نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﻡﺃﺏﺟ هرمًا ثلاثيًّا قائمًا، طول حرفه الجانبي ﻡﺃ يساوي ٥٩ سنتيمترًا، وقاعدته ﺃﺏﺟ قائمة الزاوية عند ﺃ؛ حيث ﺏﺃ يساوي ١٠٥ سنتيمترات، وﺟﺃ يساوي ٣٦ سنتيمترًا، فأوجد ارتفاع الهرم، وقرب الناتج لأقرب جزء من مائة.
دعونا نبدأ برسم هذا الهرم. المثلث ﺃﺏﺟ هو القاعدة وهو قائم الزاوية عند ﺃ. نحن نعلم طولي ضلعين من أضلاع القاعدة. ﺟﺃ يساوي ٣٦ سنتيمترًا، وﺏﺃ يساوي ١٠٥ سنتيمترات. نحن نعلم أيضًا من المعطيات أن طول الحرف الجانبي ﻡﺃ يساوي ٥٩ سنتيمترًا. وفي هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد الارتفاع أو الارتفاع العمودي للهرم، وهو الخط الممثل باللون البرتقالي هنا. إذا عرفنا الارتفاع على أن طوله هو ﻉ أو ﻉ سنتيمتر، ثم رسمنا هذا المثلث الموضح هنا باللون الوردي، فسيمكننا إيجاد الارتفاع العمودي باستخدام هذا المثلث القائم الزاوية. لكن المشكلة هي أننا لا نعرف طول قاعدة هذا المثلث الوردي.
حسنًا، دعونا نعرف هذا الطول بأنه ﺱ سنتيمتر، ونر كيف يمكننا إيجاد قيمة ﺱ. فلنلق نظرة عن كثب على شكل قاعدة هذا الهرم. لدينا ضلعان طولاهما ٣٦ سنتيمترًا و١٠٥ سنتيمترات. نحن نعرف أيضًا أن هناك زاوية قائمة عند ﺃ. سيقع الطول ﺱ سنتيمتر على المتوسط الخارج من الرأس ﺃ إلى الضلع الآخر، وهو ﺏﺟ. لعلنا نتذكر أن مركز المثلث هو نقطة تقاطع المتوسطات الثلاثة للمثلث. وإذا مددنا هذه القطعة المستقيمة من الرأس ﺃ إلى نقطة منتصف ﺏﺟ، فإن هذا سيكون المتوسط الممتد من الرأس ﺃ.
إذن، لإيجاد الطول ﺱ، علينا أولًا إيجاد طول المتوسط من الرأس ﺃ، ثم تحديد نسبة الطول ﺱ من طول المتوسط. ولكي نفعل ذلك، يمكننا استخدام خاصية هندسية مهمة للغاية. تنص هذه الخاصية على أن طول المتوسط الممتد إلى وتر المثلث القائم الزاوية يساوي نصف طول الوتر. بعبارة أخرى، طول المتوسط الممتد من الرأس ﺃ إلى نقطة منتصف ﺏﺟ يساوي نصف طول الوتر، وهو ﺏﺟ. ومن ثم، إذا علمنا الطول ﺏﺟ، فسيمكننا حساب طول المتوسط. لإيجاد الطول ﺏﺟ، دعونا نطبق نظرية فيثاغورس.
تنص نظرية فيثاغورس على أنه في كل مثلث قائم الزاوية، نجد أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. في هذا المثلث، لدينا ضلعان طولاهما ٣٦ و١٠٥. يمكننا تربيعهما ثم جمع الناتجين لنحصل على ﺏﺟ تربيع. وهذا يعطينا ١٢٩٦ زائد ١١٠٢٥، يساوي ﺏﺟ تربيع. بتبسيط الطرف الأيمن، يصبح لدينا ١٢٣٢١. وبأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين، نجد أن الجذر التربيعي لـ ١٢٣٢١ يساوي ﺏﺟ. إذن، ﺏﺟ يساوي ١١١ سنتيمترًا. بعد أن أوجدنا طول وتر هذا المثلث، يمكننا العودة إلى حقيقة أن طول المتوسط الممتد إلى الوتر يساوي نصف طول الوتر. هذا يعني أن طول المتوسط الممتد من الرأس ﺃ يساوي نصف ١١١ أو ١١١ على اثنين سنتيمتر.
والآن، علينا إيجاد قيمة ﺱ. يمكننا أن نفعل ذلك بتذكر نظرية مركز المثلث التي تنص على أن المسافة من كل رأس إلى مركز المثلث تساوي ثلثي طول المتوسط الممتد من هذا الرأس. وهذا يعني أن ﺱ يساوي ثلثين مضروبًا في ١١١ على اثنين، وهو طول المتوسط. بتبسيط هذه القيمة، يصبح لدينا ١١١ على ثلاثة، وهذا يساوي ٣٧. بذلك، نكون قد أوجدنا أن المسافة من الرأس ﺃ إلى مركز المثلث تساوي ٣٧ سنتيمترًا. هذا يعني أننا لدينا الآن معلومات كافية لإيجاد الارتفاع العمودي للهرم. ومن ثم، يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس مرة أخرى على هذا المثلث الثنائي الأبعاد.
هذه المرة، لدينا طول الوتر ﺟ، ويساوي ٥٩. وطولا الضلعين الآخرين هما ﻉ و٣٧. بهذا، يصبح لدينا ﻉ تربيع زائد ١٣٦٩ يساوي ٣٤٨١. بطرح ١٣٦٩ من كلا الطرفين، يتبقى لدينا ﻉ تربيع يساوي ٢١١٢. وبأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين، نحصل على ﻉ يساوي الجذر التربيعي لـ ٢١١٢ سنتيمترًا. وأخيرًا، بما أنه مطلوب منا في السؤال تقريب الإجابة لأقرب جزء من مائة، فعلينا إيجاد الصورة العشرية لهذه القيمة. هذا يعطينا ٤٥٫٩٥٦ وهكذا مع توالي الأرقام. بتقريب هذا الناتج لأقرب جزء من مائة، نحصل على ٤٥٫٩٦ سنتيمترًا.
إذن، باستخدام نظرية فيثاغورس والمعلومات التي نعرفها عن مركز المثلث والمتوسطات في المثلث القائم الزاوية، قد أوجدنا أن ارتفاع الهرم يساوي ٤٥٫٩٦ سنتيمترًا لأقرب جزء من مائة.
