نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سنتعرف على متجهات الإزاحة. ما المقصود بها، وكيفية حسابها بيانيًا وجبريًا. في البداية، تخيل أنك تشارك في مسابقة للبحث عن كنز في الحي. باستخدام مجموعة من الأدلة المعطاة، ستتحرك من موقع لآخر حتى تصل إلى آخر دليل وآخر موقع حيث تنتهي اللعبة. يبدأ كل متسابق من قاعدة الشجرة الموجودة في الجزء الجنوبي الغربي من المدينة. ومن دليل لآخر، تتنقل على طول المسار حتى تصل أخيرًا إلى النهاية، وتحصل على آخر دليل وتتمكن من إيجاد الموقع الأخير. ومع إكمالك المسار، يخبرك أحد الأصدقاء بأنه على وشك بدء هذا المسار. إذا أردت توجيهه للاتجاه الذي يمكنه الانتقال منه مباشرة إلى نقطة النهاية حيث توجد حاليًا، فما الذي ستقوله له؟ متجهات الإزاحة هي التي ستساعدنا في فهم هذه الفكرة بصورة أكثر وضوحًا.
أول شيء قد نريد فهمه عن هذا الموضوع هو ما المقصود بمتجه الإزاحة؟ ولمعرفة ذلك، لنلق نظرة على متجه إزاحة موضح على رسم بياني. لنتخيل أن هذين المحورين 𝑥 و𝑦 وضعا على سطح طاولة. بعد ذلك توقفت نملة أعلى الطاولة في موضع ابتدائي معين. استنادًا إلى إطار الإسناد هذا، الموضع الابتدائي للنملة، الذي يمكن أن نسميه 𝑝 واحد، يعطى بواسطة متجه يبدأ من نقطة الأصل إلى موقع النملة. لنفترض أن النملة بدأت بعد ذلك في الحركة. وبعد قطعها مسارًا ما لفترة زمنية معينة، وصلت إلى موضع ثان يمكن أن نسميه 𝑝 اثنين. إذا أخذنا متجهي الموضع هذين وطرحنا الأول من الثاني، فسيكون الناتج متجهًا يمكن أن نسميه 𝑑. هذه هي إزاحة النملة. بيانيًا، يمثل 𝑑 متجهًا يبدأ من نهاية متجه الموضع الابتدائي، وينتهي عند رأس متجه الموضع النهائي.
نفهم من ذلك أن متجهات الإزاحة تربط متجهات الموضع الابتدائية بمتجهات الموضع النهائية. فهي توضح التغير في الموضع. في هذا المثال، أوجدنا متجه الإزاحة 𝑑 بيانيًا. فقد وصلنا رأس متجه الموضع الابتدائي برأس متجه الموضع النهائي. يمكن أيضًا إيجاد 𝑑 جبريًا؛ حيث يكون 𝑝 واحد و𝑝 اثنان معطيين في الصورة الإحداثية لهما. للحصول على بعض التدريب على استخدام هذه الطريقة في إيجاد الإزاحة، لنلق نظرة على هذا المثال.
المقاتلة F-35B هي طائرة نفاثة مقاتلة مصممة للإقلاع القصير والهبوط الرأسي. أقلعت المقاتلة F-35B رأسيًا لأعلى لارتفاع 20.00 مترًا، ولكنها ما زالت توازي الأفقي. اتبعت المقاتلة بعد ذلك مسارًا يصنع زاوية قياسها 30.00 درجة أعلى خط مواز لسطح الأرض، وموجودًا على ارتفاع 20.00 مترًا رأسيًا فوق سطح الأرض. حلقت المقاتلة لمسافة 20.00 كيلومترًا في هذا المسار. ما الإزاحة النهائية للمقاتلة؟
يمكن أن نسمي إزاحة المقاتلة بعد هذه المناورات، 𝑑؛ حيث نفهم أن 𝑑 يمثل متجهًا له مقدار واتجاه. للبدء في إيجاد الحل، لنرسم شكلًا لحركة المقاتلة F-35B. سبق وعلمنا أن المقاتلة ارتفعت رأسيًا مسافة سميناها ℎ تساوي 20.00 مترًا. ثم بدأت في الحركة بزاوية 30.00 درجة أعلى الأفقي في مسار طوله 20.00 كيلومترًا. إزاحة المقاتلة 𝑑 هي المتجه الذي يصل موقعها الابتدائي على الأرض بموقعها النهائي عند نهاية الضلع الذي طوله 20.00 كيلومترًا. هذا هو المتجه الذي نريد إيجاده بناء على هذه المعلومات المعطاة. يمكننا البدء بتحديد حركة الطائرة المقاتلة بالنسبة إلى مجموعة من محاور الإحداثيات. سنضع زوجًا من المحاور 𝑥، 𝑦؛ بحيث تكون نقطة الأصل، أي النقطة التي سيتقاطعان فيها، هي المكان الذي ستبدأ منه المقاتلة رحلتها. هذا يعني أنه يمكن كتابة متجه الإزاحة 𝑑 في الصورة الآتية. مركبة، سنسميها 𝑑𝑥، في اتجاه 𝑖، زائد مركبة، سنسميها 𝑑𝑦، في اتجاه 𝑗.
إذن، الآن، مهمتنا هي البدء في إيجاد 𝑑𝑥، 𝑑𝑦. بالنظر أولًا إلى 𝑑𝑥، نرى أن هذه القيمة، مركبة المقاتلة في اتجاه 𝑥، ستساوي 𝑙 في cos 30.00 درجة. نعلم أن 𝑙 معطاة على أنها 20.00 كيلومترًا، أو 20.00 في 10 أس ثلاثة متر. عندما نضرب ذلك في cos 30.00 درجة، سنجد قيمة تساوي 1.732 في 10 أس أربعة متر. هذه هي 𝑑𝑥. الآن نريد إيجاد 𝑑𝑦، الإزاحة الرأسية للمقاتلة النفاثة. بالنظر إلى الرسم، نرى أن 𝑑𝑦 تساوي ℎ زائد 𝑙 في sin 30.00 درجة. عند التعويض بقيمتي ℎ و𝑙، نستخدم مرة أخرى القيمة 20.00 في 10 أس ثلاثة متر للتعبير عن 𝑙. ومعطى أن ℎ تساوي 20.00 مترًا. بإدخال هذه القيم على الآلة الحاسبة، سنجد أن 𝑑𝑦، لأقرب أربعة أرقام معنوية، تساوي 1.002 في 10 أس أربعة متر. سندخل هذه القيمة المعبرة عن 𝑑𝑦 في معادلة الإزاحة، 𝑑. وسنحصل من ذلك على الصورة النهائية لإزاحة المقاتلة النفاثة، 1.732 في عشرة أس أربعة متر في اتجاه 𝑖، زائد 1.002 في 10 أس أربعة متر في اتجاه 𝑗. لنلق نظرة الآن على مثال آخر على متجه الإزاحة؛ حيث سنوجد مقدار الإزاحة وكذلك الاتجاه.
ساعي بريد يبدأ التحرك من مكتب بريد، فيقطع مسافة 40 كيلومترًا نحو الشمال، ثم 20 كيلومترًا نحو الغرب، ثم 60 كيلومترًا باتجاه الشمال الشرقي، وفي النهاية يتحرك 50 كيلومترًا باتجاه الشمال ليتوقف لتناول وجبة الغداء. أوجد مقدار متجه الإزاحة الكلية لساعي البريد. أوجد الإجابة لأقرب ثلاثة أرقام معنوية. أوجد الزاوية التي يصنعها متجه الإزاحة الكلية لساعي البريد باتجاه شمال الشرق. أوجد الإجابة لأقرب رقمين معنويين.
في هذا التمرين المكون من جزأين، نريد أولًا إيجاد مقدار متجه الإزاحة الكلية لساعي البريد. سنسمي ذلك مقدار المتجه 𝑑. نريد أيضًا إيجاد الزاوية باتجاه شمال الشرق التي يصنعها متجه الإزاحة الكلية. سنسميها الزاوية 𝜃. لنبدأ برسم شكل لحركة ساعي البريد. بداية باتجاهات البوصلة الأربعة — الشمال، والجنوب، والشرق، والغرب — يمكننا جعل ساعي البريد يبدأ من عند نقطة تقاطع هذين المحورين. نعلم أن الجزء الأول من رحلة ساعي البريد يساوي 40 كيلومترًا باتجاه الشمال، ثم 20 كيلومترًا باتجاه الغرب، ثم 60 كيلومترًا بالاتجاه الشمالي الشرقي. وأخيرًا، 50 كيلومترًا باتجاه الشمال حتى نقطة نهاية رحلة ساعي البريد في هذا الصباح.
باستخدام الرحلة الموضحة بيانيًا بهذه الطريقة، يمكننا رسم متجه الإزاحة 𝑑 الموضح من بداية إلى نهاية الأجزاء الأربعة للرحلة. يمكننا أن نرى أن هذا المتجه 𝑑 لديه مركبة باتجاه الشمال، يمكن أن نسميها 𝑑𝑁 في الاتجاه الشمالي. ومركبة باتجاه الشرق، يمكن أن نسميها 𝑑𝐸 في الاتجاه الشرقي. ولإيجاد مقدار متجه الإزاحة، سنريد أولًا إيجاد متجه الإزاحة نفسه. ولإجراء ذلك، سنوجد 𝑑𝑁 و𝑑𝐸. سنبدأ بإيجاد 𝑑𝑁 التي تساوي مجموع جميع المركبات الشمالية لكل جزء للرحلة. بملاحظة أن الجزء الثالث للرحلة، حيث قطع ساعي البريد مسافة 60 كيلومترًا بالاتجاه الشمالي الشرقي، يتضمن الحركة بزاوية 45 درجة أعلى الأفقي. فإنه يمكننا أن نكتب أن 𝑑𝑁 تساوي 40 كيلومترًا زائد 60 كيلومترًا في sin 45 درجة زائد 50 كيلومترًا. عند جمع هذه الحدود الثلاثة معًا، نجد قيمة، لأقرب أربعة أرقام معنوية، تساوي 132.4 كيلومترًا.
الآن ننتقل لإيجاد المركبة الشرقية للإزاحة 𝑑𝐸. بالنظر إلى الشكل الخاص بحركة ساعي البريد، يمكننا كتابة حدود 𝑑𝐸 على أنها تساوي سالب 20 كيلومترًا، وذلك عندما نتحرك باتجاه الغرب، زائد 60 كيلومترًا في cos 45 درجة. بجمع هذه الحدود معًا، لأقرب أربعة أرقام معنوية، ستساوي 22.46 كيلومترًا. لدينا الآن متجه الإزاحة، 𝑑، مكتوب بدلالة مركبتيه الشمالية والشرقية. لإيجاد مقدار متجه الإزاحة، سنأخذ الجذر التربيعي لـ 𝑑𝑁 تربيع زائد 𝑑𝐸 تربيع. بإدخال هذه القيم على الآلة الحاسبة، نجد أن مقدار 𝑑، لأقرب ثلاثة أرقام معنوية، يساوي 134 كيلومترًا. هذا هو مقدار الإزاحة الكلية لساعي البريد.
بعد ذلك نريد إيجاد قيمة 𝜃 التي نعرف، بالنظر إلى الشكل، أنها الزاوية الشمالية الشرقية التي يشير إليها متجه الإزاحة. tan 𝜃 يساوي 𝑑𝑁، المركبة الشمالية للإزاحة، مقسومًا على 𝑑𝐸، المركبة الشرقية للإزاحة. إذا أخذنا الدالة العكسية لـ tan لطرفي المعادلة، وعوضنا بقيمتي 𝑑𝑁 و𝑑𝐸، ثم أدخلنا هذا المقدار على الآلة الحاسبة. سنجد أن 𝜃، لأقرب رقمين معنويين، تساوي 80 درجة. هذه هي الزاوية باتجاه شمال الشرق التي يشير إليها متجه الإزاحة.
لنلخص الآن ما تعلمناه عن متجهات الإزاحة. متجهات الإزاحة لها طول أو مقدار يساوي أقصر مسافة بين نقطة بداية ونقطة نهاية. يستلزم جمع المتجهات للحصول على الإزاحة الكلية فصلها لمركبات في الاتجاهين 𝑥، 𝑦. ولمتجهات الإزاحة، مثل كل المتجهات، مقدار، أو طول، واتجاه. بالتالي في المرة القادمة عندما تبحث عن أقصر طريق للوصول من 𝐴 إلى 𝐵، ضع في اعتبارك استخدام متجه الإزاحة.
