فيديو الدرس: صيغ المتتابعات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد الحد العام أو الصيغة التكرارية لمتتابعة، وكيف نستخدمهما لإيجاد الحدود في المتتابعة. سوف نعرف أيضًا المقصود بالمتتابعة المتناوبة وكذلك المتتابعة التناقصية أو المتتابعة التزايدية.

دعونا نبدأ بمثال على المتتابعة. يمكن وصف متتابعة مثل هذه حدودها اثنان، أربعة، ستة، ثمانية، وهكذا، بدلالة دليل الموضع. على سبيل المثال، الحد الذي دليله واحد هو اثنان، والحد الذي دليله اثنان هو أربعة، والحد الذي دليله ثلاثة هو ستة، وهكذا. يمكن أيضًا كتابة الحد الذي دليله واحد على الصورة ﺡ واحد. ويمكننا قراءة ذلك على أنه الحد الأول. كذلك يمكننا الإشارة إلى الحد الثاني بـ ﺡ اثنين، والحد الثالث بـ ﺡ ثلاثة، وهكذا.

عندما نتحدث عن كتابة قواعد المتتابعات، فإننا نحاول تبسيط الأمور. فعلى سبيل المثال، إذا أردنا إيجاد الحد الذي رقمه ٢٩٠، فلن نكتب جميع الحدود وصولًا إلى الحد الذي رقمه ٢٩٠. نحن نريد إيجاد علاقة بين الدليل وقيمة الحد، بحيث تمكننا من كتابة الحد باستخدام قيمة دليل الحد بشكل أسرع.

نشير إلى الحد العام باستخدام الحرف ﻥ. وبالنسبة إلى أي متتابعة، فإننا نريد إيجاد الحد النوني بمعلومية الدليل ﻥ. ربما تكون قد أوجدت بالفعل العلاقة بين قيمة الدليل والحد في هذه المتتابعة. إننا نضرب قيمة الدليل في اثنين ليعطينا الحد. وعليه، فبالنسبة إلى الحد الذي دليله ﻥ، فإن الحد النوني يساوي اثنين ﻥ. إذن، الحد الذي دليله ٢٩٠ يساوي ٥٨٠. ومن ثم، بالنسبة إلى المتتابعة اثنان، أربعة، ستة، ثمانية، وهكذا؛ فإن الحد النوني ﺡﻥ يساوي اثنين ﻥ.

عندما نتعامل مع المتتابعات، قد يكون لدينا الحد النوني ويطلب منا إيجاد بعض الحدود الأولى من المتتابعة. في المثال الأول، سنعرف كيف يمكننا فعل ذلك. فدعونا إذن نتناوله.

أوجد الحدود الخمسة الأولى للمتتابعة التي حدها العام يعطى بالعلاقة ﺡﻥ يساوي ﻥ في ﻥ ناقص ٣٤؛ حيث ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا.

في هذا السؤال، لدينا الحد العام أو الحد النوني لمتتابعة دليلها ﻥ. لإيجاد أي حد في المتتابعة، سنعوض بقيمة ﻥ هذه في الحد العام. على سبيل المثال، إذا أردنا إيجاد الحد الذي رقمه ٢٠، فسنعوض بـ ﻥ يساوي ٢٠ في الحد النوني. ولكن في هذا السؤال، علينا إيجاد الحدود الخمسة الأولى. علمنا من السؤال أن الدليل ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا. وهذا يعني أننا سنبدأ بالتعويض بـ ﻥ يساوي واحدًا، ثم ﻥ يساوي اثنين ثم ثلاثة ثم أربعة ثم خمسة في الحد النوني لإيجاد الحدود الخمسة الأولى.

هيا نبدأ بإيجاد ﺡ واحد، أي الحد الأول، الذي نحصل عليه عندما يكون ﻥ مساويًا لواحد. وهذا يعني أننا سنحصل على الحد الأول ﺡ واحد يساوي واحدًا في واحد ناقص ٣٤. واحد ناقص ٣٤ يساوي سالب ٣٣. وعند ضرب هذا الناتج في واحد، فإننا نحصل على سالب ٣٣. ومن ثم، فإن الحد الأول يساوي سالب ٣٣. يمكننا الآن التعويض بـ ﻥ يساوي اثنين في الحد النوني. وهذه المرة، سنحصل على الحد الثاني، أي ﺡ اثنين، يساوي اثنين في اثنين ناقص ٣٤. بتبسيط ذلك، نحصل على اثنين مضروبًا في سالب ٣٢، ما يعطينا الحد الثاني وهو سالب ٦٤.

بالنسبة إلى الحد الثالث، فسنتبع الخطوات نفسها، ولكن هذه المرة سنعوض بـ ﻥ يساوي ثلاثة. فنجد أن الحد الثالث يساوي ثلاثة في ثلاثة ناقص ٣٤، وهو ما يساوي سالب ٩٣. عندما يكون ﻥ مساويًا لأربعة، فإن الحد الرابع يساوي سالب ١٢٠. وأخيرًا، عندما يكون ﻥ مساويًا لخمسة، فإن الحد الخامس يساوي سالب ١٤٥. وبذلك، يمكننا الإجابة عن السؤال وتحديد الحدود الخمسة الأولى في المتتابعة. وقد أوجدناها من خلال التعويض بالقيم الخمس المختلفة في صيغة الحد النوني.

سنتناول الآن كيفية إيجاد الصيغة التكرارية لمتتابعة. فلننظر إلى هذه المتتابعة كمثال وهي: واحد، أربعة، سبعة، ١٠، وهكذا. يمكننا المقارنة بين قيم الدليل ﻥ الأكبر من أو تساوي واحدًا وقيم ثلاثة ﻥ. لا تعطينا قيم ثلاثة ﻥ القيم نفسها الموجودة في المتتابعة. ولكن إذا طرحنا اثنين من كل قيمة من قيم ثلاثة ﻥ، فسنحصل على حدود المتتابعة. وفي الواقع، يمكننا كتابة أن الحد النوني لهذه المتتابعة يساوي ثلاثة ﻥ ناقص اثنين. ولكن هناك طريقة أخرى لوصف هذه المتتابعة.

ربما نكون قد لاحظنا أن النمط المتبع بين الحدود هو إضافة ثلاثة. على سبيل المثال، إذا أردنا إيجاد الحد الخامس، فسنضيف إلى الحد الرابع ثلاثة. ومن ثم، إذا أردنا إيجاد أي حد رقمه ﻥ، فسنضيف ثلاثة إلى الحد الذي يسبقه. وباستخدام الحرف نفسه، فإن الحد الذي يسبق الحد النوني، أي الحد الذي دليله ﻥ، هو الحد الذي دليله ﻥ ناقص واحد. وبذلك، نحصل على طريقة مختلفة لوصف هذه المتتابعة، وهي القول إن الحد النوني ﺡﻥ يساوي ﺡﻥ ناقص واحد زائد ثلاثة.

عندما تكون لدينا صيغة لمتتابعة بهذه الطريقة، فعلينا أيضًا أن نوضح قيمة الحد الأول. يمكننا كتابة ذلك في صورة قائمة كهذه، بحيث يكون لدينا ﺡ واحد يساوي واحدًا، ثم يكون لدينا الحد النوني. لاحظ أنه لدينا أيضًا قيم الدليل، حيث ﻥ أكبر من أو يساوي اثنين. وفي هذه الحالة، يجب أن يبدأ الدليل باثنين. فلا يمكن أن يبدأ بواحد، لأنه لدينا الحد الأول بالفعل. إذا عوضنا بواحد في هذا الجزء، فسنحاول إيجاد قيمة الحد الذي دليله صفر. والقاعدة المكتوبة بهذه الطريقة تسمى بالصيغة التكرارية للمتتابعة.

الصيغة التكرارية هي الصيغة التي تعرف فيها حدود المتتابعة باستخدام حد أو أكثر من الحدود السابقة. وفي هذه الحالة، الحد الذي دليله ﻥ يعرف باستخدام الحد الذي يسبقه. قبل أن ننتهي من الصيغة التكرارية، هناك نقطة أخرى يجب ملاحظتها. هذه المرة، كتبنا صيغة ﺡﻥ. ولكن يمكن أن تعطى لنا أيضًا كصيغة لإيجاد قيمة الحد الذي دليله ﻥ زائد واحد. لكن، لاحظ أنه ما زالت لدينا هذه العلاقة، وهي قيمة الحد السابق زائد ثلاثة. سيظل الحد الأول كما هو في الحالتين. لكن لاحظ أن الدليل مختلف. ولأنه لدينا الصيغة ﺡﻥ زائد واحد، فإن قيمة ﻥ الأولى التي نبدأ بها هي واحد، وذلك لإيجاد قيمة الحد الذي دليله اثنان.

سنتناول الآن مثالًا يوضح كيفية إيجاد حد معين في متتابعة عندما يكون لدينا الصيغة التكرارية.

إذا كانت ﺡﻥ متتابعة معرفة في صورة ﺡ واحد يساوي ١١ وﺡﻥ زائد واحد يساوي ﺡﻥ ناقص ثلاثة؛ حيث ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا، فإن الحد الرابع يساوي (فراغ).

لدينا أربعة خيارات للإجابة وهي: اثنان، أو أربعة، أو خمسة، أو ثمانية. في هذا السؤال، لدينا صيغة للمتتابعة. يعرف هذا النوع من الصيغ باسم «الصيغة التكرارية». وذلك عندما تكون حدود المتتابعة معرفة باستخدام حد أو أكثر من الحدود السابقة. إذا أردنا وصف هذا الحد بصورة لفظية، فسنقول إنه لأي حد دليله يساوي ﻥ زائد واحد، فإننا نطرح ثلاثة من الحد الذي يسبقه، أي الحد الذي دليله يساوي ﻥ. وعليه، إذا أردنا إيجاد الحد الرابع، أي الحد الذي دليله يساوي أربعة، فهذا يعني أن ﻥ زائد واحد يجب أن يساوي أربعة، ومن ثم، فإن ﻥ يجب أن يساوي ثلاثة. وبهذا، فإن الحد الرابع يجب أن يساوي الحد الثالث ناقص ثلاثة. لكن كيف نوجد قيمة الحد الثالث؟

حسنًا، الحد الثالث، أي الحد الذي دليله يساوي ثلاثة، يكون عند ﻥ زائد واحد يساوي ثلاثة. وبذلك، فإن ﻥ يجب أن يساوي اثنين. إذن، الحد الثالث يساوي الحد الثاني ناقص ثلاثة. نحن لا نعرف الحد الثاني أيضًا. ولكنك قد خمنته بالتأكيد! إنه يساوي الحد الأول ناقص ثلاثة. وهذا أحد عيوب الصيغ التكرارية، لأنه علينا إيجاد كل حد حتى نصل إلى الحد الذي نريده.

لحسن الحظ، لدينا بالفعل قيمة الحد الأول. ‏ﺡ واحد يساوي ١١. والآن يمكننا العمل على المتتابعة. إذا كان ﺡ واحد يساوي ١١، وﺡ اثنان يساوي ﺡ واحد ناقص ثلاثة، فإن ﺡ اثنين، أي الحد الثاني، يساوي ١١ ناقص ثلاثة. وهذا يساوي ثمانية. بما أن الحد الثالث يساوي قيمة الحد الثاني ناقص ثلاثة، فإن الحد الثالث يجب أن يساوي ثمانية ناقص ثلاثة، وهو ما يساوي خمسة. وأخيرًا، الحد الرابع يساوي قيمة الحد الثالث ناقص ثلاثة. إذن، خمسة ناقص ثلاثة يساوي اثنين. ومن ثم، تكون الإجابة هي أن الحد الرابع في المتتابعة هو الحد المعطى في الخيار (أ). وهو الحد الذي قيمته اثنان.

في هذا المثال، حدود المتتابعة هي: ١١، ثمانية، خمسة، اثنان، وهكذا. يعرف هذا النوع من المتتابعات باسم «المتتابعة التناقصية». سنعرف الآن بطريقة رياضية أكثر ما نعنيه بالمتتابعات التزايدية أو التناقصية أو الثابتة، بالإضافة إلى المصطلح «رتيبة».

تكون متتابعة الأعداد الحقيقية ﺡﻥ تزايدية إذا كان ﺡﻥ زائد واحد أكبر من ﺡﻥ لجميع قيم ﻥ التي تنتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية.

يعني المصطلح هنا أن كل حد في المتتابعة يجب أن يكون أكبر من الحد الذي يسبقه حتى تكون المتتابعة تزايدية. على سبيل المثال، إذا نظرنا إلى متتابعة الأعداد المربعة واحد، أربعة، تسعة، ١٦، وهكذا، فسنجد أن قيمة كل حد في هذه المتتابعة أكبر من قيمة الحد الذي يسبقه. ومن ثم، فإن متتابعة الأعداد المربعة هي متتابعة تزايدية. لاحظ أن هذا يجب أن ينطبق على جميع قيم ﻥ. إذا كان لدينا متتابعة أخرى، وهي: واحد، اثنان، ثلاثة، واحد وهكذا، فلن تكون هذه المتتابعة تزايدية؛ لأنه على الرغم من أن لدينا جزءًا تزايديًّا في المتتابعة، فهي ليست تزايدية بالكامل.

يمكننا تعريف المتتابعة التناقصية بالطريقة نفسها. ولكن هذه المرة، يجب أن تكون قيمة كل حد في المتتابعة أصغر من قيمة الحد الذي يسبقه. من الأمثلة على المتتابعة التناقصية المتتابعة واحد، نصف، ثلث، ربع، وهكذا. أما عندما يكون لدينا متتابعة قيمة كل حد فيها تساوي قيمة الحد الذي يسبقه، فإنها تسمى متتابعة ثابتة. من أمثلة هذا النوع من المتتابعات متتابعة كل حد فيها يساوي اثنين. إذا كانت المتتابعة أحد هذه الأنواع الثلاثة، سواء تزايدية أو تناقصية أو ثابتة، فإنها تسمى متتابعة رتيبة. في المثال التالي، سنحدد إذا ما كانت المتتابعة تزايدية أم تناقصية أم ليست تزايدية ولا تناقصية.

هل المتتابعة ﺡﻥ يساوي سالب واحد أس ﻥ على ١١ﻥ ناقص ٢٢ تزايدية أم تناقصية أم غير ذلك؟

عندما نفكر فيما إذا كانت المتتابعة تزايدية أم تناقصية، فإننا نقارن قيمة أي حد بقيمة الحد الذي يسبقه. فإذا كانت المتتابعة تزايدية، فلا بد أن تكون قيمة أي حد ﺡﻥ أكبر من قيمة ﺡﻥ ناقص واحد. ويجب أن ينطبق هذا على جميع قيم ﻥ. وبالمثل، إذا كانت المتتابعة تناقصية، فلا بد أن تكون قيمة أي حد دليله ﻥ في المتتابعة أصغر من قيمة الحد الذي يسبقه. يمكننا إيجاد بعض الحدود الأولى للمتتابعة، ومعرفة إذا ما كانت القيم تزداد أم تتناقص أم غير ذلك.

يمكننا إذن كتابة الحد النوني، وسنبدأ بالتعويض بـ ﻥ يساوي واحدًا. بالنسبة إلى الحد الأول ﺡ واحد، لدينا سالب واحد أس واحد على ١١ في واحد ناقص ٢٢. وعندما نبسط ذلك، نحصل على الكسر سالب ٢٤٣ على ١١. والآن، بعد أن أوجدنا الحد الأول، يمكننا إيجاد الحد الثاني من خلال التعويض بـ ﻥ يساوي اثنين. عند تبسيط سالب واحد تربيع على ١١ في اثنين ناقص ٢٢، نحصل على الكسر سالب ٤٨٣ على ٢٢. يمكننا إيجاد الحد الثالث بالطريقة نفسها من خلال التعويض بـ ﻥ يساوي ثلاثة. إذن، نحصل على الحد الثالث، أي ﺡ ثلاثة، وهو يساوي سالب ٧٢٧ على ٣٣.

حصلنا حتى الآن على ثلاثة حدود في المتتابعة، ولكن يصعب علينا قليلًا ملاحظة إذا ما كانت قيمها تزداد أم تتناقص. لذا، قد يكون من المفيد إيجاد القيم العشرية المكافئة لها. الحد الأول يساوي سالب ٢٢٫٠٩ تقريبًا، والحد الثاني يساوي سالب ٢١٫٩٥ تقريبًا، والحد الثالث يساوي سالب ٢٢٫٠٣ تقريبًا. نلاحظ أن قيمة الحد الثاني أكبر من قيمة الحد الأول. ولكن قيمة الحد الثالث أصغر من قيمة الحد الثاني. هذا يعني أنه بالنسبة لجميع القيم، لا يمكننا القول إن ﺡﻥ أكبر من ﺡﻥ ناقص واحد أو ﺡﻥ أصغر من ﺡﻥ ناقص واحد. يعني هذا أن المتتابعة ليست تزايدية ولا تناقصية، إنما هي غير ذلك. إذن، الإجابة هي أن المتتابعة ﺡﻥ ليست تزايدية ولا تناقصية.

من المصطلحات الأخرى التي سنتناولها مصطلح «المتتابعة المتناوبة». والمتتابعة المتناوبة هي المتتابعة التي تتغير فيها قيم حدودها بين الموجب والسالب. على سبيل المثال، المتتابعة سالب اثنين، ثلاثة، سالب أربعة، خمسة، سالب ستة، وهكذا، هي متتابعة متناوبة. فقيمها تتغير بين الموجب والسالب. سنتناول الآن مثالًا يوضح كيفية إيجاد الحد العام لمتتابعة متناوبة.

الحد العام للمتتابعة ثلاثة، سالب ستة، تسعة، سالب ١٢، ١٥ هو ﺡﻥ يساوي (فراغ).

لدينا أربعة خيارات للإجابة. قد نلاحظ أن حدود هذه المتتابعة تتغير بين القيم الموجبة والسالبة. ويعرف هذا النوع من المتتابعات باسم المتتابعة المتناوبة. يمكننا النظر إلى المتتابعة، والتفكير فيما إذا كانت لدينا القيم المطلقة للمتتابعة، حينئذ سيكون لدينا الحدود ثلاثة، ستة، تسعة، ١٢، ١٥. إذا افترضنا أن الدليل في هذه المتتابعة هو ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا، فإن الحد النوني لهذه القيم المطلقة سيكون ﺡﻥ يساوي ثلاثة ﻥ بالنسبة لأي قيمة للدليل ﻥ. ولكن بما أنه ليس لدينا ثلاثة، ستة، تسعة، ١٢، وهكذا فحسب، بل لدينا ثلاثة، سالب ستة، تسعة، سالب ١٢، وهكذا، فإن الحد النوني لهذه المتتابعة ليس ثلاثة ﻥ. علاوة على ذلك، يمكننا أيضًا القول إن الحد النوني ليس سالب ثلاثة ﻥ. ففي هذه الحالة، ستكون قيم المتتابعة هي سالب ثلاثة، سالب ستة، سالب تسعة، سالب ١٢، وهكذا. لكننا لدينا متتابعة تطابق إلى حد كبير ثلاثة ﻥ.

إحدى الطرق التي يمكننا من خلالها إيجاد الحد العام لمتتابعة بحيث يتكون من ثلاثة ﻥ، وتتغير قيم حدود المتتابعة بين الموجب والسالب، هي أن نضرب ثلاثة ﻥ في قوة ما للعدد سالب واحد. نلاحظ أن كلًّا من الخيارين (أ) و(ب) يمثل الحد العام لمتتابعتين متناوبتين. هيا نلق نظرة على الحد النوني المعطى في الخيار (أ). لإيجاد الحد الأول، سنعوض بـ ﻥ يساوي واحدًا. سالب واحد أس واحد يساوي سالب واحد، وثلاثة في واحد يساوي ثلاثة. وبضرب هذين العددين، نحصل على الحد الأول وهو سالب ثلاثة. ولكن إذا نظرنا إلى الحد الأول في المتتابعة المعطاة، فسنجد أنه ثلاثة وليس سالب ثلاثة. ومن ثم، فإن الحد النوني في الخيار (أ) غير صحيح.

الحد النوني المعطى في الخيار (ب) مختلف؛ لأن أس العدد سالب واحد هو ﻥ زائد واحد. عندما نعوض بـ ﻥ يساوي واحدًا لإيجاد الحد الأول، يصبح لدينا سالب واحد أس واحد زائد واحد، وهو ما يساوي اثنين، وسالب واحد تربيع يساوي واحدًا، وهو ما يعطينا ثلاثة عند ضربه في ثلاثة. هذا يطابق الحد الأول المعطى. وبالتعويض بـ ﻥ يساوي اثنين، نجد أن الحد الثاني يساوي سالب ستة. يمكننا ملاحظة النمط المتبع. عندما يكون لدينا دليل زوجي، مثلما فعلنا هنا عند ﻥ يساوي اثنين، فإن أس العدد سالب واحد يكون فرديًّا. وعند رفع سالب واحد إلى قوة فردية، فإن القيمة التي نحصل عليها هي سالب واحد. ونتيجة لذلك، نجد أن كل دليل زوجي يعطينا حدًّا قيمته سالبة.

إذا واصلنا التعويض بدليل فردي وهو ثلاثة، فسنحصل على قيمة موجبة تساوي تسعة. ومن ثم، يمكننا القول إن الإجابة هي الخيار (ب). ‏ﺡﻥ يساوي سالب واحد أس ﻥ زائد واحد في ثلاثة ﻥ.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. أولًا، عرفنا أنه لإيجاد حدود متتابعة بمعلومية الحد العام، فإننا نعوض بقيم ﻥ الأكبر من أو تساوي واحدًا في صيغة الحد العام. عرفنا الصيغ التكرارية وعلمنا أنه في بعض الأحيان قد نحتاج إلى تطبيق الصيغة عدة مرات لإيجاد قيم الحدود السابقة. وأخيرًا، عرفنا المتتابعات التزايدية والتناقصية والثابتة والمتناوبة.