نسخة الفيديو النصية
استخدم المصفوفات لحل النظام: سالب 𝑥 زائد خمسة 𝑦 يساوي ثمانية، سالب ثلاثة 𝑥 زائد 𝑦 يساوي ثمانية.
يمكننا تمثيل هذا النظام المكون من معادلتين في مجهولين على صورة معادلة مصفوفية. نبدأ بتذكر أن المعادلتين 𝑎𝑥 زائد 𝑏𝑦 يساوي 𝑒، و𝑐𝑥 زائد 𝑑𝑦 يساوي 𝑓 يمكن كتابتهما على صورة معادلة مصفوفية كما هو موضح. سنبدأ بمصفوفة المعاملات التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها 𝑎، 𝑏، 𝑐، 𝑑. وستضرب هذه المصفوفة في مصفوفة المتغيرات 𝑥، 𝑦 وهذا يساوي مصفوفة الثوابت 𝑒، 𝑓.
في هذا السؤال، مصفوفة المعاملات تساوي سالب واحد، خمسة، سالب ثلاثة، واحد. بضرب هذه المصفوفة في مصفوفة المتغيرات 𝑥، 𝑦، نحصل على مصفوفة الثوابت ثمانية، ثمانية. يمكننا حل هذه المعادلة المصفوفية بالضرب من جهة اليسار في معكوس مصفوفة المعاملات إن وجد. ونحن نعلم أن معكوس المصفوفة المربعة يكون موجودًا إذا كان محددها لا يساوي صفرًا. دعونا أولًا نحسب محدد هذه المصفوفة.
نحن نعلم أن محدد المصفوفة 𝑎، 𝑏، 𝑐، 𝑑 يساوي 𝑎𝑑 ناقص 𝑏𝑐. بتطبيق هذه الصيغة على مصفوفة المعاملات، يصبح لدينا سالب واحد مضروبًا في واحد ناقص خمسة مضروبًا في سالب ثلاثة، وهو ما يساوي أربعة عشر. بما أن المحدد لا يساوي صفرًا، يمكننا المتابعة لإيجاد معكوس المصفوفة. لعلنا نتذكر أن صيغة معكوس المصفوفة 𝐴 التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها 𝑎، 𝑏، 𝑐، 𝑑 هي واحد على محدد 𝐴 مضروبًا في 𝑑، سالب 𝑏، سالب 𝑐، 𝑎. إذن باستخدام محدد مصفوفة المعاملات، نجد أن المعكوس يساوي واحدًا على أربعة عشر مضروبًا في واحد، سالب خمسة، ثلاثة، سالب واحد.
لعلنا نتذكر بعد ذلك أنه بالنسبة إلى أي مصفوفة قابلة للعكس 𝐴، فإن معكوس 𝐴 مضروبًا في 𝐴 يساوي مصفوفة الوحدة 𝐼. هذا يعني أننا سنتمكن من حذف مصفوفة المعاملات من الطرف الأيسر من المعادلة بالضرب، من جهة اليسار، في معكوس مصفوفة المعاملات. بضرب طرفي المعادلة في معكوس مصفوفة المعاملات، نجد أن 𝑥، 𝑦 يساوي واحدًا على أربعة عشر في واحد، سالب خمسة، ثلاثة، سالب واحد مضروبًا في ثمانية، ثمانية.
نحن نعلم أنه لضرب مصفوفتين، لا بد أن يتساوى عدد أعمدة المصفوفة الأولى مع عدد صفوف المصفوفة الثانية يمكننا ملاحظة أن عملية ضرب المصفوفتين في الطرف الأيمن من المعادلة معرفة تمامًا. وبحساب عملية ضرب المصفوفتين، نحصل على واحد في ثمانية زائد سالب خمسة في ثمانية، وثلاثة في ثمانية زائد سالب واحد في ثمانية. إذن، 𝑥، 𝑦 تساوي واحدًا على أربعة عشر من هذا المقدار. يمكن تبسيط الطرف الأيمن من المعادلة إلى واحد على أربعة عشر في سالب اثنين وثلاثين، ستة عشر. وأخيرًا، بحساب ضرب هذه المصفوفة في عدد ثابت، نجد أن 𝑥، 𝑦 يساوي سالب ستة عشر على سبعة، ثمانية على سبعة، وهذا هو حل المعادلة المصفوفية.
نحن نعلم أن أي مصفوفتين تكونان متساويتين إذا تساوى كل عنصرين متناظرين فيهما. ومن ثم، نجد أن حل نظام المعادلات المعطى هو: 𝑥 يساوي سالب ستة عشر على سبعة، و𝑦 يساوي ثمانية على سبعة.
