فيديو الدرس: الزوايا المتجاورة والمتقابلة بالرأس الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نتعرف على الزوايا المتجاورة ونحل المسائل المتعلقة بها. إذا بدأنا بتذكر ما تعنيه كلمة «متجاورة»، فسيساعدنا هذا في معرفة كيفية تحديد الزوايا المتجاورة.

كلمة «متجاورة» تعني متلاصقة. فإذا كان هناك شيئان متجاوران، فهذا يعني أنهما متلاصقان. علينا فقط تضييق نطاق هذا التعريف قليلًا عند تناول الزوايا المتجاورة. فلا يكفي أن تكون الزاويتان متجاورتين فحسب.

الزاويتان المتجاورتان هما الزاويتان اللتان لهما رأس مشترك وضلع مشترك. رأس الزاوية هو نقطة التقاء الشعاعين اللذين يكونان ضلعي الزاوية. وعندما نقول إن الزاويتين المتجاورتين لهما رأس مشترك وضلع مشترك، فإننا نعني أن الرأس والضلع مشتركان بين الزاويتين. دعونا نبدأ بتناول ما قد يبدو عليه هذا، والأهم من ذلك، أننا سنتناول المفاهيم الخاطئة الشائعة فيما يتعلق بالزوايا المتجاورة.

هل الزاويتان واحد واثنان زاويتان متجاورتان؟

نحن نقول إن الزاويتين متجاورتان إذا كان لهما رأس مشترك وضلع مشترك. والرأس هو نقطة التقاء الشعاعين اللذين يكونان ضلعي الزاوية. الزاوية واحد هي هذه الزاوية، ودعونا نميز الزاوية اثنين باللون الأصفر. إذن، هل هاتان الزاويتان لهما رأس مشترك وضلع مشترك؟ حسنًا، إنهما تتشاركان في هذا الرأس هنا؛ وهذا هو الرأس المشترك. ولهما ضلع مشترك هنا، إذن فهما تتشاركان رأسًا وضلعًا، وهو ما يعني أن الإجابة: «نعم»، الزاويتان واحد واثنان متجاورتان.

في الواقع، علينا ملاحظة أن الزاوية واحد لها زاويتان متجاورتان. وهما الزاويتان اثنان وثلاثة. وبالمثل، فإن الزاوية اثنين مجاورة للزاويتين واحد وثلاثة، والزاوية ثلاثة مجاورة للزاويتين واحد واثنين. ومن ثم، يمكننا التعميم والقول إن كل زاوية يمكن أن تكون لها زاويتان مختلفتان محتملتان مجاورتان لها، أي زاوية واحدة على كل جانب.

هل الزاويتان واحد واثنان زاويتان متجاورتان؟

نبدأ بتذكر أن كلمة «متجاورة» تعني متلاصقة، ثم ننظر إلى الزاويتين واحد واثنين لنعرف ما إذا كانتا متجاورتين أم لا. لكن هذا ليس كافيًا. نحن نقول إن الزاويتين المتجاورتين لهما رأس مشترك وضلع مشترك؛ حيث يكون رأس الزاوية هو نقطة التقاء الشعاعين اللذين يكونان ضلعي الزاوية.

لنبدأ بتحديد الزاوية واحد في الشكل. إنها هذه الزاوية. وهذه هي الزاوية اثنان. لقد انتهى بنا الأمر إلى تداخل الخطين الوردي والأصفر، ونلاحظ أن هناك ضلعًا مشتركًا. إنه هذا الضلع. لكن هل للزاويتين رأس مشترك؟ الإجابة هي: «لا»؛ حيث يقع رأس الزاوية واحد هنا، في حين يقع رأس الزاوية اثنين هنا. لذا نجيب بلا، الزاويتان ليستا زاويتين متجاورتين.

هيا نتناول مثالًا آخر على هذه الصورة.

هل الزاويتان واحد واثنان زاويتان متجاورتان؟

نحن نعلم أن الزاويتين المتجاورتين هما زاويتان لهما ضلع مشترك ورأس مشترك؛ حيث يكون رأس الزاوية هو نقطة التقاء الشعاعين اللذين يكونان ضلعي الزاوية. الزاوية واحد هي هذه الزاوية هنا، والزاوية اثنان هي تلك الزاوية هنا. علينا أن نحدد تداخل الخطين الوردي والأصفر، وهذا يوضح لنا أن الزاويتين واحد واثنين لهما ضلع مشترك. إنه هذا الضلع. لكن هل لهما رأس مشترك؟ الإجابة هي: «لا»؛ حيث يقع رأس الزاوية واحد هنا، في حين يقع رأس الزاوية اثنين هنا. لذا، نجيب بلا، الزاويتان واحد واثنان ليستا زاويتين متجاورتين.

لكن يمكننا إيجاد زوج من الزوايا المتجاورة في الشكل. نلاحظ أن للزاوية ثلاثة والزاوية اثنين ضلعًا مشتركًا. إنه هذا الضلع. كما أن لهما رأسًا مشتركًا أيضًا؛ إذن الزاويتان اثنان وثلاثة متجاورتان.

في المثال التالي، سنتناول تعريفًا إضافيًّا.

حدد إذا ما كانت الزاويتان خمسة وستة متجاورتين أو رأسيتين أو غير متجاورتين ولا رأسيتين.

نحن نعلم أن الزاويتين المتجاورتين هما زاويتان لهما رأس مشترك وضلع مشترك؛ حيث يكون الرأس هو نقطة التقاء الشعاعين اللذين يكونان ضلعي الزاوية. الزاويتان الرأسيتان هما زاويتان تقابل إحداهما الأخرى عندما يتقاطع خطان عند رأس. على سبيل المثال، الزاويتان ﺃ وﺏ في هذا الشكل هما زاويتان رأسيتان، أو نطلق عليهما في بعض الأحيان زاويتين متقابلتين بالرأس. لنبدأ بتحديد الزاوية خمسة. الزاوية خمسة هي هذه الزاوية. وهذه هي الزاوية ستة. نلاحظ أن الزاويتين تتشاركان رأسًا واحدًا. وهو الرأس الذي يقع في مركز الشكل تمامًا. ولهما أيضًا ضلع مشترك، وهو هذا الضلع. وبذلك، نجد أن الزاويتين خمسة وستة متجاورتان.

إذا أردنا إيجاد زاويتين رأسيتين أو متقابلتين بالرأس في الشكل، يمكننا القول إن الزاويتين خمسة واثنين زاويتان رأسيتان. وتجدر الإشارة إلى أن الزاويتين لا يمكن أن تكونا متجاورتين ورأسيتين أو متقابلتين بالرأس في آن واحد.

في المثال التالي، سنتناول كيف يمكننا حل المسائل عن طريق تحديد أزواج الزوايا المتجاورة.

أوجد مجموع الزاويتين المتجاورتين من الزوايا المعطاة في الشكل.

تذكر أن الزاويتين المتجاورتين هما زاويتان لهما رأس مشترك وضلع مشترك. نلاحظ أن لدينا رأسًا واحدًا في الشكل؛ إنه يقع تمامًا في المركز هنا. وهناك ثلاث زوايا علينا إيجادها. لدينا زوايا قياساتها ٢٢ درجة و٦٤ درجة و٨٨ درجة. كل زاوية من هذه الزوايا لها رأس مشترك. إذن، علينا أن نوجد الزاويتين اللتين لهما ضلع مشترك أيضًا. حسنًا، يمكننا ملاحظة أن هناك زاويتين لهما ضلع مشترك، وهو هذا الضلع. هاتان الزاويتان هما الزاويتان اللتان قياساهما ٦٤ درجة و٨٨ درجة. وعليه، فإن مجموع الزاويتين المتجاورتين في الشكل يساوي ٦٤ زائد ٨٨، أي ١٥٢ أو ١٥٢ درجة. إذن، مجموع الزاويتين المتجاورتين يساوي ١٥٢ درجة.

في المثال الأخير، سنتناول العلاقة بين منصف الزاوية والزاويتين المتجاورتين.

في الشكل التالي، قياس الزاوية ﺏﺃﺟ يساوي ٣٠ درجة. إذا كان الشعاع ﺃﺟ ينصف الزاوية، فما قياس الزاوية ﺏﺃﺩ؟

لنبدأ أولًا بتحديد الزاوية ﺏﺃﺟ. إنها الزاوية المحصورة بالقطعتين المستقيمتين بين ﺏ وﺃ وﺃ وﺟ. قياس هذه الزاوية يساوي ٣٠ درجة. علمنا أن الخط الممتد من ﺃ إلى ﺟ هو منصف الزاوية. المنصف يقسم أي شيء إلى نصفين، ومن ثم فإن منصف الزاوية يقسم أي زاوية إلى نصفين تمامًا. وهذا يعني أن قياس الزاوية ﺟﺃﺩ لا بد أن يساوي قياس الزاوية ﺏﺃﺟ. وهو يساوي ٣٠ درجة أيضًا.

نحن نريد إيجاد قياس الزاوية ﺏﺃﺩ. إنها هذه الزاوية في الشكل. يمكننا القول إن قياسها يساوي قياس الزاوية ﺏﺃﺟ زائد قياس الزاوية ﺟﺃﺩ. أو بدلًا من ذلك، بما أن هاتين الزاويتين متساويتان في القياس، فإن قياس تلك الزاوية يساوي اثنين في قياس الزاوية ﺏﺃﺟ. هذا يساوي اثنين في ٣٠، وهو ما يعطينا ٦٠ درجة. إذن، قياس الزاوية ﺏﺃﺩ يساوي ٦٠ درجة. بوجه عام، يمكننا القول إن منصف الزاوية يقسمها إلى زاويتين متجاورتين متساويتين في القياس.

في هذا الفيديو، عرفنا أن الزاويتين المتجاورتين هما زاويتان لهما رأس مشترك وضلع مشترك. الزاويتان الرأسيتان أو المتقابلتان بالرأس هما الزاويتان اللتان تقابل إحداهما الأخرى عندما يتقاطع خطان عند رأس. وأخيرًا، عرفنا أن منصف الزاوية يقسمها إلى زاويتين متجاورتين متساويتين في القياس.