فيديو الدرس: رسم الدوائر الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

رسم الدوائر

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نرسم دائرة بمعلومية نقطة واحدة، أو نقطتين، أو ثلاث نقاط مختلفة. سنتعلم أيضًا الشروط التي يمكننا بموجبها رسم الدوائر، وبالتحديد سنتعلم كيفية إيجاد دائرة محيطية مارة برؤوس المثلث. وهي الدائرة التي تمر عند جميع رؤوس المثلث الثلاثة.

في البداية، سنبدأ بتذكر ما نعنيه بالدائرة. الدائرة هي مجموعة كل النقاط التي تقع على مسافة محددة من نقطة معلومة تعرف باسم مركز الدائرة. وعلى وجه التحديد، تعرف هذه المسافة المحددة بنصف قطر الدائرة. لذا، تقع جميع النقاط على الدائرة على مسافات متساوية من النقطة ﻡ. إذا أطلقنا على نصف القطر نق، فإن المسافة بين ﻡ وﺃ تساوي نق لأي نقطة على الدائرة. جدير بالذكر أيضًا أن القطعة المستقيمة بين ﻡ وﺃ تسمى نصف قطر الدائرة. إذن، طول نصف القطر يساوي نق، ونشير إلى هذه المسافة أحيانًا أيضًا بنصف القطر فحسب.

والآن بعد أن راجعنا تعريف الدائرة، أصبحنا مستعدين للبدء في تناول الشروط التي يمكننا بموجبها رسم دائرة. هيا نبدأ بمحاولة رسم دائرة باستخدام نقطة معلومة ﺃ. يمكننا فعل هذا باختيار أي نقطة محددة على المستوى لتكون مركز الدائرة. سنطلق على هذه النقطة ﻡ. بعد ذلك، بما أن جميع النقاط على الدائرة تقع على مسافات متساوية من النقطة ﻡ، فيمكننا إيجاد نصف قطر الدائرة. فهو سيساوي المسافة بين ﻡ وﺃ. وهذا من ثم يعرف الدائرة رياضيًّا؛ لأنه يتضمن المركز ﻡ ونصف القطر نق.

لكن يمكننا أيضًا رسم هذه الدائرة باستخدام الفرجار. نضع سن الفرجار عند النقطة ﻡ، ونضبط الفرجار بحيث يكون نصف القطر مساويًا لـ نق، وبحيث يقع سن القلم الرصاص عند النقطة ﺃ. وبتحريك الفرجار، سنحصل على دائرة تمر بالنقطة ﺃ. لكن تذكر أنه يمكننا اختيار أي نقطة مختلفة على المستوى ﻡ لتكون مركز الدائرة. وهذا يعني أنه يوجد عدد لا نهائي من الدوائر التي يمكن أن تمر بالنقطة ﺃ. في الحقيقة، ثمة استنتاج أقوى ينطبق هنا. يوجد عدد لا نهائي من الدوائر المتطابقة مع الدائرة التي رسمناها وتمر بالنقطة ﺃ. تذكر أنه لكي يكون هناك شكلان متطابقان، يجب أن يكون لهما القياس والشكل نفساهما. إذن، لكي نحصل على دائرة متطابقة مع الدائرة المعطاة، يجب أن يكون لها نصف القطر نفسه.

ولكي نفهم سبب صحة ذلك، هيا نبدأ في رسم دائرة نصف قطرها نق، ومركزها النقطة ﺃ. وبما أن ﻡ يساوي المسافة بين نق والنقطة ﺃ، فإن ﻡ يقع على هذه الدائرة. وبذلك، فإن أي نقطة على هذه الدائرة تساوي المسافة بين نق والنقطة ﺃ. على سبيل المثال، المسافة بين النقطة ﻡ اثنين وﺃ تساوي نق. لكننا الآن يمكننا رسم دائرة نصف قطرها نق حول النقطة ﻡ اثنين. ومن ثم، نحصل على دائرة أخرى تمر بالنقطة ﺃ، ونصف قطرها يساوي نق أيضًا. وهكذا، رسمنا دائرتين لهما نصف القطر نق تمران بالنقطة ﺃ. هاتان دائرتان متطابقتان. ويمكننا تحديد أي نقطة على الدائرة التي نصف قطرها يساوي نق حول النقطة ﺃ؛ بحيث تكون تلك النقطة هي مركز الدائرة. وهذا يعني أنه يوجد عدد لا نهائي من الدوائر المتطابقة التي تمر بالنقطة ﺃ ونصف قطرها نق.

والآن بعد أن رأينا كيفية رسم دائرة باستخدام نقطة معلومة، هيا ننتقل الآن إلى رسم دائرة باستخدام نقطتين معلومتين. لنفترض أن لدينا النقطتين ﺃ وﺏ. لرسم دائرة، لاحظنا أن علينا معرفة أمرين. علينا تحديد مركز الدائرة ونصف قطرها. وبما أن كلًّا من النقطتين ﺃ وﺏ يجب أن تقع على الدائرة، فإنه يجب أن تكونا على المسافة نفسها من مركز الدائرة. ومن ثم، يتعين علينا أولًا تحديد نقطة على مسافة متساوية من ﺃ وﺏ. ولفعل ذلك، علينا تذكر الاستنتاج التالي. كل نقطة تقع على مسافة متساوية من النقطتين ﺃ وﺏ تقع على العمود المنصف للقطعة المستقيمة ﺃﺏ.

قبل أن نفهم سبب صحة هذا، دعونا نبدأ برسم العمود المنصف للقطعة المستقيمة ﺃﺏ. هيا نبدأ برسم القطعة المستقيمة ﺃﺏ، وسنسمي نقطة منتصف هذه القطعة المستقيمة ﻡ. نعلم أن ﺃﻡ وﻡﺏ لهما نفس الطول. وفي الواقع، ما فعلناه يكفي بالفعل للإجابة عن السؤال. حيث تقع النقطة ﻡ على مسافة متساوية من النقطتين ﺃ وﺏ؛ لذا يمكننا اختيارها لتكون مركزًا للدائرة. إذن كل ما سنفعله هو تحديد نصف القطر بحيث يساوي المسافة بين ﺃ وﻡ أو المسافة بين ﻡ وﺏ. لكن، هذه دائرة واحدة فقط تمر بالنقطتين ﺃ وﺏ. لنر ما إذا كنا نستطيع رسم دوائر أخرى.

نرسم بعد ذلك خطًّا عموديًّا على القطعة المستقيمة ﺃﺏ يمر بالنقطة ﻡ. هذا هو العمود المنصف للقطعة المستقيمة ﺃﺏ. تشير الخاصية الموضحة إلى أن أي نقطة على هذا الخط ستكون على مسافة متساوية من ﺃ وﺏ، وكل نقطة تقع على مسافة متساوية تقع على هذا الخط أيضًا. ويمكننا في الواقع إثبات صحة ذلك. على سبيل المثال، هيا نثبت أن ﻡ اثنين تقع على مسافة متساوية من ﺃ وﺏ. لدينا مثلثان قائما الزاوية؛ المثلث ﺃﻡﻡ اثنان؛ والمثلث ﺏﻡﻡ اثنان. يمكننا إيجاد تعبير يدل على وتر المثلثين باستخدام نظرية فيثاغورس.

تذكر أن هذه النظرية تنص على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصرين. إذن، في المثلث القائم جهة اليسار، لدينا طول ﺃﻡ اثنين تربيع يساوي طول ﺃﻡ تربيع زائد طول ﻡﻡ اثنين تربيع. لكن تذكر أن طول ﺃﻡ يساوي طول ﻡﺏ. إذن يمكننا التعويض في التعبير لدينا عن طول ﺃﻡ بطول ﻡﺏ. وهذا يعطينا طول ﻡﺏ تربيع زائد طول ﻡﻡ اثنين تربيع.

لكن وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن هذا في الواقع هو مربع طول الوتر في المثلث القائم الزاوية الآخر. إذن وفقًا لنظرية فيثاغورس، هذا هو طول ﺏﻡ اثنين تربيع. بعد ذلك، كل ما علينا فعله هو كتابة الطرف الأيمن من المعادلة. طول ﺃﻡ اثنين تربيع يساوي طول ﺏﻡ اثنين تربيع. وبما أنهما طولان، يمكننا ببساطة حساب الجذر التربيعي الموجب لطرفي المعادلة. المسافة بين النقطتين ﺃ وﻡ اثنين تساوي المسافة بين النقطتين ﺏ وﻡ اثنين. ومن ثم، فإن أي خط بالدائرة سيكون على مسافة متساوية من ﺃ وﺏ، وهو ما يعني أنه يمكن أن يكون مركز الدائرة التي تمر بكل من النقطتين ﺃ وﺏ.

على سبيل المثال، لرسم دائرة من النقطة ﻡ ثلاثة تمر بالنقطتين ﺃ وﺏ، نضع سن الفرجار عند النقطة ﻡ ثلاثة ثم نحدد نصف القطر ليكون المسافة بين ﻡ ثلاثة والنقطة ﺃ أو النقطة ﺏ. مرة أخرى، لأنه يمكننا تحديد أي نقطة على العمود المنصف، فسنحصل على عدد لا نهائي من الدوائر التي تمر بكل من ﺃ وﺏ. هيا نتناول سؤالًا يطلب منا إيجاد أصغر نصف قطر لدائرة تمر بالنقطتين ﺃ وﺏ.

لدينا النقطتان ﺃ، ﺏ. ما نصف قطر أصغر دائرة يمكن رسمها بحيث تمر بالنقطتين؟

في هذا السؤال، علينا تحديد نصف قطر أصغر دائرة تمر بالنقطتين ﺃ وﺏ. للإجابة عن هذا السؤال، نبدأ بتذكر أن كل نقطة على الدائرة ستكون على مسافة متساوية من مركزها. ونتذكر أيضًا حقيقة أخرى. كل نقطة تقع على مسافة متساوية من النقطتين ﺃ وﺏ تقع على العمود المنصف للنقطتين ﺃ وﺏ. لذا، يجب أن يقع مركز الدائرة على العمود المنصف لـ ﺃ وﺏ. لنبدأ إذن برسم هذا. نرسم القطعة المستقيمة من ﺃ إلى ﺏ، ثم نحدد نقطة المنتصف لهذه القطعة المستقيمة. سنسمي هذه النقطة ﻡ. بعدها نرسم العمود المنصف، وهو الخط العمودي على ﺃﺏ الذي يمر بـ ﻡ. أي نقطة تقع على هذا الخط المستقيم تكن على مسافة متساوية من ﺃ وﺏ.

وعليه، يمكن أن تمثل نقاطًا محتملة لمركز الدائرة. على سبيل المثال، يمكن أن تكون النقطة ﻡ، أو ﻡ اثنان، أو ﻡ ثلاثة، أو ﻡ أربعة هي مركز الدائرة. في هذه الحالة، نصف قطر هذه الدائرة يساوي المسافة بين المركز وأي نقطة على الدائرة، على سبيل المثال؛ يساوي المسافة بين المركز والنقطة ﺃ. بيانيًّا، يبدو أنه كلما ابتعدنا عن النقطة ﻡ، كان نصف القطر أكبر. ويمكننا بالفعل إثبات صحة ذلك. على سبيل المثال، نلاحظ أن المثلث ﺃﻡﻡ اثنين هو مثلث قائم الزاوية. هذا يعني أن طول الوتر يجب أن يكون أطول من الضلعين الآخرين. والمثلث ﺃﻡﻡ ثلاثة هو أيضًا مثلث قائم الزاوية، وﺃﻡﻡ أربعة مثلث آخر قائم الزاوية. إذن نق ثلاثة أكبر من نق، ونق أربعة أكبر من نق. لذا، فإن ﻡ ستكون الدائرة ذات أصغر نصف قطر وتمر بالنقطتين ﺃ وﺏ.

ومع أن السؤال لم يطلب منا رسم هذه الدائرة، إلا أنه يمكننا رسمها بوضع سن الفرجار عند النقطة ﻡ ثم السن الآخر عند النقطة ﺃ أو ﺏ. مطلوب منا في السؤال إيجاد نصف قطر هذه الدائرة. تذكر أننا حددنا النقطة ﻡ لتمثل منتصف القطعة المستقيمة ﺃﺏ. وهذا يعني أن قيمة نق تساوي نصف المسافة من ﺃ إلى ﺏ. بعبارة أخرى، نصف قطر الدائرة الصغرى التي تمر بالنقطتين المختلفتين ﺃ وﺏ يساوي نصف المسافة من ﺃ إلى ﺏ.

حتى الآن، رسمنا دوائر تمر بنقطة واحدة وبنقطتين مختلفتين. والآن، لنحاول رسم دائرة تمر بثلاث نقاط مختلفة: ﺃ وﺏ وﺟ. ولفعل ذلك، علينا إيجاد مركز الدائرة الذي يجب أن يكون على مسافة متساوية من النقاط الثلاث. إذا كان مركز الدائرة على مسافة متساوية من النقاط الثلاث كلها، فلا بد من أن يكون على مسافة متساوية من كل من ﺃ وﺏ. ويمكننا إيجاد مجموعة كل النقاط التي تقع على مسافة متساوية من ﺃ وﺏ من خلال إيجاد العمود المنصف. إذن، نبدأ بإيجاد نقطة منتصف القطعة المستقيمة بين ﺃ وﺏ. ثم نرسم بعد ذلك الخط الذي يمر بنقطة المنتصف ﻡ واحد، وهو عمودي على القطعة المستقيمة ﺃﺏ. جميع النقاط التي تقع على مسافة متساوية من كل من ﺃ وﺏ، تقع أيضًا على العمود المنصف بين ﺃ وﺏ. ومن ثم، إذا كان مركز الدائرة موجودًا فإنه يجب أن يقع على هذا الخط.

لكن المنطق نفسه ينطبق على النقطتين ﺟ وﺏ. مركز الدائرة يقع على مسافة متساوية من النقطتين ﺟ وﺏ، لذا يجب أن يقع على العمود المنصف للقطعة المستقيمة ﺏﺟ. لذا سنرسم أيضًا العمود المنصف للقطعة المستقيمة ﺏﺟ. نحدد النقطة ﻡ اثنين، وهي نقطة منتصف هذه القطعة المستقيمة، ثم نرسم خطًّا عموديًّا على هذا الخط يمر بالنقطة ﻡ اثنين. كل نقطة على هذا الخط تقع على مسافة متساوية من ﺏ وﺟ، ويمكننا ملاحظة وجود نقطة تقاطع بين العمودين المنصفين. بما أن هذه النقطة تقع على كل من العمودين المنصفين، فإنها تقع على مسافة متساوية من ﺃ وﺏ وﺟ. هذا يعني أنه يمكننا رسم دائرة مركزها ﻡ تمر بالنقاط الثلاث ﺃ وﺏ وﺟ. إذن، نصف قطر هذه الدائرة يساوي المسافة بين ﻡ وﺃ، أو ﻡ وﺏ، أو ﻡ وﺟ.

يمكننا بعد ذلك طرح سؤال آخر. هل توجد دائرة أخرى تمر بهذه النقاط الثلاث؟ في الواقع، وباستخدام المنطق نفسه، يمكننا إثبات أنه لا توجد دائرة أخرى. هذه هي الدائرة الوحيدة التي تمر بهذه النقاط الثلاث. لكي نعرف سبب صحة ذلك، تذكر أن مركز الدائرة يجب أن يقع على العمود المنصف بين ﺃ وﺏ وعلى العمود المنصف بين ﺏ وﺟ. وعلى المستوى، لا يمكن أن يتقاطع الخطان المستقيمان إلا عند نقطة واحدة على الأكثر. إذن ﻡ هي النقطة الوحيدة الموجودة على كلا هذين الخطين. ولذا فهي المركز الوحيد الممكن لهذه الدائرة. إذن، هذه هي الدائرة الوحيدة التي تمر بالنقاط ﺃ وﺏ وﺟ.

في الواقع، يمكننا إثبات أمر آخر. ماذا لو أردنا دائرة تمر أيضًا بنقطة أخرى ﺩ؟ يمكننا أن نلاحظ أن ﺩ لا تقع على الدائرة. وبما أن هذه هي الدائرة الوحيدة التي تمر بـ ﺃ وﺏ وﺟ، فيمكننا استنتاج أنه لا توجد دائرة تمر بهذه النقاط الأربع كلها. لكننا أوضحنا فقط أنه يمكننا رسم دائرة تمر بهذه النقاط الثلاث. ماذا لو كانت لدينا ثلاث نقاط مختلفة؟ هل يمكننا فعل ذلك بوجه عام؟ في المثال التالي، سنناقش الشرط الذي يمكننا بموجبه رسم دائرة تمر عبر ثلاث نقاط.

صواب أم خطأ: إذا كانت دائرة تمر بثلاث نقاط، فإن النقاط الثلاث يجب أن تنتمي إلى نفس الخط المستقيم.

للإجابة عن هذا السؤال، سنبدأ برسم دائرة. يمكننا اختيار ثلاث نقاط على هذه الدائرة. سنطلق عليها ﺃ وﺏ وﺟ. يمكننا ملاحظة أن هذه النقاط الثلاث لا تقع على الخط المستقيم نفسه. لكن الدائرة تمر بالفعل بهذه النقاط الثلاث. وهذا يكفي لإثبات أن العبارة خطأ. إذا مرت الدائرة بثلاث نقاط، فإن النقاط الثلاث يجب ألا تنتمي إلى الخط المستقيم نفسه.

هذا يدفعنا إلى طرح سؤال مثير للاهتمام. ماذا سيحدث إذا كانت النقاط الثلاث تقع على خط مستقيم؟ على سبيل المثال، هل يمكننا رسم دائرة تصل بين النقاط الثلاث ﻡ وﻥ وﺭ؟ يجب أن يكون مركز الدائرة على مسافة متساوية من هذه النقاط الثلاث. على وجه التحديد، لا بد من أن يكون مركز الدائرة على مسافة متساوية من ﻡ وﻥ. وكما نعرف، العمود المنصف لـ ﻡ وﻥ يحتوي على جميع النقاط التي تقع على مسافة متساوية من ﻡ وﻥ. لذا، يجب أن يقع مركز الدائرة على هذا الخط. وبالمثل، بما أن مركز هذه الدائرة يقع على مسافة متساوية من ﻥ وﺭ، فيجب أن يقع على العمود المنصف لـ ﻥ وﺭ.

لكن، توجد مشكلة. هذان الخطان المستقيمان متوازيان. وهما لا يتقاطعان أبدًا؛ لذا لا توجد نقطة على مسافة متساوية من ﻡ وﻥ وﺭ. وهذا يقودنا إلى استنتاج أقوى قليلًا. وهو أنه لا توجد دائرة تمر بثلاث نقاط تقع على الخط المستقيم نفسه. إذن يمكننا الإجابة عن هذا السؤال بـ «خطأ». إذا كانت دائرة تمر بثلاث نقاط، فإن النقاط الثلاث يجب ألا تنتمي إلى نفس الخط المستقيم. إذن العبارة خطأ.

في الواقع، لا يزال هناك استنتاج آخر أقوى يجب أن نكون على دراية به. إذا كانت لدينا ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة؛ أي إنها لا تقع على الخط المستقيم نفسه، فتوجد دائرة وحيدة تمر بالنقاط الثلاث كلها. ورأينا سابقًا كيف يمكننا رسم هذه الدائرة. نوجد تقاطع العمودين المنصفين لزوجين من النقاط. وهو ما يعطينا مركز الدائرة، ثم يمكننا إيجاد نصف قطر الدائرة باعتباره مساويًا للمسافة بين المركز وأي نقطة من النقاط الثلاث. لنر الآن مثالًا يوضح كيفية استخدام هذه الخاصية في مسألة تتضمن مثلثات.

صواب أم خطأ: يمكن رسم دائرة تمر برءوس أي مثلث.

للإجابة عن هذا السؤال، يمكننا أن نبدأ برسم مثلث ونرى كيف يمكننا رسم دائرة تمر عبر جميع رءوس المثلث الثلاثة. ولكن هذا ليس ضروريًّا لأنه يمكننا تذكر حقيقة مفيدة عن الدوائر. نعلم أن أي ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة لها دائرة وحيدة تمر بالنقاط الثلاث كلها، ونتذكر أن النقاط التي ليست على استقامة واحدة تعني أنها لا تقع على الخط المستقيم نفسه. ورءوس المثلث لا تقع على الخط المستقيم نفسه. هذا ما يعنيه أن يكون الشكل مثلثًا. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا ثلاث نقاط تقع على خط مستقيم، وحاولنا ربط الرءوس معًا، فكل ما سنحصل عليه هو خط مستقيم فقط.

لذا، كل ما علينا فعله هو استخدام هذه الخاصية لنوضح أن الإجابة صحيحة. يمكن رسم دائرة تمر عبر رءوس أي مثلث. وتسمى الدائرة المحيطية المارة برءوس المثلث.

لنأخذ الآن مثالًا نحدد فيه كيفية رسم دائرة مارة برءوس مثلث معين.

في الشكلين التاليين، يوجد نوعان من الإنشاءات التي أجريت على نفس المثلث ﺃﺏﺟ. ما النقطة التي تكون مركز الدائرة المارة برءوس المثلث؟

في هذا السؤال، المطلوب هو تحديد مركز الدائرة التي تمر عبر رءوس المثلث الثلاثة. وهي النقاط ﺃ وﺏ وﺟ. ولكي نتمكن من ذلك، علينا أن نتذكر أن مركز الدائرة سيكون على مسافة متساوية من جميع النقاط التي تقع على محيط الدائرة. لذا، علينا تحديد أي النقاط في الشكلين ستكون على مسافة متساوية من جميع النقاط الثلاث ﺃ وﺏ وﺟ. ولفعل ذلك، نعلم أن لدينا في الشكل الثاني الأعمدة المنصفة للأضلاع الثلاثة للمثلث. يمكننا أن نلاحظ أن هذه هي الأعمدة المنصفة؛ لأنها تقطع أضلاع المثلث بزوايا قائمة. ولأنها تقسم أضلاع المثلث إلى نصفين تمثلها الخطوط المستقيمة واحد أو اثنان أو ثلاثة.

هذا الأمر سيساعدنا لأن كل نقطة على العمود المنصف بين ﺏ وﺟ ستكون على مسافة متساوية من ﺏ وﺟ. على سبيل المثال، النقطة ﻭ على مسافة متساوية من كل من ﺏ وﺟ. ينطبق هذا الاستنتاج على أي عمود منصف؛ لذا يمكننا ملاحظة أن النقطة ﻭ تقع أيضًا على العمود المنصف بين ﺃ وﺏ. إذن النقطة ﻭ تقع أيضًا على مسافة متساوية من ﺃ وﺏ. هذا يعني أنها على مسافة متساوية من رءوس المثلث الثلاثة. لذا، إذا رسمنا دائرة مركزها ﻭ ونصف قطرها هو المسافة بين ﺃ وﻭ؛ فسنحصل على دائرة تمر عبر رءوس المثلث الثلاثة.

هذا لا ينطبق على النقطة ﻥ؛ فمع أنها وجدت باستخدام العمود المنصف لكل زاوية من زوايا المثلث، فإن ﻥ لا تقع بالضرورة على مسافة متساوية من رءوس المثلث الثلاثة. ومن ثم، يمكننا استنتاج أن النقطة ﻭ هي مركز الدائرة التي تمر عبر كل رءوس المثلث الثلاثة.

في المثال الأخير، سنبحث عن خاصية تتضمن عدد التقاطعات الممكنة في دائرتين مختلفتين.

صواب أم خطأ: يمكن أن تتقاطع دائرتان عند أكثر من نقطتين.

للإجابة عن هذا السؤال، هيا نبدأ بالتفكير في كيفية تقاطع دائرتين. توجد طريقتان مختلفتان لا يمكن أن تتقاطع بموجبهما الدائرتان. على سبيل المثال، قد تكون لدينا دائرة داخل دائرة أخرى، أو يمكن أن تكون الدائرتان متجاورتين. من الممكن أيضًا أن تتقاطع دائرتان عند نقطة واحدة، وفي الواقع، توجد طريقتان مختلفتان لحدوث ذلك. إذ يمكن أن تكون الدائرتان متجاورتين، أو إحداهما داخل الأخرى. الدائرتان كلتاهما تتقاطعان عند نقطة واحدة فقط. وأخيرًا، من الممكن أن تتقاطع الدائرتان أيضًا عند نقطتين مختلفتين، على سبيل المثال؛ الشكل التالي الذي يشبه شكل فن.

لكن ماذا إذا أردنا أن تتقاطع دائرتان عند ثلاث نقاط مختلفة؟ حسنًا، إذا كانت نقاط التقاطع الثلاث ليست على استقامة واحدة، فإننا نعرف أنه توجد دائرة وحيدة تمر بهذه النقاط الثلاث. يطلق على هذه الدائرة اسم الدائرة المحيطية المارة برءوس المثلث ﺃﺏﺟ، وبما أنها دائرة وحيدة فلا يمكن أن تكون لدينا دائرتان مختلفتان في هذه الحالة. لكننا لم ننته بعد. علينا أيضًا التفكير في احتمال وقوع نقاط التقاطع الثلاث على الخط المستقيم نفسه. هذا ليس ممكنًا لأننا نتذكر أنه لا توجد دائرة تمر عبر ثلاث نقاط وتقع على الخط المستقيم نفسه. إذن، أثبتنا أن الإجابة خطأ. لا يمكن لدائرتين مختلفتين أن تتقاطعا عند أكثر من نقطتين.

لنراجع الآن النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. أولًا، أثبتنا أنه يوجد عدد لا نهائي من الدوائر التي تمر بنقطة واحدة ﺃ. يمكننا عندئذ رسم هذه الدائرة من خلال تحديد أي نقطة لتكون المركز ﻡ، ومن ثم فإن نصف قطر الدائرة سيكون المسافة بين ﺃ وﻡ. بعد ذلك، تعلمنا أنه يوجد عدد لا نهائي من الدوائر التي تمر بنقطتين مختلفتين ﺃ وﺏ. يمكننا بعد ذلك رسم هذه الدائرة من خلال تحديد أي نقطة على العمود المنصف للقطعة المستقيمة ﺃﺏ لتكون مركز الدائرة. ونصف قطر هذه الدائرة يساوي المسافة بين ﺃ وﻡ أو المسافة بين ﺏ وﻡ.

ثم عرفنا أيضًا أنه توجد دائرة وحيدة يمكن أن تمر بأي ثلاث نقاط مختلفة ﺃ وﺏ وﺟ ليست على استقامة واحدة. يمكننا رسم هذه الدائرة من خلال تذكر أن مركز هذه الدائرة هو نقطة التقاطع بين الأعمدة المنصفة للقطع المستقيمة بين أي زوجين من النقاط؛ مثل العمودين المنصفين للقطعتين المستقيمتين ﺃﺏ وﺏﺟ. ونصف قطر هذه الدائرة سيكون المسافة بين ﺃ وﻡ، أو ﺏ وﻡ، أو ﺟ وﻡ. تجدر الإشارة أيضًا إلى أننا أثبتنا أن شرط عدم استقامة النقاط هو شرط ضروري. إذا كانت النقاط الثلاث تقع على نفس الخط، فلا توجد دائرة تمر بالنقاط الثلاث. وأخيرًا، تعلمنا أن الدائرتين المختلفتين تتقاطعان عند نقطتين فقط على الأكثر.