فيديو السؤال: إيجاد متجه الوحدة في نفس اتجاه متجه بمعلومية التمثيل البياني الرياضيات

حدد متجه الوحدة للمتجه ﺃ من التمثيل البياني الموضح.

٠٥:٣٥

‏نسخة الفيديو النصية

حدد متجه الوحدة للمتجه ﺃ من التمثيل البياني الموضح.

في هذا السؤال، لدينا تمثيل بياني للمتجه ﺃ وعلينا إيجاد متجه الوحدة للمتجه ﺃ. حسنًا، أول ما علينا فعله هو تذكر ما نعنيه تحديدًا بمتجه الوحدة للمتجه ﺃ. يمثل هذا عادة بـ ﻱﺃ. وهو متجه وحدة يشير إلى نفس اتجاه المتجه ﺃ. ولدينا هنا عدة طرق مختلفة لإيجاده. على سبيل المثال، لدينا صيغة تمكننا من إيجاد ذلك لأي متجه ﺃ لا يساوي صفرًا. ‏ﻱﺃ يساوي واحدًا على معيار المتجه ﺃ مضروبًا في المتجه ﺃ. وكل ما تخبرنا به هذه الصيغة هو أننا نعرف أن المتجه ﺃ يشير إلى نفس اتجاه المتجه ﺃ. وإذا ضربنا هذا في واحد على معيار المتجه ﺃ، فسيكون لدينا الآن متجه وحدة. ولن نغير الاتجاه الذي يشير إليه المتجه؛ لأن معيار المتجه ﺃ موجب.

لكن، هذه ليست الطريقة الوحيدة التي يمكننا بها الإجابة عن هذا السؤال. في الواقع، نظرًا لأن لدينا تمثيلًا بيانيًّا للمتجه ﺃ، يمكننا أن نفعل ذلك بيانيًّا. نحن نعلم أن المتجه ﻱﺃ يجب أن يشير إلى نفس اتجاه المتجه ﺃ. لذا، يمكننا أن نرسم المتجه ﻱﺃ من نقطة الأصل. ونحن نعرف أنه يجب أن يشير إلى نفس اتجاه المتجه ﺃ.

لكن من المهم أن ندرك أن المتجه ﻱﺃ سيكون متجه وحدة. وعلينا تذكر أن معيار المتجه يمثل طول هذا المتجه بيانيًّا. لذا، إذا رسمنا المتجه ﻱﺃ من نقطة الأصل، وكان معياره يساوي واحدًا، فلا بد أن نقطة نهايته تقع على دائرة الوحدة التي مركزها نقطة الأصل. وهذا يكفي لإيجاد المتجه ﻱﺃ. فهو يشير إلى نفس اتجاه ﺃ، ومعياره هو واحد.

لكن هذا لا يعطينا حتى الآن الصورة الدقيقة للمتجه ﻱﺃ. توجد بضعة طرق يمكننا استخدامها لإيجاد ذلك من التمثيل البياني. لكن معظمها أكثر تعقيدًا من الصيغة التي لدينا. لذا، سنستخدم هذه الصيغة بدلًا من ذلك. وكما نرى، لاستخدام هذه الصيغة، علينا إيجاد معيار المتجه ﺃ، وعلينا ضرب ذلك في المتجه ﺃ.

لنبدأ إذن بإيجاد تعبير للمتجه ﺃ. يمكننا ملاحظة أن لدينا تمثيلًا بيانيًّا للمتجه ﺃ. ومن ثم، يمكننا إيجاد المركبتين الأفقية والرأسية للمتجه ﺃ. نلاحظ أن ﺃ يبدأ من نقطة الأصل وينتهي أفقيًّا عند قيمة تساوي ١٢. إذن، مركبته الأفقية تساوي ١٢. ويبدأ ﺃ من نقطة الأصل وينتهي رأسيًّا عند قيمة تساوي خمسة. إذن، مركبته الرأسية تساوي خمسة. ومن ثم، يمكننا تمثيل المتجه ﺃ بالمتجه ١٢، خمسة.

والآن، علينا إيجاد معيار المتجه ﺃ. وتوجد طريقتان مختلفتان لفعل ذلك. يمكننا استخدام صيغة إيجاد المعيار الموجودة لدينا. لكن تذكر أن معيار متجه يمثل طول المتجه بيانيًّا. في التمثيل البياني، يمكننا ملاحظة أن المتجه ﺃ هو طول الوتر في المثلث القائم الزاوية الذي ارتفاعه خمسة وعرضه ١٢. ومن ثم، باستخدام نظرية فيثاغورس، نعرف أن طول الوتر في هذا المثلث أو معيار المتجه ﺃ يساوي الجذر التربيعي لـ ١٢ تربيع زائد خمسة تربيع. وفي الواقع، هذه إحدى ثلاثيات فيثاغورس. إذا حسبنا ذلك، فسنحصل على ١٣.

نحن جاهزون الآن لإيجاد تعبير للمتجه ﻱﺃ باستخدام الصيغة التي لدينا. المتجه ﻱﺃ يساوي واحدًا على معيار المتجه ﺃ في المتجه ﺃ، والذي يساوي واحدًا على ١٣ في المتجه ١٢، خمسة. وتذكر أنه في حالة ضرب متجه في كمية قياسية، فإننا نضرب المركبات الموجودة لدينا في هذه الكمية القياسية. عند القيام بذلك، نحصل على المتجه ١٢ على ١٣، خمسة على ١٣.

وتجدر الإشارة هنا إلى أنه يمكننا التحقق من هذا الحل من خلال الشكل البياني الموجود لدينا. في هذا الشكل، وجدنا بالفعل المتجه ﻱﺃ. ويمكننا التحقق من مركبتيه الأفقية والرأسية. في هذا الشكل، يبدو أن المركبة الأفقية تساوي ٠٫٩ تقريبًا والمركبة الرأسية تساوي ٠٫٤ تقريبًا. وإذا حسبنا ١٢ على ١٣ وخمسة على ١٣، فسنجد أن الناتج قريب جدًّا من هاتين القيمتين. وهو ما يبرهن إجابتنا.

إذن، بمعلومية الشكل البياني للمتجه ﺃ، تمكنا من إيجاد متجه الوحدة الذي له نفس اتجاه المتجه ﺃ. وحصلنا على مركبتي هذا المتجه؛ ١٢ على ١٣ وخمسة على ١٣.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.