصبح المقام الجذر التربيعي لتسع زائد واحد. سنعيد كتابة سالب سبعة على الصورة سالب ٢١ على ثلاثة، واثنين على الصورة ستة على ثلاثة. نفعل ذلك لكي نتمكن من إيجاد مقام مشترك، ومن ثم يتسنى لنا أن نجمع الكسور ونطرحها، إذا لزم الأمر. عندما نفعل ذلك، نجد أن سالب ثلث ناقص ٢١ على ثلاثة زائد ستة أثلاث يساوي سالب ١٦ على ثلاثة.

وبالمثل، نكتب العدد واحدًا الموجود في المقام على الصورة تسعة على تسعة. ونجد أن تسعًا زائد واحد يساوي تسعًا زائد تسعة على تسعة، وهو ما يساوي ١٠ على تسعة. بعد ذلك، بإيجاد القيمة المطلقة لسالب ١٦ على ثلاثة، نحصل على ١٦ على ثلاثة. ويكون المقام هو الجذر التربيعي لـ ١٠ أتساع. الآن، سنفرغ بعض المساحة لتوضيح الخطوات القليلة الأخيرة. سنكتب ١٦ على ثلاثة على الجذر التربيعي لـ ١٠ أتساع على الصورة ١٦ على ثلاثة مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ١٠ على تسعة. تذكر أن هذين التعبيرين متماثلان.

نتذكر بعد ذلك أنه يمكننا كتابة الجذر التربيعي لـ ١٠ أتساع على صورة الجذر التربيعي لـ ١٠ على الجذر التربيعي لتسعة. وبالطبع، الجذر التربيعي لتسعة يساوي ثلاثة. بعد ذلك، نتذكر أنه عند القسمة على كسر، فإننا نضرب في مقلوبه. إذن، يصبح ذلك ١٦ على ثلاثة في ثلاثة على جذر ١٠. بعد ذلك، يمكننا التبسيط بحذف العامل المشترك ثلاثة. وبهذا نجد أن المسافة تساوي ١٦ على جذر ١٠. علينا إنطاق مقام الكسر؛ لذا نضرب كلًّا من بسط الكسر ومقامه في الجذر التربيعي لـ ١٠.

نتذكر أنه يمكننا فعل ذلك؛ لأن الجذر التربيعي للعدد ١٠ على الجذر التربيعي للعدد ١٠ يساوي واحدًا. إذن، هذا لا يغير قيمة الكسر. وعليه، يصبح البسط ١٦ جذر ١٠. لكن المقام يساوي الجذر التربيعي لـ ١٠ في الجذر التربيعي لـ ١٠، وهو ما يساوي ١٠. خطوتنا الأخيرة هي التبسيط بقسمة كل من بسط الكسر ومقامه على اثنين، ومن ثم نحصل على ثمانية جذر ١٠ على خمسة. وعليه، نكون قد وجدنا أن طول الخط العمودي المرسوم من النقطة ﺃ التي إحداثياتها سالب واحد، سالب سبعة إلى الخط المستقيم المار بالنقطتين ﺏ وﺟ يساوي ثمانية جذر ١٠ على خمسة وحدة طول.