فيديو السؤال: تحليل وزن في حالة اتزان بواسطة خيط مربوط بحائط رأسي وقوة أفقية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

علق جسم يزن ﻭ في أحد طرفي خيط طوله ٢٥ سنتيمترًا. اتزن الجسم بتأثير قوة أفقية مقدارها ٩٣ ثقل جرامًا، أبقت الجسم على مسافة ١٥ سنتيمترًا من السطح العمودي. أوجد ﺵ وﻭ.

للإجابة عن هذا السؤال، نفترض أن لدينا مثلث قوى في حالة اتزان. توجد ثلاث قوى تؤثر على النقطة ﺟ. ولدينا وزن الجسم ﻭ، والقوة الأفقية التي مقدارها ٩٣ ثقل جرامًا، وقوة الشد في الخيط. بما أن النظام في حالة اتزان، فلا توجد قوة محصلة. ولتكوين مثلث قوى محصلته تساوي صفرًا، يجب أن تتساوى النسبة بين مقادير القوى مع النسبة بين أطوال أضلاع المثلث.

سنبدأ إذن بحساب طول الضلع الناقص في المثلث، وهو الضلع ﺃﺏ. تنص نظرية فيثاغورس على أن ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي ﺟ تربيع، حيث ﺟ هو طول الضلع الأطول في المثلث القائم الزاوية، وﺃ وﺏ هما طولا الضلعين القصيرين. بالتعويض بالقيم الموضحة في الشكل، يصبح لدينا ﺱ تربيع زائد ١٥ تربيع يساوي ٢٥ تربيع. يبسط هذا إلى ﺱ تربيع زائد ٢٢٥ يساوي ٦٢٥ . وبطرح ٢٢٥ من كلا الطرفين، نحصل على ﺱ تربيع يساوي ٤٠٠ . يمكننا بعد ذلك أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة. وبما أن قيمة ﺱ يجب أن تكون موجبة، يصبح لدينا ﺱ يساوي ٢٠ . وعليه، فإن طول الضلع ﺃﺏ يساوي ٢٠ سنتيمترًا.

قد نلاحظ أيضًا أن النسبة بين أطوال أضلاع المثلث هي ١٥ إلى ٢٠ إلى ٢٥ . ويمكن تبسيط ذلك إلى: ثلاثة إلى أربعة إلى خمسة. إذن لدينا ثلاثية فيثاغورس ثلاثة، أربعة، خمسة.

كما ذكرنا من قبل، يجب أن تتساوى النسبة بين مقادير القوى مع النسبة بين أطوال أضلاع المثلث. وهذا يعني أن ﺵ على ٢٥ يساوي ٩٣ على ١٥ ، وهو ما يساوي ﻭ على ٢٠ . وبقسمة المقامات كلها على خمسة، نحصل على ﺵ على خمسة يساوي ٩٣ على ثلاثة، وهو ما يساوي ﻭ على أربعة. يمكننا الآن حل المعادلة ﺵ على خمسة يساوي ٩٣ على ثلاثة لحساب قيمة ﺵ ‏ ٩٣ مقسومًا على ثلاثة يساوي ٣١ . وبضرب كلا الطرفين في خمسة، نحصل على ﺵ يساوي ٣١ مضروبًا في خمسة، وهو ما يساوي ١٥٥ . ومن ثم، فإن الشد في الخيط يساوي ١٥٥ ثقل جرامًا.

يمكننا تكرار هذه العملية لحساب وزن الجسم ﻭ. وهذا يساوي ٣١ مضروبًا في أربعة. إذن، وزن الجسم يساوي ١٢٤ ثقل جرامًا. هكذا أصبح لدينا الآن قيمتا ﺵ وﻭ كما هو مطلوب. ‏ﺵ يساوي ١٥٥ ثقل جرامًا، وﻭ يساوي ١٢٤ ثقل جرامًا.