فيديو الدرس: مماسات الدائرة

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم خصائص مماسات الدوائر لإيجاد قياسات زوايا أو أطوال أضلاع مجهولة. وهو جزء من موضوع أوسع نطاقًا يتناول النظريات المتعلقة بالدائرة، ويركز على خصائص الزوايا التي تتكون داخل الدوائر من الأوتار، والمماسات، وأنصاف الأقطار. في هذا الدرس، سنركز تحديدًا على خصائص الزوايا والأضلاع التي تتشكل من المماسات المرسومة من نقاط خارجية إلى محيط الدائرة. ولكن، يجب أيضًا أن تكون على دراية بالخصائص العامة للزوايا؛ مثل: مجموع قياسات الزوايا على الخط المستقيم، ومجموع قياسات زوايا المثلث.

أولًا، تذكر أن مماس الدائرة هو خط مستقيم يلتقي بالدائرة عند نقطة واحدة. وهو لا يمر داخل الدائرة، بل يلتقي بالدائرة عند نقطة على محيطها بدلًا من ذلك.

الخاصية الأساسية الأولى التي سنتناولها هي أن مماس الدائرة يكون عموديًا على نصف قطر الدائرة عند نقطة التماس. ومعنى هذا أنه إذا رسمنا نصف قطر الدائرة من نقطة على المحيط يلمس المماس الدائرة عندها، فإن الزاوية المحصورة بين المماس ونصف القطر ستكون زاوية قائمة. ويكون المماس عموديًا أيضًا على قطر الدائرة عند هذه النقطة؛ لأنه تكملة لنصف القطر. ولكننا نفضل استخدام نصف القطر عند ذكر هذا الاستنتاج. ويتطلب إثبات هذا استخدام بعض النظريات الأخرى المتعلقة بالدائرة، بما في ذلك نظرية القطاع المتبادل. ولذلك، لن نتطرق إلى هذا الإثبات هنا. ولكننا سنتناول إثباتًا لخاصية أساسية أخرى لاحقًا في هذا الفيديو. ومن ثم، سنأخذ فكرة عن كيفية إثبات هذه النظريات.

أما الآن، دعونا نفكر في بعض الأمثلة التي نستخدم فيها الخاصية الأولى.

إذا كانت القطعة المستقيمة ﺃﺏ مماسة للدائرة ﻡ، وقياس الزاوية ﻡﺏﻭ يساوي ١٢٣ درجة، فأوجد قياس الزاوية ﺃﻡﺏ.

الزاوية ﺃﻡﺏ هي الزاوية التي تتكون بالانتقال من ﺃ إلى ﻡ إلى ﺏ. ومن ثم، فهي الزاوية المحددة باللون البرتقالي في الشكل. والزاوية ﻡﺏﻭ هي الزاوية التي تتكون بالانتقال من ﻡ إلى ﺏ إلى ﻭ. ومن ثم، فهي الزاوية المحددة باللون الوردي، وقياسها ١٢٣ درجة. وهكذا نلاحظ أن الزاوية التي علينا إيجاد قياسها، أي الزاوية ﺃﻡﺏ، تقع داخل مثلث. وإذا تمكنا من إيجاد قياس الزاويتين الأخريين في هذا المثلث، فسنتمكن من استخدام حقيقة أن مجموع قياسات زوايا أي مثلث هو ١٨٠ درجة؛ لإيجاد قياس الزاوية المطلوبة.

أولًا، دعونا نفكر في الزاوية ﻡﺏﺃ. من أوليات الحقائق الأساسية التي نعرفها عن الزوايا أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة. وهذه الزاوية تقع على خط مستقيم مع الزاوية التي حددنا قياسها وهو ١٢٣ درجة. ومن ثم، يمكننا القول إن قياس الزاوية ﻡﺏﻭ زائد الزاوية ﻡﺏﺃ يساوي ١٨٠ درجة. وكما ذكرنا من قبل، نحن نعرف بالفعل قياس الزاوية ﻡﺏﻭ. إذن، يمكننا التعويض بقيمتها. والآن لدينا معادلة يمكننا حلها لإيجاد قياس الزاوية ﻡﺏﺃ. يتعين علينا طرح ١٢٣ من طرفي المعادلة. وعندئذ، نجد أن قياس الزاوية ﻡﺏﺃ يساوي ٥٧ درجة.

وبهذا نكون قد أوجدنا قياس إحدى زوايا المثلث ﻡﺏﺃ. هل يمكننا إيجاد زاوية أخرى؟ ماذا عن الزاوية ﻡﺃﺏ؟ حسنًا، هذه هي الزاوية التي تتكون عند التقاء مماس الدائرة، أي الخط المستقيم ﺃﺏ، بنصف قطر الدائرة ﺃﻡ. نحن نعرف أن مماس الدائرة يكون عموديًا على نصف قطر الدائرة عند نقطة التماس. وعليه، نعرف أن قياس الزاوية ﻡﺃﺏ يساوي ٩٠ درجة. فهي زاوية قائمة. وبهذا نكون قد أوجدنا قياسي زاويتين في المثلث ﺃﺏﻡ. وباستخدام حقيقة مجموع قياسات زوايا المثلث، سنتمكن من إيجاد قياس الزاوية الثالثة.

لدينا المعادلة التي توضح أن قياس الزاوية ﺃﻡﺏ زائد ٩٠ درجة زائد ٥٧ درجة يساوي ١٨٠ درجة. ‏‏٩٠ زائد ٥٧ يساوي ١٤٧. وبطرح ١٤٧ درجة من طرفي هذه المعادلة، نعرف أن قياس الزاوية ﺃﻡﺏ يساوي ٣٣ درجة. إذن، باستخدام حقيقتين أساسيتين من حقائق الزوايا، وكذلك باستخدام الاستنتاج الذي يوضح أن مماس الدائرة يكون عموديًا على نصف القطر عند نقطة التماس، توصلنا إلى أن قياس الزاوية ﺃﻡﺏ يساوي ٣٣ درجة.

لنتناول الآن تطبيقًا ثانيًا لهذا الاستنتاج المهم.

إذا كانت القطعة المستقيمة ﺃﺏ تمس الدائرة ﻡ عند النقطة ﺃ، وكان ﺃﻡ يساوي ٨٫٦ سنتيمترات، وﻡﺏ يساوي ١٢٫٣ سنتيمترًا، فأوجد طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ وقرب الإجابة لأقرب جزء من عشرة.

لنبدأ بكتابة المعطيات الموجودة في السؤال على الشكل. ‏‏ﺃﻡ يساوي ٨٫٦ سنتيمترات. هذا هو الطول هنا. وﻡﺏ يساوي ١٢٫٣ سنتيمترًا. وهذا هو الطول هنا. والطول الذي نريد إيجاده هو طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ. نلاحظ أن لدينا مثلثًا، وهو المثلث ﺃﻡﺏ، ونعرف طولي ضلعين من أضلاعه. ربما يتبادر إلى ذهنك أنه يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس. ولكن، تذكر أن نظرية فيثاغورس لا تنطبق إلا على المثلثات القائمة الزاوية. إذن، علينا أن نقرر أولًا ما إذا كان المثلث ﺃﻡﺏ قائم الزاوية أم لا.

من المعطيات الأساسية الأخرى في المسألة أن القطعة المستقيمة ﺃﺏ تمس الدائرة ﻡ عند النقطة ﺃ. ونحن نعرف أنه من الخصائص الأساسية لمماسات الدوائر أن مماس الدائرة يكون عموديًا على نصف قطرها عند نقطة التماس. ومن ثم، فإن القطعة المستقيمة ﺃﺏ عمودية على نصف القطر ﺃﻡ. وبهذا، يكون المثلث ﺃﻡﺏ قائم الزاوية عند ﺃ. وهكذا أصبح لدينا بالفعل مثلث قائم الزاوية. إذن، يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس لحساب طول الضلع الثالث.

تنص نظرية فيثاغورس على أنه في المثلث القائم الزاوية، مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصرين، لنقل ﺃ شرطة وﺏ شرطة، يساوي مربع طول الضلع الأطول في المثلث، لنقل ﺟ شرطة. تذكر أن الضلع الأطول أو الوتر يكون دائمًا هو الضلع المقابل للزاوية القائمة مباشرة. إذن، الضلع الأطول في هذا المثلث هو ﻡﺏ. بالتعويض عن أقصر ضلعين في المثلث بـ ﺃﺏ و٨٫٦، وعن أطول ضلع أو الوتر بالقيمة ١٢٫٣، يصبح لدينا المعادلة ﺃﺏ تربيع زائد ٨٫٦ تربيع يساوي ١٢٫٣ تربيع. يمكننا حساب قيمة ٨٫٦ تربيع و١٢٫٣ تربيع ثم طرح ٧٣٫٩٦، أي قيمة ٨٫٦ تربيع، من كلا الطرفين، وهو ما يعطينا ﺃﺏ تربيع يساوي ٧٧٫٣٣.

سنحل هذه المعادلة بأخذ الجذر التربيعي للطرفين. وسنأخذ القيمة الموجبة فقط هنا؛ لأن ﺃﺏ له دلالة حقيقية لأنه طول ضلع في هذا المثلث. بحساب قيمة هذا الجذر التربيعي باستخدام الآلة الحاسبة، سنجد أن ﺃﺏ يساوي ٨٫٧٩٣٧٤. تذكر أنه علينا تقريب الناتج لأقرب جزء من عشرة. بما أن لدينا تسعة في خانة الجزء من مائة، سنقرب لأعلى، ومن ثم نجد أن طول ﺃﺏ يساوي ٨٫٨ سنتيمترات.

إذن، في هذه المسألة، طبقنا الخاصية الأساسية بأن مماس الدائرة يكون عموديًا على نصف القطر عند نقطة التماس، ومن ثم تمكنا من استنتاج أن المثلث ﻡﺃﺏ هو مثلث قائم الزاوية. وعليه، أصبح بإمكاننا تطبيق نظرية فيثاغورس لحساب طول الضلع الثالث. ووجدنا أن طول الضلع ﺃﺏ لأقرب جزء من عشرة يساوي ٨٫٨ سنتيمترات.

دعونا نتناول الآن مثالًا أخيرًا على كيفية تطبيق هذه الخاصية الأولى.

إذا كانت القطعة المستقيمة ﺃﺏ مماسة للدائرة ﻡ، وقياس الزاوية ﺃﺏﻡ يساوي ٤٩ درجة، فأوجد قياس الزاوية ﺃﺩﺏ.‏

الزاوية ﺃﺩﺏ هي الزاوية التي تتكون عند الانتقال من ﺃ إلى ﺩ إلى ﺏ. أي إنها هذه الزاوية المحددة باللون البرتقالي على الشكل. والزاوية ﺃﺏﻡ هي الزاوية التي تتكون عند الانتقال من ﺃ إلى ﺏ إلى ﻡ. أي إنها الزاوية المحددة باللون الوردي على الشكل وقياسها ٤٩ درجة. في ضوء هذه المعطيات فقط، لن نتمكن من إيجاد قياس الزاوية ﺃﺩﺏ مباشرة. بل سيتعين علينا إيجاد قياسات بعض الزوايا الأخرى في الشكل أولًا. من المعطيات الأساسية الأخرى التي نعرفها أن القطعة المستقيمة ﺃﺏ مماس للدائرة ﻡ. والخاصية الأساسية لمماسات الدوائر هي أن مماس الدائرة يكون عموديًا على نصف القطر عند نقطة التماس.

النقطة التي يلتقي عندها المماس بالدائرة هي النقطة ﺃ. ونصف القطر هو القطعة المستقيمة ﺃﻡ. ومن ثم، نعرف أن قياس الزاوية ﺏﺃﻡ يساوي ٩٠ درجة. وبهذا يكون لدينا قياس أكثر من زاوية واحدة في الشكل. ومع ذلك، لا يمكننا إيجاد قياس الزاوية ﺃﺩﺏ مباشرة. لنر ما إذا كان بإمكاننا إيجاد قياسات زوايا أخرى. لدينا هنا مثلث. في الحقيقة، لدينا مثلث قائم الزاوية، وهو المثلث ﺃﻡﺏ. ونعرف قياسي زاويتين من زواياه، وهما الزاوية القائمة والزاوية التي قياسها ٤٩ درجة. إذن، باستخدام حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث هو ١٨٠ درجة، يمكننا حساب قياس الزاوية الثالثة في هذا المثلث.

نعرف أن قياس الزاوية ﺃﻡﺏ زائد ٩٠ درجة زائد ٤٩ درجة يساوي ١٨٠ درجة. ‏‏٩٠ زائد ٤٩ يساوي ١٣٩. بطرح هذا العدد من ١٨٠، نجد أن قياس الزاوية ﺃﻡﺏ يساوي ٤١ درجة. عرفنا الآن قياس زاوية أخرى في هذا الشكل. ولكننا ما زلنا لا نعرف المعلومات الكافية لحساب قياس الزاوية ﺃﺩﺏ. ولكن يمكننا الآن إيجاد قياس زاوية مختلفة، وهي الزاوية ﺃﻡﺩ. نعرف أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على أي خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة. إذن، قياس الزاوية ﺃﻡﺩ والزاوية التي حسبنا قياسها للتو وهي ٤١ يساوي حتمًا ١٨٠ درجة. ومن ثم، نجد أن قياس الزاوية ﺃﻡﺩ يساوي ١٨٠ درجة ناقص ٤١ درجة. أي ١٣٩ درجة.

هكذا نكون قد أوجدنا جميع قياسات الزوايا تقريبًا في الشكل، عدا الزاوية المطلوبة. الخطوة الأخيرة هي التفكير في المثلث ﺃﻡﺩ الذي نعرف أن قياس إحدى زواياه يساوي ١٣٩ درجة. وينبغي أن نلاحظ هنا أن ﻡﺩ وﻡﺃ نصفا قطرين في الدائرة ﻡ. ومن ثم، فإنهما متساويان في الطول. وهذا يعني أن المثلث ﻡﺩﺃ هو مثلث متساوي الساقين. ويعني هذا أيضًا أن قياس الزاوية ﻡﺩﺃ يساوي قياس الزاوية ﻡﺃﺩ. ومن ثم، يمكننا إيجاد قياس كل زاوية منهما بطرح الزاوية الثالثة، وقياسها ١٣٩ درجة، من إجمالي مجموع قياسات زوايا المثلث، أي ١٨٠ درجة، ثم قسمة الباقي على اثنين. وبهذا، نجد أن قياس كل زاوية من الزاويتين يساوي ٢٠٫٥ درجة. وفي الواقع، الزاوية ﻡﺩﺃ هي نفسها الزاوية ﺃﺩﺏ. فكلتاهما تشير إلى هذه الزاوية. وبهذا، نكون قد أكملنا حل المسألة.

باستخدام بعض الحقائق الأساسية التي نعرفها عن الزوايا الموجودة في المثلثات والزوايا الواقعة على خطوط مستقيمة، وكذلك الخاصية الأساسية لمماس الدائرة التي تفيد بأنه يكون عموديًا على نصف القطر عند نقطة التماس، توصلنا إلى أن قياس الزاوية ﺃﺩﺏ يساوي ٢٠٫٥ درجة.

وبهذا نكون قد رأينا ثلاثة تطبيقات على الخاصية الأساسية الأولى لمماسات الدوائر. دعونا الآن نتعرف على الخاصية الثانية. وهي: المماسان المرسومان من نفس النقطة خارج الدائرة يكونان متساويين في الطول.

في هذا الشكل، رسم المماسان من النقطة الخارجية ﺃ. إذن، طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ سيكون مساويًا لطول ﺃﺟ. والآن، يمكننا إثبات صحة هذه الخاصية باستخدام تطابق المثلثات والخاصية الأولى. سنضيف خطين مستقيمين للشكل الموجود لدينا: أولًا، نصفا القطرين ﻡﺏ وﻡﺟ؛ وثانيًا، خط مستقيم يصل هذه النقطة الخارجية ﺃ بمركز الدائرة ﻡ. والآن، سنفكر في المثلثين ﺃﺏﻡ وﺃﺟﻡ.

نعرف من الخاصية الأولى أن المماسين عموديان على نصف القطر عند نقطة التماس. إذن، قياس كل من الزاويتين ﺃﺏﻡ وﺃﺟﻡ يساوي ٩٠ درجة. وتحديدًا، تساوي إحداهما الأخرى. ونعرف أيضًا أن القطعتين المستقيمتين ﺏﻡ وﺟﻡ نصفا قطرين للدائرة. وبهذا، فإنهما متساويتان في الطول. والقطعة المستقيمة ﺃﻡ هي ضلع مشترك في هذين المثلثين. في الواقع، هي وتر المثلثين. وبهذا نكون قد أثبتنا أن المثلثين قائما الزاوية، وأنهما يشتركان في الوتر، وأن أحد الضلعين الأقصرين في أحد المثلثين يتساوى مع مناظره في الطول. ومن ثم، فإن المثلثين متطابقان بموجب مسلمة التطابق بوتر وساق. وهو شرط التطابق بزاوية قائمة، والوتر، وأحد ضلعي القائمة. إذا كان المثلثان متطابقين، فإن طول الضلع الثالث في كل منهما، أي ﺃﺏ وﺃﺟ، متساو حتمًا. وهكذا نكون قد أثبتنا أن ﺃﺏ يساوي ﺃﺟ، ومن ثم نكون أثبتنا صحة هذه الخاصية.

لنلق نظرة على تطبيق لهذا.

أوجد قيمة ﺱ.‏

في هذا الشكل، نلاحظ أن لدينا دائرة والخطين المستقيمين ﺃﺏ وﺃﺟ، كل منهما مماس للدائرة. رسم المماسان من نفس النقطة خارج الدائرة، وهي النقطة ﺃ. نعرف أن إحدى الخصائص الأساسية لمماسات الدوائر هي أن المماسين المرسومين من نفس النقطة خارج الدائرة يكونان متساويين في الطول. ولذا، فإن طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ يساوي طول القطعة المستقيمة ﺃﺟ. ونعلم من المعطيات طول ﺃﺏ. وهو ٢١ سنتيمترًا. كما أن لدينا أيضًا تعبيرًا يعبر عن طول ﺃﺟ. وهو اثنان ﺱ زائد خمسة سنتيمترات. إذن، بمساواة الطرفين، يمكننا تكوين المعادلة اثنين ﺱ زائد خمسة يساوي ٢١.

يمكننا الآن حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ. سنطرح خمسة من الطرفين أولًا، ليصبح لدينا اثنان ﺱ يساوي ١٦، وبعدها نقسم على اثنين، وهو ما يعطينا ﺱ يساوي ثمانية. إذن، باستخدام الخاصية الأساسية التي تنص على أن المماسين المرسومين من نفس النقطة خارج الدائرة يكونان متساويين في الطول، نكون قد أوجدنا قيمة ﺱ. ‏‏ﺱ يساوي ثمانية.

تضمن هذا المثال حل معادلة خطية بسيطة. ولكن الأمثلة الأكثر تعقيدًا من هذا قد تتضمن تكوين معادلات آنية وحلها. أي إن العمليات الجبرية قد تكون أكثر تعقيدًا، ولكن المبادئ المستخدمة واحدة.

لنلخص الآن ما تناولناه في هذا الفيديو. تعرفنا على خاصيتين أساسيتين لمماسات الدوائر. أولًا، مماس الدائرة يكون عموديًا على نصف قطر الدائرة عند نقطة التماس. وبتمديد نصف القطر، فإنه يكون أيضًا عموديًا على قطر الدائرة عند هذه النقطة. وثانيًا، أثبتنا أن المماسين المرسومين للدائرة من نفس النقطة خارجها يكونان متساويين في الطول. وفي هذا الشكل، يعني هذا أن ﺃﺏ يساوي ﺃﺟ. ورأينا أيضًا أنه يمكننا استخدام هاتين الخاصيتين، مع قوانين الزوايا ونظرية فيثاغورس، لإيجاد قياسات زوايا أو أطوال أضلاع مجهولة في المسائل التي تتضمن مماسات الدوائر.